Лекция 12 вектор шепли

12.1. Вектор и аксиомы Шепли

Носителем игры называется такая коалицияS, чтодля любой коалиции(любой игрок, не принадлежащий носителю, является «болваном» и не может ничего внести ни в одну коалицию).

Обозначим ((N,u)) игруnигроков с характеристической функциейu,P—произвольную перестановку множества игроковN={1,2,…,n}, аπ—соответствующую ей подстановку, в которой дляi=1,2,…,n () значениепредставляет собой элемент множестваN, в который переходит элемент iв перестановкеP. Тогда обозначим ((N,πu)) такую игруnигроков ((N,w)), что для любой коалиции,S={i₁,i₂,…,i_s}

(12.1.1)

Игра ((N,πu)) отличается от игры ((N,u)) только тем, что в ней игроки поменялись ролями в соответствии с перестановкойP.

Поставим в соответствие каждой кооперативной игре ((N,u))nигроков вектор (вектор значений или вектор Шепли игры)φ(u)=[φ₁(u),φ₂(u),…, φ_n(u)]^T, компоненты которого будем интерпретировать как выигрыши, полученные игроками в результате соглашения или решения арбитра. При этом рассматриваемое соответствие удовлетворяет следующимаксиомам Шепли:

1. Если коалицияS—любой носитель игры ((N,u)), то

(12.1.2)

2. Для любой подстановки π справедливо

(12.1.3)

3. Если ((N,u)) и ((N,w))—две любые кооперативные игры, то

(12.1.4)

Можно доказать, что этих аксиом достаточно, чтобы определить вектор единственным образом.

Рассмотрим простую игруn игроков ((N,^Su)) с характеристической функцией, которая для любой коалицииsигрокови заданной коалицииопределяется следующим образом

(12.1.5)

Тогда аксиомы 1, 2 однозначно определяют для этой игры вектор Шепли

(12.1.6)

Действительно, SиT—носители игры. Тогда по аксиоме 1, если, то

(12.1.7)

Отсюда следует, что При этом в соответствии с аксиомой 2Наконец, поскольку в коалицииS именно sигроков, то в соответствии с аксиомой 1 сумма компонент вектораШеплиравна 1.

Можно показать, что любая игра может быть единственным образом представлена в виде линейной комбинации простых игр ((N,^Su)), поэтому характеристическая функция и вектор Шепли (оптимальный дележ) любой игры выражаются в виде линейных комбинаций соответствующих простейших характеристических функций и векторов.

Если ((N,u))—любая играnигроков, то можно найти 2ⁿ–1 вещественных чисел^Sc, таких, что

(12.1.8)

где суммирование идет по всем подмножествам Sмножества Nкроме пустого множества. При этом, считая, что число элементов (игроков) в подмножествеTравно t, можно определить

(12.1.9)(12.1.10)

Лекция 13 вектор шепли (продолжение)

13.1. Пример расчета вектора Шепли

В примере 11.1 («джаз-оркестр») N={1,2,3},u(1,2,3)=10 000, u(1,2)=8 000, u(2,3)=6 500, u(2)=3 000, u(1,3)=5 000, u(1)=2 000, u(3)=0. Определим вектор Шепли игры (оптимальный дележ)φ=[φ₁,φ₂,φ₃]^T.

Обозначим S₁={1}, S₂={2}, S₃={3}, S₁₂={1,2}, S₁₃={1,3}, S₂₃={2,3}, S₁₂₃={1,2,3}.

13.2. Понятие о дифференциальных играх

Рассмотрим два объекта управления (игроки 1и2), которые описываются двумя системами обыкновенных дифференциальных уравнений

(13.2.1)

(13.2.2)

Игрок 1(2) начинает движение из состояния¹x(t₀) (²x(t₀)) и перемещается вn–мерном пространстве состояний, выбирая в каждый момент времени значение¹m(²m)–мерного вектора управления¹u(t) [²u(t)] в соответствии со своими целями и информацией, которая ему доступна в этот момент времени.

Цели игроков в дифференциальной игре определяются с помощью функций выигрыша (проигрыша), которые зависят от траекторий движения игроков ¹x(t) и²x(t). Если, например, антагонистическая дифференциальная игра описывает процесс преследования игроком2игрока1, то расстояние между игрокамипредставляет собой выигрыш игрока1 и проигрыш игрока2. При этом игроки в каждый момент времени могут иметь полную, точную или искаженную информацию о своем состоянии и состоянии противника. Если, например, один из игроков в каждый момент времени имеет информацию также и об управлении, которое выбирает противник, то такая игра называется игройс дискриминацией противника.