книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

§

4.

Примеры

абсолютно

каспидальных

представлений

91

Л е м м а

4.2.5. Пусть

Q — неприводимое представление

группы

К*

в комплексном

векторном

пространстве

U.

Предположим,

что

раз­

мерность

U

больше

единицы.

Тогда

(I) для

каждой

Ф£<5"(/(, U)

интегралы

Z(asF®Q,0)+

I

|a$*Q(a)<D(a)d*a,

к*

Z ( c 4 ® Q ~ \

Ф ) =

J

\a\sKl2Q~1(a)0{a)

d*a

к*

абсолютно

сходятся

в

некоторой

полуплоскости

Res>s 0 ;

(II)

функции Z(asF(g)Q,

Ф) и £(aJKg)Q~\

ф )

могут быть

анали­

тически

продолжены

до функций,

мероморфных

во всей

комплексной

плоскости;

(III) для

любого u£U

существует

Ф€<£Р{К,

U),

такая,

что

Z(asF®Q,

Ф)==и;

(IV)

существует

скалярная

функция

е (s,

Q,

W),

такая,

что

для

всех

Ф £ <S" (К,

U)

имеет

место

соотношение

г ( а Г " 5 ® Й - 1 , Ф ' ) = - е ( 5 , Й, ¥ ) Z ( a ^ + 1 / 2 ® Q ^ ) ,

где

Ф'—преобразование

Фурье

функции

Ф;

кроме того,

e(s,

Q, Ч?)

как

функция

от

s

равна произведению

константы

на

некоторую

экспоненту.

Нет

необходимости

проверять

первую часть леммы. Заметим, что

aF(v(x))

=

\V(X)\F=\X\K2,

так

что

(asF®Q)(x)

=

\x\%2Q(x).

Если Ф£&(К,

U),

положим

Ф 1 ( х ) =

$Q(A)0>(xA)dh.

к,

группе Кг.

Очевидно, что Ф 1

принадлежит

£f(K,

U)

и

Z(c£(g)Q,<I>) = Z ( c £ ® Q ,

Фх),

(4.2.6)

а преобразование

Фурье

Ф^ функции

Ф }

задается

равенством

ф;(х)=»5

Оф-^Ф'

{hx)dh.

к,

Функция

Ф[ (х1)

принадлежит

of (К,

Q)

и

Z{aF®О"1,

Ф') = Z{aF®Q-\

Ф[).

(4.2.7)

92

Гл.

1.

Локальная

теория

Если и £ U и через Ф п

мы

обозначим

функцию, которая

равна

нулю вне

группы

единиц

Uк

кольца

£±к , а на Uк

имеет вид Ф„(л:) =

= Q~1(x)u,

то

где

Z(asFg)Q,

Фи)

= си,

с =

J

d*a.

Для <р£&(К*)

обозначим

через

Л (ф)

и В (ф)

линейные

преоб­

разования

пространства U, определяемые

соотношениями

d f o ) « = Z ( c £ + 1 / , ® Q ,

фи),

6 ( 9 ) «

= Z ( a f S

+ 3

/ 2 ® Q - 1 , ф'ы),

и

р (h) ф (х) = ф (лЛ), то

и

Л (Л,(Л) ф) =

| А | ^ , + 1 / 4 Й ( Л ) Л ( ф )

Л(р(/г)Ф ) =

| / г | к 5 / 2 - г / 4 Л ( ф ) 0 - 1 ( Л ) .

Поскольку преобразование Фурье

функции Х(/г)ф равно |Л|А -р(А) ф'

и

преобразование Фурье функции

р(/1)ф равно\h\ji1 X(п)ф', то от­

Мы имеем

a(ha)

= \h\%2 +

1 / t

Q(ft)a(a),

a (ah-1)

= I h I * " 1

- 1 ' * a (a) Q"1

(h)

и аналогичные тождества

для

р\

Таким образом,

a(A)==|A|#, + 1

/ 4 Q ( A ) a ( l ) ,

Р(Л) =

|ЛЦс/в + 1 / 4 Й ( Л )Р ( 1 ) .

При этом а(1) является, конечно, тождественным

преобразованием.

С другой

стороны,

Р(1)

должно

коммутировать

с Q(h)

для

всех

h € К* и

поэтому равно

произведению

некоторого

скаляра

на

тож­

дественное

преобразование.

Обозначим этот

скаляр

через

- 8 ( s , Й, Y ) .

для Ф £&(%•,

U) и,

Тождество

части

(IV) справедливо

поэтому

в частности,

для Ф £ Sf(K,

Й).

Общий

случай

следует из

(4.2.6) и

(4.2.7). Так

как

е (s,

Q, Т) = -

-j-Z (a^"s (g) Q - i , ф^),

§

4. Примеры абсолютно кдспидальных

представлений

93

функция e(s,

Q, Ч?) является конечной линейной

комбинацией

сте­

пеней

функции | со |*, где

со — образующая

идеала

tyF. Меняя

роля­

ми Ф и

и Ф^,

мы видим,

что e_ 1 (s, Q, W) обладает

теми же свойст­

функции

|сор.

Завершим

теперь

доказательство

теоремы.

Предположим,

что

ф =

Ф Ф € <5" (F*. U)

и ф'==фга (ш)Ф- Мы

видели

в

§

1,

что если

X —

квазихарактер

группы

F*,

то

Ф(Х) = г ( а Д ® 0 , Ф ) ,

(4.2.8)

и

если Q (а) =

со (а) /

для

а £ F*,

то

^ ' ( Х - 1 © - 1 ) ^ — Z ( a f X - i ® Q - i ,

Ф').

(4.2.9)

Предположим, что (70 —некоторое подпространство пространства

U

и что

значения ф принадлежат U0.

Тогда

по предыдущей

лемме

ф(Х)

и ф ' ( Х - 1 © - 1 )

снова лежат в U0

при любом выборе X. Так как

ф' € <S" (F*,

U),

мы

можем

применить

формулу

обращения

для

пре­

образования Фурье

на мультипликативной

группе и убедиться в том,

что значения ф' принадлежат <У0.

Мы можем считать, что га действует на <S" (F*, U). Тогда £f (F*,

U0)

инвариантно

относительно

ra(w).

Так

как

ra(Ь)ф

= ^ ( Ь ) ф

для

b£BF,

то

это

подпространство

инвариантно

также

относительно

BF.

((а

0 \ \

&(F*,

U0)

действия

Наконец,

г я ( \ л

а ) ) ф =

й ) ( а ) ф .

т

а к

ч

т о

инвариантно относительно действия GF.

Если

мы

возьмем

одномер­

ное

с70,

то

<5" (F*, <У0)

может

быть отождествлено

с

Sf (F*)

и

ог­

раничение

представления г я на <S" (F*, Ua)

неприводимо.

Из

(4.2.8)

и

(4.2.9)

получаем

ф ( а Г 1 / 5 Х ) = £ ( с 4 + 1 / г

Х ® а ,

Ф),

c^'(^ s + 1 / 2 X - 1 © - 1 ) = - Z ( a ^ s + 3

/ 2 X - 1 ® Q - i ,

ф'),

так

что

ф' (aFs + 1 / 2 X-ico-i) =

e(s, X ® Q ,

Y) Ф

(off

1 / 2 Х ) .

Итак, если

я 0

обозначает

ограничение

гд

на

<SP(F*, Ug),

то

e(s,

Х ® я 0 ,

Y) = e(s,

X ® Q ,

V),

так

ч т о я 0 = я ( й ) с

точностью до эквивалентности

не

зависит от <У0.

Теорема

доказана.

Пусть Q—любое неприводимое конечномерное представление

группы

К*, и пусть Q действует на

U.

Контраградиентное

пред­

ставление й действует на двойственном пространстве

U

простран­

ства

U.

Если

u£U

и

u£U,

то

<ы,

Q (/*)«> =

< Q _ 1

(/*)«,

«>.

94

Гл.

I.

Локальная

теория

Если OZ&iK),

положим

Z(aF®

Q,

Ф; и,й) =

$ | v (h) | 5 Ф (Л) <Q (h) и,

и> d*h,

к*

2 ( а > ® Q, Ф; и, ы) =

J

| v (A) \s

Ф (А)<ы, D (Л) и> d*h.

к*

Т е о р е м а

4.3. Пусть

Q — неприводимое

представление группы К*

на

пространстве

U.

Тогда

(I) для

каждого квазихарактера

X группы

F*

jr(X(g)Q) =

X ® n ( Q ) ;

(II)

существует

вещественное

число s0,

такое,

что

для

всех

и,

и, Ф

и

всех

s,

для которых

Res>s 0 ,

интеграл,

определяющий

Z(aF(g)Q,

Ф; «,

а),

абсолютно

сходится;

(III)

существует

единственный

эйлеров

множитель L(s,

Q),

т а ­

кой, что

отношение

Z(asF+1/2®Q,

Ф;

и,й)

L(s,

Q)

голоморфно

для всех и, и, Ф

и Зля некоторого выбора

этих

перемен

ных равно

ненулевой

константе;

(IV)

имеет

место функциональное

уравнение

г(ар*-°®й,

Ф';и,й)_

m ^ ( a F

+ 1 / * ® Q ,

Ф; и,

и)

L ( l - S (

Q)

M S , " , * )

Щ - Q j

,

где

e(s,

Q,

¥ )

/сак

функция

от

s является

экспоненциальной;

(V) если Й(а) =

со(а)/

для

a£F*

и

если

я = я(£2),

то

"VVO

а

кроле

того,

Л (s,

n) = L(s,

Q), L(s,

n) = L(s,Q) и

г (s,

я, ¥ ) =

- e ( s , Q ,

П

больше 1. Предположим теперь, что

Q (К) = Х (v (h)),

где X— неко­

торый квазихарактер

группы F*. Тогда

я (Q) = я (%aj/2, XaF1/2),

и

если последняя часть

теоремы верна,

то

множитель

L(s, Q),

кото­

жен быть равен L(s, n) = L{s, %а)/г).

С другой стороны, L(s, Q)

должен быть равен L(s, n)=L(s,

Х~1аУг),

§

4. Примеры

абсолютно

каспидальных

представлений

95

В рассматриваемом

случае U = С и требуется рассмотреть только

Z ( a > ® Q , Ф; 1, l) = Z ( o £ ® Q , ф) .

Как

и раньше, второе утверждение тривиально, и

Z(asP®Q,

0 ) =

Z ( a J ^ ® Q , 0 1 ) ,

где

Ф, (х) = J Ф (xh) dh.

к.

Преобразование Фурье функции Ф, равно

ф ; ( х ) =

$0'(ftje)dh

и

к,

Z ( c £ ® Q ,

ф') =

£ ( с £ ® й ,

ФО.

Поэтому

достаточно рассмотреть

функции

из

of (К,

Q).

Если

ф = фф определена,

как и выше, то ф лежит в пространстве,

на

котором

реализуется

модель

Кириллова

представления я, и

Ф( a r l / 3 ) = Z ( a s / 1 / 2 ® Q , Ф).

Третье утверждение следует

из

свойств L(s,

я). Четвертое

следует

из

соотношения

Ф' ( а У - 8 с о - 0

= -

Z ( c # — ® Q~\

Ф'),

которое было доказано в §

1, и

соотношения

*

^ F

;

=e(s,

'

я,

¥ ) •

v F

7

'

L ( l - s , я)

4

'

'

L(s,

п)

которое было доказано в § 2, если учесть, что

U (h) = Q - 1

(Л). При

этом ф'

равно,

конечно,

я (до) ф.

С л е д с т в и е

4.4.

Если

я =

я ( й ) ,

т о

я =

я ( й ) .

функция / на F*, что

F{x)

=

f(v(x)).

Тождество,

которое мы стараемся

доказать,

может быть

переписано

в виде

$ Ф' (а) х-1

(а) ш - 1

(а) / (а-*) | a l ^ - ' d ' a

F*

/ . ( 1 - s ,

х - 1 ® " )

e(s, х ® " .

J c p ( a ) x ( a ) / ( a ) M s - 1 / a d * a

=

L(s, х ® я )

•

< 4 - 6 - 2 )

1 = 1

где

{xi> •••>

1р) — характеры

группы

F*/F',

которые не

ортого­

нальны

к /. По лемме,

£1 эквивалентно

х<@^

Д л

я 1 ^ ' ^ / Л и

п о "

этому я эквивалентно

х<®я

- Следовательно,

e(s,

х® л -

¥ ) = e(s,

XX/®". ^)

и

J 9 ' ( a ) x - 1 ( a ) x r 1 ( a ) « - 1 ( a ) ! « l 1 / 2 - s d * a

e(s,

х ® я ,

Y )

J 9 ( a ) x ( a ) x « ( a ) | a r l / a

d * a

_

F*

^(s,

Х ® л )

'

Тождество

(4.5.2) доказано.

F.

Пусть теперь

К—сепарабельное

квадратичное

расширение

поля

Мы

собираемся

ассоциировать

с

каждым

квазихарактером

со

группы

К* некоторое неприводимое

представление я (со) группы GF-

Если G + обозначает

множество

всех

g£Gp,

определители

которых

принадлежат

v (/(*),

то в § 1 мы уже ассоциировали с со некоторое

представление

г м

группы G+

. Чтобы подчеркнуть возможную

зави­

симость

гш

от

мы теперь

будем

обозначать

его через я (со, ¥ ) .

Группа

G +

есть

подгруппа индекса 2 в GF- Пусть

я(ю) — представ­

ление группы

GF, индуцированное

представлением

я (со, W).