10.2. Кооперативная игра n игроков

Кооперативной игройnигроков (1, 2,…, n) называется игра, условия которой допускают совместные действия игроков и перераспределение выигрыша.

Представляется, что объединение игроков в максимальную коалицию (в коалицию, состоящую из всех игроков) при определенных условиях является целесообразным, то есть позволяет не только получить максимальный суммарный выигрыш, но и распределить его между членами коалиции таким образом, чтобы у них не возникало желание создавать меньшие коалиции или действовать индивидуально.

Пусть N={1, 2,…,n} множество всех игроков. Любое непустое подмножество этого множества S={i₁,i₂,…,i_s} называетсякоалициейs=|S|игроков.

Характеристической функцией игрыnигроков называется вещественная функцияu, определенная на коалициях,,…,, при этомu(Ø)=0 и для любых непересекающихся коалицийивыполняется неравенство

(10.2.1)

а, следовательно,

(10.2.2)

Таким образом, можно интерпретировать характеристическую функцию коалиции как ее гарантированный выигрыш, когда она действует независимо от других игроков. При этом коалиция имеет не меньше возможностей, чем две непересекающиеся коалициии, действующие независимо(свойство супераддитивности характеристической функции), и не существует такого разбиения множества N на коалиции, чтобы их суммарный выигрыш превышал выигрыш всех игроков u(N).

Как определить характеристическую функцию коалиции или ее гарантированный выигрыш? Суммарный выигрыш игроков, входящих в коалицию S

(10.2.3)

В лучшем случае характеристическая функция коалиции равна суммарному выигрышу ее игроков, а в худшем случае все остальные игроки из N \ Sобъединены в коалицию с суммарным проигрышем. Тогда можно условно считать эти две коалиции двумя игроками, участвующими в антагонистической игре (размерности множеств стратегий этих двух игроков равны произведениям размерностей множеств стратегий игроков, входящих в соответствующие коалиции), цена которой в смешанных стратегиях (нижняя или чистая цена в чистых стратегиях) равна гарантированному суммарному выигрышу коалиции S.

Лекция 11 неантагонистические игры n игроков (продолжение)

11.1. Пример решения кооперативной игры

Пример 11.1 Кооперативная игра («джаз-оркестр»)

Игрок 1 («певец»), игрок2(«пианист») и игрок3(«ударник») могут получить от директора клуба 10 000 руб., если выступят вместе. Певец и пианист вдвоем могут получить 8 000 руб., ударник и пианист—6 500 руб., один пианист—3 000 руб., певец и ударник—5 000 руб., один певец—2 000 руб., а один ударник ничего не может заработать.

Таким образом, мы рассматриваем кооперативную игру, в которой N={1,2,3},u({1,2,3})=u(1,2,3)=10 000, u(1,2)=8 000, u(2,3)=6 500, u(2)=3 000, u(1,3)=5 000, u(1)=2 000, u(3)=0.

Основная задача теории кооперативных игр—оптимальное распределение максимального суммарного выигрыша u(N) между игроками.

Пусть d_i—сумма, которую получает игрокiпри распределении максимального суммарного выигрыша u(N).

Вектор d=[d₁, d₂,…, d_n]^T, удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности

(11.1.1)(11.1.2)

называется дележом.

Для того чтобы вектор d=[d₁, d₂,…, d_n]^Tбыл дележом в кооперативной игре необходимо и достаточно, чтобы

(11.1.3)(11.1.4)(11.1.5)

Игра называется существенной, если

(11.1.6)

В противном случае игра называется несущественной. Несущественная игра имеет единственный дележd=[u(1), u(2),…, u(n)]^T, а всякая существенная игра имеет бесконечное множество дележей.

Дележ dдоминирует дележgпо коалицииS, если

(11.1.7)

(11.1.8)

Это значит, что дележ dлучше дележаgдля всех игроков коалицииSи при этом реализуем коалициейS.

Дележ dдоминирует дележg, если существует такая коалицияS, по которой дележdдоминирует дележg.

Множество недоминируемых дележей кооперативной игры называется ее C-ядром.

Недоминируемый дележ устойчив в том смысле, что ни одной из коалиций невыгодно отделиться от других игроков.

Для того чтобы дележ принадлежал C-ядру необходимо и достаточно выполнение для всех коалиций

(11.1.9)

В примере 11.1 («джаз-оркестр») дележ d=[d₁, d₂,d₃]^T, принадлежитC-ядру, когда

Эта система описывает выпуклый многогранник, точнее многоугольник, а еще точнее треугольник с дележами-вершинами [3 500, 4 500, 2 000]^T, [3 500, 5 000, 1 500]^T, [3 000, 5 000, 2 000]^T. Можно выбрать из всех дележей, принадлежащихC-ядру, то есть из всех точек треугольника, дележ (точку), составленный из среднеарифметических величин [3 333, 4 833, 1 833]^T. В этом случае все коалиции из двух игроков имеют одинаковый дополнительный доход, равныйd₁+d₂–u(1,2)=166, d₁+d₃–u(1,3)=166,d₂+d₃–u(2,3)=166. Такой дележ является справедливым компромиссом внутриC-ядра.

Дележи, принадлежащие C-ядру, не доминируются никакими другими дележами, но нельзя утверждать, что вC-ядре для любого заданного дележа найдется доминирующий его дележ.

Другим множественным принципом оптимальности в кооперативных играх, применение которого на практике, к сожалению, невозможно, является H–M-решение.

Подмножество дележей кооперативной игры называется H–M-решением, если:

1) из того, что дележ dдоминирует дележg, следует, что, либо дележ d не принадлежит данному подмножеству, либо дележ g не принадлежит данному подмножеству (внутренняя устойчивость);

2) для любого дележа g, который не принадлежит данному подмножеству, существует такой дележ d, который тоже не принадлежит данному подмножеству и доминирует дележg(внешняя устойчивость).

Если C-ядро не пусто иH–M-решение существует, то оно содержитC-ядро. Действительно, пусть дележ g принадлежитC-ядру. Если он не принадлежитH–M-решению, то найдется дележ d, который доминирует дележg, что противоречит принадлежности этого дележа кC-ядру как множеству недоминируемых дележей.

Необходимо отметить, что C-ядро иH–M-решение могут включать в себя много разных дележей. С другой стороны H–M-решение не всегда существует, аC-ядро может оказаться пустым. Поэтому представляют интерес принципы оптимальности, существование и единственность которых были бы обеспечены в любой кооперативной игре.