1.2. Основные формулы
Вероятность совместного появления результата эксперимента xи состояния природыsпоформуле умножения вероятностей равна
(1.2.1)
Апостериорная вероятность определяется с помощью формулы Бейеса
(1.2.2)
Здесь P(x) ― полная вероятность случайного событияP(x)=P(X=x), которую можно вычислить с помощьюформулы полной вероятности.
Если случайное событие (X=x)может произойти только вместе с одним из состояний природы, составляющих полную группу несовместных событий, то по формуле полной вероятности
(1.2.3)
Лекция 2 стратегии принятия решений
2.1. Критерии и принципы принятия решений
В детерминированной ситуации, когда S=s, выбирается экстремальная стратегия
(2.1.1)
В статистически неопределенной ситуации, когда задано только S={s}, выбирается, как правило, осторожная максиминная / минимаксная стратегия (принцип гарантированного результата)
(2.1.2)
В статистически определенной ситуации часто выбирается бейесовская стратегия (принцип максимального / минимального среднего (ожидаемого) результата)
(2.1.3)
(2.1.4)
Пример 2.1 Выбор решения о летной / нелетной погоде
Пусть заданы
D={d1, d2, d3} множество возможных решений (альтернатив).
d1 ― руководитель полетов разрешает вылет,
d2 ― руководитель полетов откладывает вылет на 3 часа,
d3 ― руководитель полетов не разрешает вылет.
S={s0, s1} множество возможных состояний природы.
s0 ― летная погода,
s1 ― нелетная погода.
u1(s,d) функция потерь
|
|
d1 |
d2 |
d3 |
|
s0 |
0 |
1 |
3 |
|
s1 |
5 |
3 |
2 |
Определим стратегии руководителя полетов.
В детерминированной ситуации,
когда
S=s0,
выбирается экстремальная стратегия
,
а
когда S=s1,
выбирается экстремальная стратегия
.
В
статистически неопределенной ситуации,
когда задано только S={s0,
s1},
выбирается осторожная минимаксная
стратегия
.
В
статистически определенной ситуации,
когда заданы
P(s0)=0.6
и P(s1)=0.4,
выбирается
бейесовская стратегия
.
Пусть дополнительно заданы
E={e1, e2} множество возможных экспериментов.
e1 ― бесплатный прогноз погоды,
e2 ― платный специальный прогноз погоды по маршруту полета.
X={x0, x1} множество возможных результатов экспериментов.
x0 ― прогноз благоприятный,
x1 ― прогноз неблагоприятный.
u2(x,e) функция платы
|
|
e1 |
e2 |
|
x0 |
0 |
1 |
|
x1 |
0 |
1 |
Теперь, очевидно, u=u1(s,d)+u2(x,e) функция потерь и платы.
Пусть при этом заданы
P(x0/s0,e1)=0.8, P(x1/s0,e1)=0.2 и P(x0/s1,e1)=0.3, P(x1/s1,e1)=0.7,
а также
P(x0/s0,e2)=0.9, P(x1/s0,e2)=0.1 и P(x0/s1,e2)=0.25, P(x1/s1,e2)=0.75.
Определим полные вероятности каждого результата каждого эксперимента с помощью формулы полной вероятности.
Определим апостериорные вероятности состояний природы для каждого результата каждого эксперимента.
Определим средние риски для каждого решения и для каждого результата каждого эксперимента.
Очевидно, что при каждом конкретном эксперименте должны выбираться решения, соответствующие минимальным средним рискам
Определим бейесовы риски каждого эксперимента, учитывая, что полные вероятности каждого результата каждого эксперимента уже подсчитаны.
Отсюда
бейесов эксперимент
,
поскольку
Соотвественно, очевидно и бейесово решение при каждом возможном результате бейесова эксперимента
