15. Оптимальное планирование производства (ремонта, обслуживания, ….) при регулярном спросе.

Задача А: Для изготовления (ремонта, обслуживания)nвидов изделий И₁, И₂, …., И_nнеобходимы ресурсыmвидов: трудовые, материальные, финансовые и др. Известно необходимое количество отдельногоi-го ресурса для изготовления(ремонта, обслуживания) каждогоj-го изделия. Назовем эту величину нормой расходаc_ij. Известно имеющееся количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, -a_i(i=1, 2,m). Известна прибыль П_j, получаемая предприятием от изготовления (ремонта, обслуживания, …) каждогоj-го изделия. Требуется определить: какие изделия и в каком количестве должно изготавливать (ремонтировать, обслуживать, …) предприятиеx_j(j=1, 2, ….,n), чтобы обеспечить получение максимальной прибыли.

Таблица 1.1.

Используемые Ресурсы	Изготавливаемые изделия						Наличие ресурсов
	И1	И2	И3	И4	И5
Трудовые Материальные Финансовые Иные	6 2 10 7	7 5 8 5	2 3 4 5	6 7 8 9	10 12 5 7	17 15 10 7
Прибыль	50	60	30	20	30

Постановка задачи В:В распоряжении завода ж/б изделий (ЖБИ) имеетсяmвидов сырья (песок, щебень, цемент, вода) в объемеa_i(i=,2 ,…,m). Требуется произвести продукциюnвидов –x_j(j=1,2,…,n). Дана технологическая нормаc_ijпотребления отдельногоi– го вида сырья для изготовления единицы продукции каждогоj-го вида. Известна прибыль П_j, получаемая от выпуска единицы продукцииj-го вида. Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве должен производить завод ЖБИ, чтобы получить максимальную прибыль. Исходные данные представлены в табл. 1.2.

Таблица 1.2.

Используемые Ресурсы	Изготавливаемые изделия					Наличие ресурсов
	И1	И2	И3	И4	И5
Песок Щебень Цемент Вода	6 2 10 7	7 5 8 5	2 3 4 5	6 7 8 9	10 12 5 7	21 15 16 15
Прибыль	50	60	30	20	30

Постановка задачи С: на предприятии после модернизации производства появился свободный ресурс времени оборудования. Предлагается организовать производство новых изделий нескольких наименований. Известно время, требуемое на изготовление отдельного изделия на каждом оборудовании, свободные резервы времени на каждом оборудовании, а так же прибыль, получаемая от выпуска каждого изделия. Требуется определить: какие изделия и в каком количестве целесообразно производить на предприятии, чтобы получить максимальную прибыль.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей.Количество изделийj-го наименования, которое может производить предприятие, обозначим черезx_j. Зная количество каждого видаi-го ресурса, необходимого для изготовления отдельногоj-го типа изделия – норму расходаc_ijи количество каждогоi-го ресурсаa_i(табл 1.2.), можно записать следующую систему неравенств:

Полученную систему неравенств можно записать в виде совокупности равенств, если в каждое из неравенств ввести фиктивные изделия (дополнительные переменные) x₆,x₇,x₈,x₉ при изготовлении которых используют каждый оставшийся вид ресурса.

В этом случае система принимает вид:

Прибыль, получаемая от фиктивных изделий, принимается равной нулю.

Построение математической модели.Критерий оптимизации (суммарная величина прибыли) можно представить в виде:

Граничные условия можно записать следующим образом:

x_j0, (j=1,…,n).

Совокупность системы ограничений, целевой функции и граничных условий образует математическую модель для задачи.

Алгоритм решения. Метод решения – симплекс-метод. Для его использования необходимо предварительно определить начальный базис, т.е решение, которое удовлетворит системе равенств.

Систему уравнений необходимо записать в виде:

Переменные в левой части системы у-ний наз. базисными (основными),а находящиеся справа – небазисными (не основными).

Для определения значений базисных переменных x₆,x₇,x₈,x₉необходимо приравнять к нулю небазисныеx₁,x₂,x₃,x₄,x₅ и подставить их в систему уравнений. Полученное таким образом решение наз. базисным и будет выглядеть таким образом:

(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅ ,x₆,x₇,x₈,x₉)

(0, 0, 0, 0, 0, 21, 15, 16, 15)

Алгоритм симплекс-метода:

1. Заполнение исходной симплекс-таблицы.

2. Проверка базисного решения на оптимальность. Просматриваются знаки коэффициентов при небазисных переменных в целевой функции (критерий оптимизации)- последняя строка табл. 1.3.

Если все коэффициенты при небазисных переменных не положительны, то исходный базис является оптимальным.

Базисные переменные xi	Свободные члены bi	Коэффициенты при небазисных и базисных переменных
		x1	x2*	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x6* x7 x8 x9	21 15 16 15	6 2 10 7	7* 5 8 5	2 3 4 5	6 7 8 9	10 12 5 7	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1
Цел. ф-ция	0	50	60	30	20	30	0	0	0	0

3. Проверка задачи на наличие решения. Если при какой-либо небазисной переменной, имеющей положительный коэф. В целевой ф-ции, окажется, что столбец коэффициентов при этой же переменной в системе уравнений состоит из одних положительных чисел, то максимальное значение целевой функции стремится к бесконечности, т.е. задача решений не имеет.

4. Выбор из небазисных переменных той, которая способна при введении ее в базис увеличить значение целевой функции. Выбираем ту небазисную переменную, которой соответствует наибольший положительный коэффициент в целевой функции.

5. Определение базисной переменной, которая должна быть выведена из базиса. Для всех положительных коэф. При вводимой в базис переменной в системе у-ний определяется отношение свободного члена уравнения к коэффициенту при вводимой в базис переменной.

21/7=3, 15/5=3, 16/8=2, 15/5=3.

Минимальное отношение из полученных указывает строку, базисную переменную, которая должна быть выведена из базиса. При наличии нескольких одинаковых отношений берется любое. Выводим из базиса переменную x₅.

6. Представление новой базисной переменной через небазисные. Строится новая симплекс-таблица (табл.1.4.). Отмечается звездочкой строка и столбец в предыдущей таблице 1.3. соответственно для выводимой из базиса и для вводимой в него переменной.

Коэффициент, находящийся на пересечении строки и столбца, отмеченных звездочками, называется разрешающим и помечается звездочкой. Все коэффициенты строки отмеченной звездочками делятся на разрешающий коэффициент, а результаты заносятся в новую таблицу.

Базисные переменные xi	Свободные члены bi	Коэффициенты при небазисных и базисных переменных
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x2* x7 x8 x9	21 15 16 15	6 2 10 7	1 0 0 0	2 3 4 5	6 7 8 9	10 12 5 7	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1
Цел. ф-ция	0	50	60	30	20	30	0	0	0	0

7. Представление остальных базисных переменных и целевой функции через набор небазисных переменных. Этот этап состоит из нескольких шагов:

1. Определение преобразуемой строки в предыдущей таблице табл. 1.3.

2. Определение множителя для преобразуемой строки. Он равен коэффициенту, стоящему на пересечении преобразуемой строки в предыдущей таблице и столбца коэффициентов при новой базисной переменной, но с обратным знакомю

3. Умножение каждого коэффициента в новой таблице при новой базисной переменной на множитель преобразуемой строки.

4. Сложение результатов умножения на предыдущем шаге с соответствующими коэффициентами преобразуемой строки табл. 1.3.

5. Занесение результатов сложения в соответствующие клетки новой таблицы.

6. Аналогичные расчеты проводятся для всех остальных строк включая и строку целевой функции.

Далее выполняем новую итерацию. Цикл расчета начинается с этапа 2.

2. Проверка базисного решения на оптимальность. Анализируя знаки коэффициентов при небазисных переменных в целевой функции (критерий оптимизации) - последняя строка табл. 1.4 видим, что не все коэффициен­ты при небазисных переменных не положительны, следовательно данный базис не является оптимальным, но лучше, чем предыдущий.

3. Проверка задачи на наличие решения. В нашей задаче имеется.

4. Выбор из небазисных переменных той, которая способна при введе­ны ее в базис увеличить значение целевой функции. В качестве вводимой в базис небазисной переменной берем х₃ (или х_;), как имеющую наибольший положительный коэффициент. Отмечаем звездочкой столбец х6 табл. 1.4.

5. Определение базисной переменной, которая должна быть выведена базиса. В качестве выводимой из базиса переменной берем х₆ табл. 1.4,как для нее частное от деления свободного члена на соответствующий коэффициент минимально. Отмечаем звездочкой строку х₆ табл. 1.4.

6. Представление новой базисной переменной через небазисные. Строит- новая симплекс-таблица (табл. 1.5).

Отмечаем звездочкой коэффициент, находящийся на пересечении строки и столбца, отмеченных звездочками табл. 1.4

В нашей задаче на второй итерации разрешающий элемент равен ^/5 и находится во второй строке (табл. 1.4). Все коэффициенты строки, отмеченной звездочкой (табл. 1.4), делятся на разрешающий элемент, а результаты расчета заносятся в новую симплекс-таблицу (табл. 1.5) во вторую строку.

Таблица 1.5

Базисные переменные xi	Свободные члены bi	Коэфф. при небазисных и базисных переменных
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
х2 х3 х7	3 0 12	1/9 11/9 -5/9	1 0 0	0 1 0	1/9 4/9 -10/9	1/3 -3/9 -2/9	-2/9 5/9 -8/9	0 0 1
Целевая функция	-150	-20/0	0	0	-490/9	-20/3	-0/9	0

7. Представление остальных базисных переменных и целевой функции через новый набор небазисных переменных. Этап включает ряд шагов:

1. определение преобразуемой строки в предыдущей таблице (табл. 1.4),

допустим, что это будет строка один;

2. определение множителя для преобразуемой строки. В нашем примере на второй

итерации для преобразуемой первой строки этот множитель будет равен -2/5;

3. умножение каждого коэффициента в новой таблице табл. 1.5 при но- эй базисной переменной х₃ на множитель преобразуемой строки» В нашем примере на второй итерации умножаем коэффициенты при новой базисной переменной (х3) - второй строки табл. 1.5 на множитель -2/5. Получим следующие коэффициенты (0 • (-2/5) = 0, 11/9 • (-2/5) = -22/45, 0 • 2/5)

= 0,1 • (-2/5) =-2/5, 4/9 • (-2/5) = -8/45, -3/9 • (-2/5) = 6/45, 5/9 • (-2/5) = -10/45, 0 • (-2/5) = 0;

4. сложение результатов умножения на предыдущем шаге с соответст­вующим b коэффициентами преобразуемой строки (табл. 1.4). В нашем примере необходимо сложить коэффициенты (0, -22/45, 0, -2/5, -8/45, 6/45, -10/45, 0) с соответствующими коэффициентами преобразуемой первой строки табл. 1.4 (3, 3/5, 1, 2/5, 7/5, 1/5, 0, 0). Получим (0 + 3 =3, -22/45 + + 3/5 = 1/9, 0 +1 = 1, -2/5 + 2/5 = 0, -8/45 + 7/5 = 11/9, 6/45 + 1/5 = 1/3, -10/45 + 0 = -2/9, 0 + 0 = 0);

5. занесение результатов сложения в соответствующие клетки новой таблицы. В нашем примере в первой строке табл. 1.5 появятся коэффици­енты (3, 1/9, 1, 0, 1/9, 1/3, -2/9, 0);

6. аналогичные расчеты проводятся для всех остальных строк, включая и строку целевой функции

Последняя строка таблицы не содержит положительных коэффициен­тов при небазисных переменных. Анализируя полученное решение, видим, что оно оптимально и выглядит так:

(x1 x2, x3, x4, x5, x6, x7);

(0, 3, 0, 0, 0, 0,12).

Из полученного решения видно, что предприятию наиболее выгодно изготовление только изделия И₂, производство которых обеспечит ему мак­симальную прибыль в размере Ymax = 150. При этом материальные и тру­довые ресурсы будут задействованы полностью, а финансовые - недоис­пользованы на 12 единиц.

Рассмотрим теперь решение этой же задачи в системе Mathcad.

Определение оптимального плана производства изделий в системе Mathcad включает несколько этапов.

Нулевой этап - ввод поясняющего текста и исходных данных:

• введите название этапа;

• выведите поясняющий текст и исходные данные рис. 1.1.

В нашей задаче исходные данные представлены в виде таблицы и по­ясняющего текста рис. 1.1.

Алгоритм решения задачи включает несколько этапов.

Первый этап - представление критерия оптимизации:

• введите имя критерия оптимизации, с аргументами в скобках через запятые Y(X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7), а затем знак присваивания, на­жав комбинацию клавиш Shift+: (двоеточие);

У введите в появившуюся метку выражение критерия оптимизации

40-Х1+ 50-Х2 + 30X3 + 20-Х4 + 0-Х5 + 0X6 + 0-Х7

Второй этап - определение начальных приближений:

• введите название этапа, а затем начальные приближения для иско­мых переменных: XI := 0 Х2:=0 Х3:=0 Х4:=0;

ведите начальные приближения для фиктивных переменных: Х5:=15 Х6:= 9 Х7:=30.