17. Оптимизация загрузки оборудования (рабочих) в единичном производстве

В процессе оптимизации загрузки оборудования (рабочих) в единичном производстве используют все виды расчетов; одновариантные, многовариантные и оптимизационные. Наибольшее распространение находят многовариантные и оптимизационные расчеты.

В настоящее время от многовариантных расчетов переходят к оптимизационным расчетам, которые имеют большие преимущества перед многовариантными расчетами.

Задача оптимизации в общем случае включает три составляющие: целевую функцию (критерий оптимизации); ограничения; граничные условия.

Граничные условия показывают предельно допустимый значения искомых переменных.

Ограничения показывают существующие связи между искомыми переменными. По своему происхождению связи могут быть детерминированными и статистическими.

Критерий оптимизации показывает влияние искомых переменных на го величину, которая должна быть минимизирована или максимизирована, k зависимости от выбранного критерия.

Значения искомых переменных, удовлетворяющих граничным услови­ям и ограничениям, называют допустимым решением задачи.

Структура математической модели представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Структура математической модели

В многовариантных расчетах задаются конкретными значениями неко­торых искомых величин. В оптимизационных же расчетах задаются не конкретные значения некоторых искомых величин, а граничные условия, т.е. предельно допустимые значения всех искомых величин. В многовари­антных расчетах значение целевой функции является следствием заданных значений величин. В оптимизационных расчетах находятся такие значения искомых величин, которые, во-первых, удовлетворяют всем ограничениям и граничным условиям, а во-вторых, придают целевой функции оптималь­ное, т.е. максимальное или минимальное значение.

Сформулируем несколько возможных постановок задач по оптимиза­ции загрузки оборудования и рабочих в единичном производстве и рас­смотрим один из наиболее распространенных алгоритмов их решения.

Постановка задачи А. На предприятии имеется п - типов универсаль­ного оборудования и требуется изготовить п - видов изделий. Известно время изготовления каждого изделия на каждом виде оборудования. Требу­ется определить какое изделие, на каком оборудовании необходимо изго­тавливать, чтобы суммарное время на изготовление всех изделий было ми­нимальным {табл. 2.2).

Постановка задачи В. Для реализации производственного процесса необходимо выполнить п - операций. Имеется п - рабочих, которые способ­ны выполнить эти операции и известно время выполнения каждым рабочим каждой операции. Требуется определить какой рабочий должен выполнять какую операцию, чтобы суммарное время на выполнение всего производ­ственного процесса было минимальным.

Постановка задачи С. В конструкторском бюро требуется разрабо­тать проект машины, состоящей из и-узлов. К разработке узлов можно при­влечь п конструкторов. Известно время, затрачиваемое каждым конструк­тором для разработки каждого узла. Требуется определить какие конструк­тора, какие узлы должны проектировать, чтобы суммарное время на проек­тирование машины было минимально.

Таблица 2.2.

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,..., n)
	И1	И2	И3	И4	И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	30	70	50	80	60
О2	20	40	40	50	70
O3	40	70	20	80	90
O4	90	70	30	80	100
O5	60	40	30	60	70

Выявление основных особенностей взаимосвязей и количествен­ных закономерностей.

Введем переменные Ху, которые равны:

1, если на i - ом оборудовании изготавливается j - ое изделие;

О, если на i - ом оборудовании не изготавливается j - ое изделие. Сформулируем ограничения в задаче:

1. каждое оборудование может изготавливать только одно изделие. Это ограничение можно записать в таком виде

.

2. каждое изделие может изготавливаться только на одном оборудования . Это ограничение можно записать так

Построение математической модели. В качестве критерия оптимизации и примем суммарные затраты на изготовление всех изделий - Y. Обозначаем через Y_ij затраты при изготовлении j - го изделия на i - м оборудовании. Когда критерий оптимизации Y запишется в таком виде

Совокупность ограничений и целевой функции образует математическую модель. Это типичная экстремальная комбинаторная задача.

Эта задача представляет собой выбор оборудования для изготовления изделий в единичном производстве. Число возможных расстановок - N с ростом количества используемого оборудования -пи числа изготавливаемых изделий - п резко возрастает и равно N = п!.

Даже для нашей простой задачи N = 5! = 120, а для п = 1 число перестановок составляет уже - 5040.

В литературе эта задача имеет свое название - задача о назначении, данная задач относится к классу задач линейного программирования, так как ограничения и целевая функция имеют линейный вид, т.е. искомые величины находятся в первой степени.

Алгоритм решения. Для решения задач данного типа разработанного методов. Рассмотрим один из наиболее распространенных - венгерский метод. Для поиска оптимального решения потребуется не более чем (п - 2) последовательно проводимых итераций.

Алгоритм метода включает четыре основных этапа.

1. Получение нулей в каждой строке и каждом столбце. Находится наименьший элемент в каждой строке исходной таблицы (см. табл. 2.2) и учитывается из всех ее элементов. Получаем новую таблицу (табл. 2.3).

Аналогично действия выполняем для каждого столбца в новой таблице табл. 2.3). Получаем табл. 2.4.

2. Проверка решения на оптимальность. Ищется строка, содержащая меньшее число нулей. В нашей задаче это строка 3. Отмечается звездочкой один

нулей этой строки и зачеркиваются все остальные нули этой строки и столбца, держащего ноль со звездочкой. Результаты этого шага показаны табл. 2.5.

Таблица 2.3

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,..., n)
	И1	И2	И3	И4	И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0	40	20	50	30
О2	0	20	20	30	50
O3	20	50	0	60	70
O4	60	40	0	50	70
O5	30	10	0	30	40

Таблица 2.4

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,..., n)
	И1	И2	И3	И4	И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0	30	20	20	0
О2	0	10	20	0	20
O3	20	40	0	30	40
O4	60	30	0	20	40
O5	30	0	0	0	10

Таблица 2.5

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,..., n)
	И1	И2	И3	И4	И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0	30	20	20	0
О2	0	10	20	0	20
O3	20	40	0*	30	40
O4	60	30	Ø	20	40
O5	30	0	Ø	0	10

Аналогичные операции последовательно выполняем для оставшихся строк. Поскольку, каждая из оставшихся строк, кроме 4, содержит по два не вычеркнутых ноля, отмечать звездочкой можно любой ноль в любой строке. Отметим звездочкой первый ноль в первой строке. Остальные ноли этой строки и столбца вычеркнем. И так далее. Результаты выполнения этапа представлены в табл. 2.6.

В нашем примере число нулей отмеченных звездочкой составил - 4 ноля. Если число нулей отмеченных звездочкой, равно п, то решение явля­ется оптимальным, в противном случае следует переходить к следующему шагу. В нашем случае число нолей отмеченных звездочкой не равно п (табл. 2.6), следовательно, решение не оптимально.

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,..., n)
	И1	И2	И3	И4	И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0*	30	20	20	Ø
О2	Ø	10	20	0*	20
O3	20	40	0*	30	40
O4	60	30	Ø	20	40
O5	30	0*	Ø	Ø	10

Таблица 2.6

3. Поиск минимального набора строк и столбцов, содержащих ноли. Необходимо отметить звездочкой:

А) все строки, не имеющие ни одного отмеченного звездочкой ноля (строка 4 табл. 2.7);

Б) все столбцы, содержащие перечеркнутый ноль, хотя бы в одной из отмеченных звездочкой строк (столбец 3 табл. 2.7);

В) все строки, содержащие отмеченные звездочкой ноли, хотя бы в од­ном из отмеченных звездочкой столбцов (строка 3 табл. 2.7).

Далее повторяются поочередно действия б) и в) до тех пор, пока есть что отмечать. После этого необходимо зачеркнуть каждую непомеченную строку и каждый помеченный столбец.

Цель этого этапа - провести минимальное число горизонтальных и вер­тикальных прямых, пересекающих, по крайней мере, один раз все ноли.

Таблица 2.7

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,…, n)
	И1	И2		И3 |		И4		И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
--О1—	--0*--		--30—		--20— |		--20—		--Ø—
--O2--	--Ø—		--10--		--20— |		--0*--		--20—
О3*	20		40		0* |		30		40
O4*	60		30		Ø |		20		40
--О5--	--30—		--0*--		-- Ø— |		--Ø—		--10—

3. Перестановка некоторых нолей. Находится наименьший элемент в не вычеркнутых клетках (число 20 табл. 2.7), вычитается из каждого элемента для непомеченных столбцов и прибавляется к каждому элементу непомечен­ной строки. Результаты расчета заносятся в новую таблицу (табл. 2.8).

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,...,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,..., n)
	И1	И2		И3		И4		И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0		30		40		20		0
O2	0		10		40		0		20
О3*	0		20		0		10		20
O4*	40		10		0		0		20
О5	30		0		20		0		10

Таблица 2.8

5. Проверка решения на оптимальность. Ищется строка, содержащая меньшее число нолей. На второй итерации это строка 1. Отмечается звез­дочкой один из нулей этой строки и зачеркиваются все остальные ноли этой строки и столбца, содержащего ноль со звездочкой. Аналогичные опе­рации последовательно выполняем для оставшихся строк. Результаты этого шага показаны в табл. 2.9.

Таблица 2.9

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,…, n)
	И1	И2		И3		И4		И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0*		30		40		20		Ø
O2	Ø		10		40		0*		20
О3	Ø		20		0*		10		20
O4	40		10		Ø		Ø		20
О5	30		0*		20		Ø		10

Поскольку число нолей, отмеченных звездочкой, не равно п, выполня­ется новый итерационный цикл, начиная с этапа 3.

3. Поиск минимального набора строк и столбцов, содержащих но­ли. Необходимо отметить звездочкой:

а/ все строки, не имеющие ни одного отмеченного звездочкой ноля (строка 4 табл. 2.10),

б/ все столбцы, содержащие перечеркнутый ноль, хотя бы в одной из отмеченных звездочкой строк (столбец 3 и 4 табл. 2.10)\

в/ все строки, содержащие отмеченные звездочкой ноли, хотя бы в од­ном из отмеченных звездочкой столбцов (строка 2 и 3 табл. 2.10).

Далее повторяются поочередно действия шагов б/ и в/. При первой итерации отмечаем звездочкой столбец 1, а затем строку 1. При второй итерации отмечаем звездочкой столбец 5. Результаты этой операции пред­ставлены в табл. 2.11.

Таблица 2.10

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,…, n)
	И1	И2		И3		И4		И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0*		30		40		20		Ø
O2*	Ø		10		40		0*		20
О3*	Ø		20		0*		10		20
O4*	40		10		Ø		Ø		20
О5	30		0*		20		Ø		10

Таблица 2.11

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,…, n)
	И1	И2		И3		И4		И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1*	0*		30		40		20		Ø
O2*	Ø		10		40		0*		20
О3*	Ø		20		0*		10		20
O4*	40		10		Ø		Ø		20
О5	30		0*		20		Ø		10

После этого необходимо зачеркнуть каждую непомеченную строку и каждый помеченный столбец табл. 2.12.

Таблица 2.12

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,…, n)
	И1 |	И2		И3 |		И4 |		И5 |
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1*	0* |		30		40 |		20 |		Ø |
O2*	Ø |		10		40 |		0* |		20 |
О3*	Ø |		20		0* |		10 |		20 |
O4*	40 |		10		Ø |		Ø |		20 |
--О5--	--30-- |		--0*--		--20-- |		--Ø-- |		--10-- |

4. Перестановка некоторых нолей. Находится наименьший элемент в не вычеркнутых клетках (число 10 табл. 2.12), вычитается из каждого элемента для непомеченных столбцов и прибавляется к каждому элементу непомеченной строки. Результаты расчета заносятся в новую табл. 2.13

Таблица 2.13

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,…, n)
	И1	И2		И3		И4		И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	0		20		20		20		0
O2	0		0		20		0		20
О3	0		10		0		10		20
O4	40		0		0		0		20
О5	40		0*		10		10		20

5. Проверка решения на оптимальность. Ищется строка, содержащая меньшее число нулей. На третьей итерации это строка 5, содержащая один ноль. Отметим звездочкой этот ноль и зачеркнем остальные ноли столбца. Аналогичные операции последовательно выполняем для оставшихся строк. Отметим звездочкой в строке 1 второй ноль. Результаты этого этапа пока­заны в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Используемое оборудование Оi (i = 1,2,…,n)	Изготавливаемые изделия Иj (j =1,2,…, n)
	И1	И2		И3		И4		И5
	Затраты Уijпри изготовлении изделия Иj на оборудовании Оi
О1	Ø		20		20		20		0*
O2	0*		Ø		20		Ø		20
О3	Ø		10		0*		10		20
O4	40		Ø		Ø		0*		20
О5	40		0*		10		10		20

Поскольку, число нолей, отмеченных звездочкой, равно п, то получен­ное решение оптимально. Ноль со звездочкой определяет какое изделие на каком оборудовании должно изготавливаться.

Согласно полученному оптимальному решению, распределение изго­товления изделий по имеющимся оборудованиям, должно быть проведено так: первое изделие изготавливается на пятом оборудовании; второе на первом; третье на третьем, четвертое на четвертом, а пятое изделие изго­тавливается на втором оборудовании. При этом суммарные затраты на из­готовление всех изделий будут минимальны и составят Y_Mim = 220.

Y_min = Y ₁₅ + Y₂₁ + Y₃₃ + Y₄₄ + Y₅₂ = 60 + 20 +20 +80 +40 = 220