Лекция 8 итерационный метод решения Матричной игры (продолжение)

8.1. Пример решения игрыметодом Брауна-Робинсона

Пример 8.1 Решение игры итерационным методом

	y1	y2	y3
x1	8	2	4
x2	4	5	6
x3	1	7	3

Вначале найдем точное решение игры для игрока 1с помощью решения системы линейных уравнений вида (6.1.1).

Система

имеет решение, состоящее из положительных величин

Построим таблицу итерационного процесса для данного примера.

k	ik	kμ1	kμ2	kμ3	jk	kη1	kη2	kη3	γ1	minγ1	γ2	maxγ2	Δ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	3 1 1 2 2 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 1 1 1 2	1 9 17 21 25 29 30 34 38 46 50 58 66 70 74 78 79 80 81 85 89 97 105 113 117	7 9 11 16 21 26 33 38 43 45 50 52 54 59 64 69 76 83 90 95 100 102 104 106 111	3 7 11 17 23 29 32 38 44 48 54 58 62 68 74 80 83 86 89 95 101 105 109 113 119	1 3 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2	8 12 14 16 18 20 28 36 44 46 54 56 58 60 62 64 66 74 82 90 98 104 106 108 110	4 10 15 20 25 30 34 38 42 47 51 56 61 66 71 76 81 85 89 93 97 101 106 111 116	1 4 11 18 25 32 33 34 35 42 43 50 57 64 71 78 85 86 87 88 89 90 97 104 111	8 6 5 5 5 5.33 4.86 4.75 4.89 4.7 4.91 4.67 4.69 4.71 4.73 4.88 5 4.78 4.68 4.65 4.67 4.72 4.61 4.63 4.64	8 6 5 5 5 5 4.86 4.75 4.75 4.7 4.7 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.65 4.65 4.65 4.61 4.61 4.61	1 3.5 3.67 4 4.2 4.33 4.29 4.25 4.23 4.5 4.55 4.33 4.15 4.21 4.27 4.31 4.47 4.44 4.26 4.25 4.24 4.41 4.52 4.42 4.44	1 3.5 3.67 4 4.2 4.33 4.33 4.33 4.33 4.5 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55	7 2.5 1.33 1 0.8 0.67 0.53 0.42 0.42 0.2 0.15 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.1 0.1 0.1 0.06 0.06 0.06

Получаем .

8.2. Метод решения бесконечных игр

Бесконечной игрой называется игра, в которой по крайней мере одна из сторон имеет бесконечное множество стратегий.

Рассмотрим игру двух противников 1и2, каждый из которых имеет бесконечное и несчетное множество стратегий. Для игрока1эти стратегии соответствуют различным значениям переменнойx, а для игрока2 ― различным значениям переменнойy. Вместо матрицы игры [a_ij] здесь используетсяфункция выигрыша a(x,y).

Нижняя цена игры

(8.2.1)

а верхняя цена игры

(8.2.2)

Если α=β, то функция выигрыша a(x,y) имеет седловую точку, а игра имеет решение в области чистых стратегий, которые представляют собой координаты этой точки. В противном случае игра может иметь решение в области смешанных стратегий, которые представляют собой распределение вероятностей для случайных величинxиy. Эти распределения могут быть непрерывнымиp(x) иq(y) или дискретными.

Одним из практических способов решения бесконечных игр является их приближенное сведение к конечным. При этом конечно возможны не только погрешности, но и ошибки, например, может быть найдено решение в области смешанных стратегий для игры, имеющей седловую точку (в этом случае две активные стратегии, которые только и входят в оптимальную смешанную стратегию, являются соседними).

Лекция 9 неантагонистические игры двух игроков

9.1. Биматричная игра

Бескоалиционной неантагонистической игройдвух игроков (1и2) называется игра, в которой игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают свои стратегии, и выигрыш каждого из игроков в каждой ситуации игры определяется его собственной функцией выигрыша или матрицей игры.

Конечная бескоалиционная игра двух игроков называется биматричной (матрицы игры двух игроковAиB). Биматричную игру можно также задать матрицей (A,B), элементы которой представляют собой пары чисел (a_ij,b_ij),i=1,…,m,j=1,…,n.

Пример 9.1 Биматричная игра («семейный спор»)

	y1	y2
x1	(4, 1)	(0, 0)
x2	(0, 0)	(1, 4)

Игрок 1 («муж») и игрок2(«жена») могут выбрать одно из двух вечерних развлечений: футбол(4, 1)или театр(1, 4). Игрок1 («муж») предпочитает футбол, а игрок2(«жена») — театр. Если их намерения не совпадают, то они остаются дома(0, 0)или(0, 0). При этом каждому из них предпочтительнее провести время вместе вне дома.

В антагонистической игре каждому из игроков невыгодно информировать своего противника о стратегии, которую он собирается применить. В неантагонистической игре каждому из игроков выгодно первому объявить о своей стратегии и договариваться о совместных действиях, иначе они оба могут проиграть.

В антагонистической игре ситуация равновесия (седловая точка, если она существует) совпадает с решением игры в чистых стратегиях (с точкой максимина и минимакса). В неантагонистических играх существует несколько различных подходов к определению ситуаций равновесия и к определению оптимальности поведения.

Для биматричной игры ситуация (x_k,y_l) называетсяситуацией равновесияпо Нэшу, если

(9.1.1)

В примере 9.1 равновесными являются ситуации (x₁,y₁) и (x₂,y₂).

Важная особенность ситуации равновесия по Нэшу вбиматричной игре заключается в том, что отклонение от нее двух игроков может привести к увеличению выигрыша одного из них или обоих.

Коалицияэто некоторое подмножество множества игроков.

Для биматричной игры ситуация (x_k,y_l) называетсясильно равновесной, если для любых коалиций

(9.1.2)

Это условие гарантирует нецелесообразность соглашения между игроками о вступлении в коалицию, так как в любой коалиции одного из игроков это соглашение не устраивает.

Любая сильно равновесная ситуация является равновесной.

В примере 9.1 равновесные ситуации (x₁,y₁) и (x₂,y₂) являются сильно равновесными.

Пример 9.2

	y1	y2
x1	(5, 5)	(0, 10)
x2	(10, 0)	(1, 1)

Здесь одна ситуация равновесия по Нэшу (x₂,y₂) (не сильно равновесная) дает игрокам выигрыши (1, 1). Однако если оба игрока сыграют (x₁,y₁), то они получат выигрыши (5, 5). Таким образом, ситуация (x₁,y₁) не является равновесной, но она лучшая для обоих игроков. При этом сильно равновесной ситуации в этой игре нет.

Ситуация (x_k,y_l) в биматричной игре называетсяситуацией оптимальнойпо Парето, если не существует ситуации (x_r,y_s), для которой имеют место неравенства

(9.1.3)

и

(9.1.4)

или

(9.1.5)

Оптимальность ситуации (x_k, y_l) по Парето означает, что не существует ситуации (x_r, y_s), которая была бы предпочтительнее ситуации (x_k, y_l) для всех игроков. В ситуации равновесия по Нэшу ни один игрок, действуя в одиночку, не может увеличить своего выигрыша, а в ситуации оптимальной по Парето все игроки, действуя совместно, не могут (даже не строго) увеличить выигрыш каждого.

Сильно равновесная ситуация является оптимальнойпо Парето.

В примере 9.2 ситуация (x₂,y₂) является равновесной, но не является оптимальнойпо Парето, а ситуация (x₁,y₁), наоборот, оптимальнапо Парето, но не является равновесной.

В примере 9.1 обе равновесные ситуации (x₁,y₁) и (x₂,y₂) являются сильно равновесными и оптимальнымипо Парето.

Если биматричная игра имеет две оптимальных по Пареторавновесныхпо Нэшуситуации, то в ней имеет место борьба за лидерство.

Лидерэто игрок, который знает обе матрицы игры, а значит и наилучшие ответы противника. В этом случае он максимизирует свой выигрыш в ситуации, которая называетсяi-равновесием по Штакельбергу(i-ый игрок действует оптимально в качестве лидера).