книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Дзета-функции давно зарекомендовали себя как один из самых мощных инструментов теории чисел. Поскольку возможности клас­ сических дзета-функций, по-видимому, в значительной мере исчер­ паны, все больше специалистов с надеждой взирает на возникающие теперь в большом количестве новые дзета-функции, связывая с ними будущий прогресс арифметики. Возможно, наиболее перспективными из них являются дзета-функции, отвечающие автоморфным формам на алгебраических группах (в этой терминологии классические дзета-функции соответствуют одномерным или абелевым группам). Предлагаемая книга Жаке и Ленглендса—это первое систематичес­ кое изложение теории автоморфных форм и дзета-функций, отвеча­ ющих полной группе матриц второго порядка над арифметическими полями.

Разумеется, авторы строят эту теорию не на пустом месте. Более того, основные идеи были налицо, когда они приступили к своей работе. Это, прежде всего, теория Гекке рядов Дирихле, отвечающих модулярным формам, формула следа Сельберга, концепции И. М. Гельфанда и И. И. Пятецкого-Шапиро связей автоморфных форм и теории представлений, сама теория представлений групп Ли и, на­ конец, работы А. Вейля о рядах Дирихле с функциональными уравнениями. Однако окончательная реализация этих идей, даже в случае группы GL(2), оказалась далеко не простой задачей. Вместе с тем, без детальной теории, учитывающей в некотором разумном смысле все дзета-функции рассматриваемого класса, вряд ли имеет смысл серьезно говорить о содержательном применении их к ариф­ метике. В книге Жаке и Ленглендса эта задача в основном решена. Это потребовало от авторов огромной кропотливой работы и массы теоретических находок. В качестве иллюстрации приведен ряд весь­ ма интересных арифметических приложений (см. введение).

ПРЕДИСЛОВИЕ

К наиболее известным достижениям Гекке принадлежат его тео­ рия L-функций с гроссенхарактерами, которые являются рядами Дирихле, допускающими разложение в эйлерово произведение, и его теория эйлеровых произведений, ассоциированных с автоморфными формами на GL(2). Поскольку гроссенхарактер является автоморфной формой на GL(1), невольно напрашивается вопрос, не играют ли эйлеровы произведения, ассоциированные с автоморфными формами на GL(2), некоторую роль в теории чисел, аналогичную той, которую играют L-функции с гроссенхарактерами. В частности, имеют ли они отношение к L-функциям Артина, отвечающим двумерным представ­ лениям группы Галуа, подобное тому, которое L-функции Гекке имеют к L-функциям Артина, отвечающим одномерным представле­ ниям? Хотя мы не можем дать определенного ответа на этот вопрос, одна из основных целей настоящих заметок — привести некоторые свидетельства в пользу того, что этот ответ утвердительный.

Эти свидетельства представлены в § 12. Их источником яв­ ляется переосмысливание оригинальных исследований Гекке в духе одной недавней работы А. Вейля. Нечто новое в нашем переос­ мысливании возникает благодаря точке зрения, основанной на теории представлений групп. К сожалению, в литературе, по-види­

зуется не в теории Гекке, а в главе об автоморфных формах и

Параграфы 9 и 10 являются подготовительными для теории Гекке,

мерностей подгруппы Картана и унипотентного радикала подгруп­ пы Бореля группы PGL(2). Среди простых групп этим свойством обладает только PGL(2). Отсюда следует, что наш метод не обоб­ щается. Результаты же, за исключением обратной теоремы в теории Гекке, обобщаться могут.

8 Предисловие

Правильный путь установить функциональное уравнение для рядов Дирихле, ассоциированных с автоморфными формами,—это, по-видимому, путь Тейта. В § 13 мы проверяем, по существу, что этот метод приводит к тем же локальным множителям, что и путь Гекке, и в § 14 используем метод Тейта, чтобы получить функцио­ нальное уравнение для L-функций, ассоциированных с автоморф­ ными формами на мультипликативной группе кватернионной алгеб­ ры. Результаты § 13 наводят на мысль о связи характеров пред­ ставлений группы GL(2) и характеров представлений мультипли­ кативной группы кватернионной алгебры. Эта связь устанавли­ вается в § 15 на основании результатов § 13. Она была хорошо из­ вестна для архимедовых полей, однако ее значение не подчерки­ валось. Хотя наше доказательство оставляет желать лучшего, сам результат представляется нам одним из наиболее поразительных фактов, приведенных в этих заметках.

Параграфы 15 и 16 являются результатом запоздалых размыш­ лений; содержащиеся там факты были установлены лишь после того, как остальная часть этих заметок была почти закончена. Доказа­ тельства в § 16 только намечены, и мы сами еще не проверили всех деталей. Однако теорема из § 16 настолько важна и ее доказатель­ ство является такой прекрасной иллюстрацией силы и предельной

Глава I

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

§ 1. Представления Вейля

Прежде чем начинать изучение автоморфных форм, мы должны изложить обзор теории представлений полной линейной группы второго порядка над локальным полем. В частности, мы собираемся доказать существование различных серий представлений. Один из самых быстрых способов сделать это основан на использовании представлений, построенных Вейлем [3]. Мы начнем с изложения его конструкции, добавляя в соответствующих местах некоторые

сепарабельное квадратичное расширение поля F, инволюция i сов­