1 Сумма и разность векторов

Два вектора складываются по правилу параллелограмма. Для этого оба вектора откладываются из одной точки и строится параллелограмм, сторонами которого являются вектора.

Чтобы получить сумму большего числа векторов, нужно отложить от произвольной точки первый вектор , а каждый последующий вектор (...) отложить от конца предыдущего. Суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом (точка ), а конец — с концом (точка ) последнего вектора.

Разностью двух векторов и называется такой вектор , который будучи сложенным с вектором , даст . Разность двух векторов и представляется направленным отрезком, соединяющим концы этих векторов и имеющим направление «к концу того вектора, из которого вычитают».

Если для вектора ввести противоположный ему вектор , который коллинеарен вектору , имеет тот же модуль, но направлен в противоположную сторону, то разность векторов и представляется как сумма вектора и вектора , т. е. .

Под произведением вектора на число понимается такой вектор, который коллинеарен вектору , имеет модуль и направлен в ту же сторону, что и — если положительно, и в противоположную — если отрицательно. Геометрически умножение вектора на число означает растяжение или сжатие вектора и, возможно, перемену его направления на противоположный.

Имеют место равенства:

,

,

в которых и произвольные действительные числа.

2 Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевыхколлинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считаетсяколлинеарным любому вектору.

Векторы −→a,−→b и −→c называются компланарными, если существует плоскость, которой они  параллельны.

3 Равенство векторов.

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении.

4

Разложение по базису.

Линейной комбинацией векторов a1, ..., an с коэффициентами x1, ..., xn называется вектор

x1a1 + ... + xnan.

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1, ..., an, необходимо найти коэффициенты x1, ..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1, ..., an равна вектору b.

x1a1 + ... + xnan = b.

Коэффициенты x1, ..., xn будут координатами вектора b в базисе a1, ..., an.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Теорема 1.5 (о разложении вектора по базису в пространстве). Любой вектор может быть разложен по базису в пространстве, т.е. представлен в виде (1.4), где числа определяются однозначно.

5Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются коэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 1.3.5).

Координатами точки в прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора в стандартном базисе. В пространстве это коэффициенты в разложении , на плоскости — коэффициенты в разложении , на прямой — коэффициент в разложении . Прямоугольные координаты точки (или ее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом:

 в пространстве и на плоскости.

Прямоугольной декартовой системой координат (ПСК) называется совокупность т. О и ортонормированного базисат.е. такого базиса, в котором векторы единичны (имеют длины, равные 1) и взаимно перпендикулярны. Три взаимно перпендикулярные прямые в направлении базисных векторов называются осями координат: оси абсцисс, ординат, аппликат (рис. 2.11).