12. Определение параметров обслуживающих систем как одноканальных замкнутых смо с простейшими потоками.

Постановка задачи. Допустим, что обслуживающая производственная система может быть представлена как одноканальная замкнутая СМО. Например, “Ремонтная бригада - оборудование”. Канал обслуживания -ремонтнаябригада, а требования - оборудование, требующее время от времени! соответствующего ремонта. При этом, как время выхода из строя оборудования, так и продолжительность ремонта оборудования имеют вероятностный! характер. Поступающее в ремонт оборудование, находится в системе дотех пор, пока не будут отремонтированы - система с неограниченным временем ожидания ремонтируемого оборудования. Допустим, что потоки событий,] происходящие в системе, в процессе ее работы являются простейшими (ординарными, стационарными и без последействия).

Известны:

число оборудований, обслуживаемых ремонтной бригадой - т;

интенсивность поступления оборудования в ремонт - λ;

интенсивность ремонта оборудования - µ.

Требуется определить параметры функционирования обслуживающей

системы “Ремонтная бригада - оборудование” в установившемся режиме. когда вероятности состояния системы не зависят от времени:

вероятность отсутствия в системе ремонтируемого оборудования - канал обслуживания - ремонтная бригада простаивает - Р_а;

вероятности наличия в системе птребований (ремонтируемых оборудований) -Р_п;

коэффициент использования канала обслуживания (ремонтной бригады);

среднюю длину очереди, т. е. среднее число требований находящихся в очереди, ожидающих обслуживания - N₀ч,

среднее число требований находящихся в системе, т. е. в очереди и в ка* нале обслуживания - N_Cmct-

Выявление основных особенностей взаимосвязей и количественных закономерностей. Функционирование рассматриваемого производственного процесса можно представить через все возможные состояния его и интенсивности перехода системы из одного состояния в другое.

Представим функционирование производственного процесса “Ремонт­ная бригада - оборудование” как системы массового обслуживания, в виде размеченного графа всех возможных состояний системы. Для чего необхо­димо выполнить ряд действий:

• составить полный перечень всех возможных состояний производствен­ной системы по числу требований (оборудований), требующих ремонта! (обслуживания). Так, если ни одно оборудование не поступила в систему] в ремонт, то канал обслуживания (ремонтная бригада) будет простаивать] и такое состояние характеризуется параметром Р₀ -вероятностью отсут­ствия требований в системе. При наличии в системе только одного обо­рудования это состояние характеризуется параметром Р₁- вероятностью! наличия одного требования в системе и т. д. Таким образом, каждый] прямоугольник графа, количественно оцениваемый вероятностью со­стоянийР₁определяет одно из всех возможных состояний;

определить все возможные переходы (связи) системы из одного состоя­ния в другие. Переходы (связи) изображаются соответствующими стрел­ками. Стрелки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью. Первый прямоугольник с вероятностью Р₀опреде­ляет состояние производственной системы, при котором канал обслужи­вания простаивает, из-за отсутствия требований. Из этого состояния сис­тема может перейти только в состояниеPi.Тогда в системе появится одно оборудование, нуждающееся в обслуживании, так как входной поток их ординарный. С интенсивностьюµсистема может перейти также из со­стоянияР;в состояниеР₀.Это тогда, когда в системе находилось одно оборудование, но оно было обслужено раньше, чем появилось новое и т.д.; построить размеченныйграф состояний, который изображает все воз­можные состояния системы, все возможные переходы и соответствую­щие интенсивности.

Для одноканального замкнутого производственного процесса “Ремонтная бригада - оборудование” размеченный граф состояний будет выглядеть так, как показан на рис. 5.4.

рис. 5.4. Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой производственной

системы

Ограничимся рассмотрением установившегося режима работы производственной системы,когда вероятности состояний системы не зависят от времени. Это наиболеераспространенный режим работы производственной системы. Тогдаинтенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния системы будут сбалансированы. Эти балансы можно представить в таком виде:

Исследование системы.Для определения искомых параметров функ­ционирования, рассматриваемой производственной системы, проведем ре­шение системы алгебраических уравнений аналитическим, а затем числен­ным методом с помощью системыMathcad[7].

Определение параметров функционирования производственной сис­темы аналитическим методом.

При решении задачи аналитическим методом используем метод по­следовательных подстановок. Обозначим величину λ/тчерезψи назовем его коэффициентом загрузки.

В качестве примера рассмотрим производственный процесс "Ремонт­ная бригада - оборудование". Известны исходные данные системы:

число обслуживаемого оборудования m= 5;

интенсивность ремонта оборудования µ= 29 ремонтов в год;

интенсивность отказа каждого оборудования λ = 6 отказов в год. Требуется определить:

вероятность простоя ремонтной бригады Р₀

вероятности нахождения в ремонте 1-го, 2-х, 3-х, 4-х и 5 оборудова­ний P₁P₂P₃P₄P₅.

•коэффициент использования ремонтной бригады -К;

среднее число оборудований, находящихся в системе – Nсист,

среднее число оборудований, находящихся в очереди - Noч-

Перед определением требуемых параметров функционирования задан­ной одноканальной замкнутой производственной системы определим ко­эффициент загрузки µкоторый будет равенψ= λ/µ= 0,207.

Вероятность простоя ремонтной бригады составит:

Вероятности отказа 1-го, 2-х, 3-х, 4-х и 5 оборудований соответственно составят:

P₁= Р₀*т*ψ= 0,271-• 5 • 0,207 = 0,281,

P₂=P₁*(m-1)*ψ=0,281-4-0,207 =0,233,

P₃=P₂*(m-2)*ψ= 0,233 • 3 • 0,207 = 0,144,

P₄=P₃*(m-3)*ψ= 0,144 • 2 • 0,207 = 0,058,

P₅ =P₄*(m-4)*ψ= 0,058-1-0,207= 0,012.

Коэффициент использования ремонтной бригады составит.

K= 1-Р₀=1-0,271 = 0,729.

Среднее число оборудований, находящихся в ремонте, определится по формуле:

N_cucm=m-(1-P₀)/ψ =1.477

Среднее число оборудований, находящихся в очереди, определится по формуле:

N_m=N_cucm-(1-P₀)=m-(1-P₀)*(1/ψ+1)= 0,749.