6 Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Равенство нулю обеспечено, если угол между векторами -+пи\2

7 Векторное произведение

Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого 

8 Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

• Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

• Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:

Применение:1) можно узнать компланарны ли векторы. Если abc=0, то векторы в одной плоскости.

2) Правая и левая тройки векторов

Определение

Три некомпланарных вектора , и , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов , и называется левой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).

Тройка векторов , и называется правой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

3) Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор : 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть заданы:

а) точка на оси ординат;

б) угол (рис.3.21,а).

Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины .

Величину, равную тангенсу угла , который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают (рис.3.21,а).

Выберем на прямой произвольную точку , отличную от , т.е. . Запишем уравнение (3.16) при :

Отсюда 

Подставляя , получаем уравнение

(3.18)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (или уравнением прямой, разрешенным относительно ).