книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

по

ГА.

I . Локальная

теория

мутирует

с

я (У);

X

инвариантен

не

только

относительно

при­

соединенного

действия

связной

компоненты

группы

GR,

НО также

и относительно связной компоненты группы

GL (2,

С).

Так

как

GL(2, С)

связна и содержит е,

то

я (е) я (X) я - 1 (е) = я (Ad е (X))

=

я

(X).

Небольшое видоизменение доказательства

леммы 5.4, на котором

мы

не будем

здесь

останавливаться,

приводит

к

следующей

лемме:

Л е м м а 5.5. Пусть

я

и я' — два неприводимых

допустимых

пред­

ставления

алгебры

Жц.

Представления я

и

я '

эквивалентны

в

том

и

только

в

том

случае,

если

эквивалентны

ассоциированные

пред­

ставления

системы

{U, е}.

Мы кратко прокомментируем связь между

представлениями GR

и представлениями Ж%. Пусть

V—полное сепарабельное

локально

выпуклое

топологическое

пространство

и

я — непрерывное

пред­

ставление

группы

GR на V. Таким

образом,

отображение

(g,

v) —-+

—*n(g)v

произведения

GR Х V

в

V

непрерывно

и для

f £ C ~(GR)

определен

оператор

Тогда я ( / ) определен для \^Жг.

Таким образом,

мы

имеем пред­

ставление алгебры Жъ

на

V.

Обозначим через

V0

пространство

О (2,

Р)-конечных

векторов в V. Оно равно объединению

пространств

я(£)У, где £ пробегает

элементарные

идемпотенты

и

инвариантно

относительно

Жк-

Предположим,

что

представление я 0

алгебры

Жк

на

VQ

допустимо

(так бывает довольно часто). Тогда я 0

неприводимо

в

том

и только

в

том

случае,

если

я неприводимо

в

топологиче­

ском

смысле.

Предположим,

что

я'—другое непрерывное представление

группы GR на

пространстве

V

и

что

существует

непрерывная

не­

вырожденная

билинейная форма на VxV,

такая,

что

<n(g)v,

»'>«=<о,

n'(g-*)v'>.

Тогда

ограничение

этой

формы на V0xV0

невырожденно и

<я(/)о,

v'> = <v,

n'(f*)v'>

для всех 1£Жи,

v£V0

и

v' £У'0.

Таким

образом,

я„

контрагра-

диентно я 0 . Так

как

<na(f)v,

v'>=

[f(g)<n(g)v,

v'ydg,

°R

мы имеем

<n0(g)v,

v'> = <я (g) v,

v'>.

§ 5.

Представления

группы

GL(2,

R)

111

Специальная

ортогональная

группа

SO (2,

R) абелева. Абелева

и ее алгебра

Ли. Одномерное

представление

/

cos 0 sin 6\

ш

V—sine cosey

группы

SO (2,

R) и соответствующее

представление

ее алгебры Ли

оба

будут

обозначаться

через

хп.

Представление л

алгебры

U или

системы {И, г} будет называться допустимым,

если его ограничение

на

алгебру

Ли

группы

SO (2, R) разлагается

в

прямую

сумму

представлений х„, каждое

из

которых

входит

с конечной кратно­

стью. Если

л—допустимоепредставление

алгебры

Жг>, то соответ­

ствующее

представление

системы

{ I I , е}

также

допустимо. Мы

начнем

классификацию

неприводимых

допустимых

представлений

алгебры

Жк и системы

{Ц, е} с

введения

некоторых

конкретных

представлений.

группы R*. Пусть 9Ь (р.!, цг)

Пусть

fi x и ц2 — два

квазихарактера

обозначает

пространство

функций / на GR,

которые удовлетворяют

следующим

двум

условиям:

1/2

( I )

Ч 1 о Ч М = м * , ) м * ) | ^ г

для всех g£GR,

аг, a2£f<*

и xgR.

справа. В силу

разложения

(II)

/

является SO(2, R)-KOHe4Hoft

Ивасавы

GR=Nf>Af>SO(2,

R)

эти функции полностью определяются их ограничениями на SO (2, R)

и, в частности, бесконечно дифференцируемы.

Запишем

где

Sj — комплексное

число, a mt

равно 0 или 1. Положим s = s1 — sa

и т=\т1

— т2\,

так

что и^ГМО — U Is ^"jfj")

• Д л я

п> имеющих

ту

же

четность,

что

и

т, определим

функции ср„ из 53(fix , (х2),

полагая

/ V I

x\fa,

0 \ /

cose

sine

1 / 2

„/»e

ф » Ч о

1 А о

J

U

sin 9

cos0

) H M * i ) M « . )

Множество

{ф„} является

базисом

пространства

53(р,1 ;

ц2).

Для

любой

бесконечно дифференцируемой

функции / на GR и

любого распределения с компактным носителем

LI определим К (р.)/,

полагая

Mp.)/(g) =

Hv (p(g)/),

112

Гл.

I.

Локальная

теория

и р ( и ) / ,

полагая

Если,

например, и—мера, то

Ч и ) / ( £ ) =

S fih-'g)^^),

р ( и ) Ш

=

J

/teA)du(h).

GR

CR

Во

всех

случаях

Я, (р,) / и р (ц) / снова бесконечно дифференцируемы.

Для

всех

f^J^R

пространство

.53 (Ик

jx2) инвариантно относительно

р(/),

так

что

мы

имеем

представление

р(|я1 , ц2)

алгебры

на

.53 (и^

И2 )-

Оно,

очевидно,

допустимо,

и

ассоциированное

представ­

ление

р (u.i,

|хг)

системы

{U, е}

также

определяется при

помощи

правой

свертки.

Мы введем в рассмотрение следующие элементы из алгебры ®,

которая

отождествляется

с

алгеброй

Ли

матриц

второго

порядка:

/

0

1\

/ 1 О

u

=

[-i

о >

Н

о

1

О

1\

/0 0\

/ 1

О'

Х + ~ \ 0

0 ' х - ~ \ \

or

z _ V o

- !

и элемент

который

принадлежит

Ц.

Л е м м а

5.6.

Справедливы

следующие

соотношения:

(I) р (17) ф„ =

т ф „ ;

(II)

р(е)ф„ =

(-1)Т -Ф_„;

( Ш ) р ( У + ) Ф П =

( 5 + 1 + п ) ф „ + 2 ;

(IV)

Р(^-)Ф„-(5+1-П)Ф„_! ! ;

(V) р (D) ф„ =

i - = i - Ф „ ;

(VI) р (J)

ф„ =

К + s.) ф„.

Соотношения

(I),

(II) и

(VI) доказываются

легко. Ясно

также,

что

для

всех

Ф € ^ ( И И Иг)

и

р(г)ф(е) =

(8+1)ф(е)

р ( Х + ) ф ( е ) = 0.

Соотношения

cos 6

sin

0 \ \

Ad

.

_

a))V+=e«*V+

\ — sine

coseyy +

+

# / 0 * 1 . i*t) = # i 0 4 ,

ц . ) п я , ( ^ 1 ,

Так как любое подпространство

пространства S3(iilt \i2), инва­

оно содержит, то эта лемма сразу же

следует

из

соотношений

леммы

5.6.

Прежде

чем

формулировать

соответствующие

результаты

для

{U, е}, мы докажем несколько

простых лемм:

Л е м м а

5.8.

Если

я—

неприводимое

допустимое

представление

системы

{U, е},

то

существуют

две

возможности:

(I)

ограничение

я на U

неприводимо

и

представления

X —• я

(X)

и

X —• я (A'd е (X))

эквивалентны;

(II)

пространство

V,

на

котором

действует

я,

разлагается

в

прямую

сумму

^ © V j ,

где

Vj

и V2

инвариантны

и

неприводимы

относительно

W.

Представления

я1

и

я 2

алгебры

U

на

V1

и V2

не

эквивалентны,

но

я 2 эквивалентно

представлению

X—>• я1(А<1 г

(X)).

Если

ограничение

я

на

П

неприводимо,

то

представления

X —• я (X)

и

X —*• я (Ad 8 (X)),

конечно, эквивалентны.

Если

оно

не является неприводимым, то пусть Vx

будет собственным подпро­

странством,

инвариантным

относительно

U.

Если

У2 = я(е)У 1 ,

то

KjDVa

и V , + VS

будут

инвариантными

относительно

{U, е}. Таким

образом,

V/

1nV'2

= {0} и V = l / 1 ©V 2 . Если

бы

Vl

имело

собственное

подпространство V[, инвариантное относительно И,

то

те

же рас­

суждения

привели

бы

к разложению V = V i 0 V 2

,

где ]/'2

=

я(е)У1.

Так как это невозможно, то

и У2

неприводимы

относительно U.

Если

v1^Vl,

то

л 2

(X)

я (е) уг =

я (е) Я! (Ad е (X))

vlt

так что представления X —* я г

(X) и X —»• я г

(Ad г (X)) эквивалентны.

Если

бы

я г

и

я 2

были эквивалентны,

то

существовало

бы

обрати­

мое линейное

отображение

A:V1—+V2,

такое, что Ая1

(X) = я г (X) А.

Если v1£V1,

то

А_1я

(е) я1

(X)v1

= Л _ 1

я 2 (Ad е (X)) я (в) vt

= щ (Ad е (X)) А^я

(в)

vv

Следовательно,

{ Л _ 1 л ( е ) } 2 ,

рассматриваемое

как

линейное

преобра­

зование

пространства

Vlt

коммутирует

с

I I

и

является

поэтому

равно тождественному преобразованию.

Линейное преобразование

t>i + » i - * A-*v, +

Avt

§

5.

Представления группы

GL(2,

RJ

115

©, а

следовательно,

и

алгебры XX, полагая

Х ® л ( Х )

trace Х +

я ( Х ) ,

если

Х £ ® . Если

я

является

представлением

системы

{U, е}, про­

должим х ® л н а

{И,

е}, полагая

Х ® я ( / ) = я ( х / ) ,

где х/—произведение

функций х и

/•

Л е м м а

5.9.

Пусть

я 0

— неприводимое

допустимое

представление

алгебры

XX. Предположим,

что

я 0

эквивалентно

представлению

X—>-я0(Ас1е(Х)).

Тогда

существует

неприводимое

представление

я

системы

{XX, е},

ограничение

которого на XX равно п0. Если

ц —

нетри­

виальный

квадратичный

характер

группы

R*,

то

представления

я

и ч ® я

не

эквивалентны,

и

любое

представление

системы

{XX,

г},

ограничение

которого

на

XX эквивалентно

я 0 ,

эквивалентно

одному

из

них.

Пусть

я 0

действует

на

V. Существует

обратимое

линейное

пре­

образование А пространства V, такое, что

Ля 0 (X)

= я 0 (Ad е (X))

А

для

всех

X g XX. Тогда

А2

коммутирует

со всеми

я 0

(X)

и

поэтому

является скалярным. Мы можем предполагать,

что А2

= 1.

Если

мы

положим

я (е) = А

и

я (X) = я 0 (X) для

X £ХХ, то

получим

тре­

буемое представление.

Если

мы

заменим

А

на

— А , то получим

представление г ] ® л .

Представления

я и

т]^)я

не

эквивалентны,

мутировал бы со всеми л(Х)

и был бы поэтому скалярным. Любое

представление л '

системы

{ I I ,

е}, ограничение которого

на Ц экви­

валентно

я 0 ,

может

быть

так

реализовано

на У0 , что я ' ( X ) = я 0 (X)

для

всех

X .

Тогда

я'(е) =

± Л .

Л е м м а

5.10.

Пусть

ях —неприводимое

допустимое

представле­

ние

алгебры

XX.

Предположим,

что я г

и я 2 ,

где я 2

(X) = пх

(Ad г (X)),

не

эквивалентны.

Тогда

существует

неприводимое

представление

я

системы

{XX, е},

ограничение которого

на XX равно

прямой

сумме

nt

и л 2 .

Каждое неприводимое

допустимое

представление

системы {XX, е},

ограничение

которого

на

XX содержит л,, эквивалентно

я .

В

част­

ности,

т](5£)я эквивалентно

я .

Пусть

nL

действует

на

V r

Для построения я

мы положим

V =

116

Гл. I. Локальная теория

Т е о р е м а

5.11. Пусть

(.ц и LI2

— два квазихарактера

группы

R*.

(I)

Если [ А ^ 1

не может

быть

представлено

в виде

t—<-tpsgnt,

где

р—ненулевое

целое

число, то пространство

53 (р^,

р.2)

неприво­

димо

относительно

действия

системы

{Ц, е} или

алгебры

Жк. Через

я(р,х ,

ц2)

мы

будем

обозначать

тогда

любое

представление,

эквива­

лентное р(щ , щ).

(II)

Если p-iP-i"1

(t) = tpsgn

t,

где p—целое

положительное

число,

то

пространство

З З ^ , р.2)

содержит

ровно

одно

собственное

под­

пространство 53i (p.1 ,

(ijj),

инвариантное

относительно

{U, е}. Оно

бесконечномерно,

и

любое представление

системы

{Ц, е},

эквивалент­

ное

ограничению

представления

р(щ , р.2) на

3SS (\ilt

[i2),

будет

обо­

значаться

через

a (nv

u.2). Факторпространство

конечномерно,

и

через

я (р,х, р,2)

будет

обозначаться

любое

представ­

ление,

эквивалентное

представлению

системы

{U, е} на этом

фактор-

пространстве.

( I I I )

Если

(t) = tpsgnt,

где p—целое

отрицательное

число,

то

пространство

53 (щ, р-2)

содержит

ровно одно

собственное

под­

пространство

53/(щ,

(х2),

инвариантное

относительно

{Ч, &}. Оно

конечномерно,

и

через

я (\ilt

ц2)

будет

обозначаться

любое

представ­

ление,

эквивалентное

ограничению

представления

p(inlt

на

^3/(^1» Ш)- Через

а (цх ,

р.2)

будет

обозначаться

любое

представле­

ние, эквивалентное

представлению на

факторпространстве

# « 0 Ч .

!*•)= #

0*1,

»*•)•

(IV)

Никакое

представление

я,(щ, щ) не эквивалентно

ни

одному

из

представлений

a(p-i, u.2).

(V)

Представления

я ([ilt

ц2)

и я (р^, р-2) эквивалентны

в том и

только

в том случае,

если либо

(щ, \х2) = (p.i, р2 ), либо (щ, р,2) =

(р.2> \х[).

(VI)

Представления

о (щ,

р.2) и ст ([х^, р,2) эквивалентны

в том и

только

в том случае,

если

пара

(ц1 , р2 )

равна одной из пар

р.2 ),

(l-Ч. 1*1). d*i»b Н*^). (Н^ . H-iH)-

(VII)

Каждое

неприводимое

допустимое

представление

системы

{Ц,

г} эквивалентно

некоторому

я(р,1 ,

р,2) или некоторому

о (ци

и.2).

Пусть

Рчрг1

(/) = | / Is ( тут )

• ЧИСЛО S—т является

нечетным

целым

в том И ТОЛЬКО

В ТОМ случае,

если s равно целому числу р

и

р^р-Г1 (/) = tp sgn t.

Таким образом, первые три утверждения

тео­

ремы

следуют

из лемм

5.6

и 5.7. Четвертое

следует из того обстоя-

§

5.

Представления

группы

GL(2,

R)

117

тельства,

что

я ( р 1 (

р2 )

и

о(ц[,

ц'г)

не могут содержать одинаковых

представлений

алгебры Ли

группы

SO (2,

R).

Предположим

сначала,

что s—т отлично от нечетного целого

числа, и построим обратимое преобразование Т пространства S3([ilt

р8 )

в

53(\i2,

Lij),

которое

коммутирует

с

действием

{Ц, е}. Выше

мы

ввели

базис

{ф„}

пространства S3 (p,i,

р 2 ) . Пусть {ф^}— аналогичный

базис

для

S3 (р2 ,

fij).

Преобразование

Т

будет

переводить

ф„

в

некоторое

кратное апу'п

элемента

ф^. Применяя

лемму 5.6,

мы

видим,

что такое

Т

коммутирует

с действием

системы {Ц, е} в

том

и

только

в

том случае,

если

(s+

1 +п)

an+i

= (— s + 1 +п)

ап,

и

(s + 1 _ « ) а„_2 = (— s + 1 — п) ап

а„ =

( - 1 Г а _ „ .

Эти

соотношения

будут

выполняться,

если

мы

положим

r ( = i + I ± ^

«л = ап

(S) == ——,—ГТ- !

"

" w

T ( s

+

1 + n

Так

как

n =

m (mod 2) и s—m—-1

отлично от четного целого числа,

то все

эти числа определены и отличны от 0.

Если

s=^0

и

s—m

равно нечетному

целому

числу, положим

an(s)

==lim ап (г).

Числа

ап

(s)

снова определены, хотя некоторые из них могут

рав­

няться

0.

Соответствующий

оператор

Т

отображает

53 (цх,

р2 )

в

S3(\i2,

р-х) и

коммутирует

с

действием

системы

{U, е}. Если

s =

0,

оператор

Т

невырожден.

Если

s < 0 ,

его

ядро

равно

^ ( L I

J

,

р2 ),

и

он

определяет

обратимое

линейное

преобразование

пространства

•®ЛР1. ш) в

^ ( р - 2 >

Pi)-

Если

s > 0

и s—m

равно

нечетному

це­

лому

числу,

функции

ап

(г)

имеют

самое

большее

простой

полюс

в

точке s.

Положим

bn(s)

=

Um(z—s)an(z).

Оператор

Т,

отвечающий

семейству

\bn(s)},

отображает

S3(\iu

р2 )

в

S3(\i2,

ьц)

и

коммутирует

с действием

системы

{Ц,

е}. Его

ядро

равно S3s(\ilt

р2 ), так что он определяет обратимое линейное

пре­

образование

пространства

S3f (\ilt

р2 )

в

S3f(n2,

щ) . Эти

рассмотре­

Предположим

теперь, что

я == я (p l t р,) и я ' = я

р2 ) или

что я = = 0 ( р 1 ( р2 )

и л ' = = а ( р

1 , р2 ) эквивалентны. Пусть

р,- (*) ==

§ 5.

Представления группы

G L ^ , R)

119

то

гш(Х+)Ф(г)

=

(2пШгг)Ф(г).

Л е м м а

5.12. Пусть <S"0 (С, со) обозначает

пространство

функций

Ф^^(С,

со),

которые

имеют вид

Ф(г) = е - 2 Л | "1 2 "г /э (2,

г),

где Р (г,

г)—некоторый

полином

от

z

и

г.

Тогда ^ ( С ,

со) инва­

риантно

относительно

XX и ограничение

представления

гш на аР0 (С, со)

допустимо и

неприводимо.

Хорошо

известно

и легко

проверяется,

что функция

е _ 2 Я | н | г 2

равна своему

преобразованию

Фурье

при

условии,

конечно, что

это преобразование берется относительно

характера

ф(2) =

е - 2 л ' " | " Р ( г ,

г),'

где Р — полином от г

и г,

имеет

тот

же

вид. Таким образом,

<9*о(С, ю) инвариантно

относительно

rw(w).

Напомним, что

Пространство <5"0

(С, со) инвариантно, очевидно, относительно г ш (Х+).

Так

как

X.

— — Adw(X+),

то

оно также

инвариантно

относи­

тельно

Х_.

Но

Х+Х-—X-X+=Z,

так

что

оно инвариантно и

относительно

Z.

В § 1 мы видели, что если

со0

обозначает

ограни­

чение

со на

R*,

то

"а

0 \ \

О a) J =

( s g " G ) Шо

( а )

L

со(г) = (2

~

zmzn

„ ) / 2 ,

2 Г ( г -

( т +

где г — некоторое

комплексное

число,

а

т и п—два целых числа,

одно из которых

равно нулю, а другое неотрицательно, то функции