книги из ГПНТБ / Расчеты и анализ режимов работы сетей учеб. пособие

Заменяя знак неравенства в последнем выражении зна­

Последнее уравнение можно использовать как для опре­ деления необходимого числа опытов, при котором с задан­ ной доверительной вероятностью 1 — р ошибка в определе­

так и для оценки надежности полученного результата при проведенном испытании с известным числом опытов п, за­

данной ошибкой е и статистической вероятностью р:

*

Если статистическая вероятность р очень мала и прибли-

*

жается к нулю, что справедливо в отношении вероятности повреждения отдельных элементов электрических систем, то ее нижнюю границу рг можно считать равной нулю, а верхнюю р2 определять из уравнения

/02 = 1 —V 1 — Р-

Число опытов п, которое необходимо произвести для того, чтобы верхняя доверительная граница для вероятности события была равна заданному значению р2,

r IgQ-P)

lg (1 —Р2) ‘

317

При выполнении приближенных расчетов можно считать, что число появлений событий распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием пр, тогда

In (1 —р)

—— :

Р2

Доверительные интервалы с вероятностью |3 для мате­ матического ожидания и среднеквадратичного отклонения случайной нормально распределенной величины X при­ ближенно находятся по формулам

Оценки для М (X) и Д (X) определяются из п статиста-

**

ческих данных по формулам

ЛМ Х )= 1 дт~т;Д%\х,-мтх.

Отметим, что для более точного нахождения доверитель­ ных интервалов указанных числовых характеристик необ­ ходимо заранее точно знать закон распределения величины X. При точном построении доверительного интервала для оценки математического ожидания используется распреде­ ление Стьюдента, плотность распределения которого

п

2

где Г (х) — известная гамма-функция;

00

Г (х; = ^ их Ле и du.

о

3 1 8

Для построения доверительного интервала требуется определить величину t$, так как /р = /(Р),

М (Х )~

tp определяется из уравнения в зависимости от заданной величины р по таблицам интеграла (см. табл. П2)

s 1 ( V 1) < я1 (^ й 1) •

где XI и х! — числа определяемых по специальным таблицам X2 распределения с п — 1 степенями свободы в зависимости от р (табл. ПЗ).

Если система случайных величин XY достаточно близка к нормальным законам распределения и произведено доста­ точно большое число опытов (более 30), то доверительные

319

корреляции являются незначимыми, строится критическая область

|г|>Ф ~ЧР) - J -

V п

с доверительной вероятностью р. Если полученное по

опытным данным значение г окажется в этой области, то

*

нуль-гипотезу (г = 0) можно отбросить.

Задача 9-1

Требуется определить наименьшее число п средних за 15 мин значений нагрузки элемента электрической сети,

при котором разность статистической вероятности р и веро-

*

ятности события р, состоящего в том, что значение нагрузки

изменения нагрузки, считая его стационарным на протяже­ нии достаточно длительного интервала времени.

Решение. Предполагаем, что случайная величина р рас­

пределена по нормальному закону, тогда

Время регистрации 15-минутных значений нагрузок

Г = 2Гбб = 60 СУТ0К-

15

Задача 9-2

В условиях задачи 9-1 требуется определить, как изме­ нится надежность результатов, если уменьшить число опытов до 3 000 (время регистрации примерно 31 сутки).

Решение. Надежность результатов в новых условиях

По этому значению в табл. П1 находим:

р = 0(/р) = ф (1,2) = 0,7699.

320

элемента энергетической системы, если общее число наблю­ даемых элементов п — 900 при доверительной вероятности:

а) р = 0,95; б) р = 0,8; в) р = 0,6.

Решение. Доверительные интервалы определяем по при­ ближенной формуле, так как п достаточно велико, а слагае­ мые с сомножителями /|/я2 в уточненной формуле ничтожно

ные интервалы, найденные аналогично, оказались равными:

321

Задача 9-5

Вероятность р отказа в срабатывании автоматического выключателя с номинальным напряжением до 1 000 В не­ известна, но из опыта эксплуатации можно предположить, что она мала. Произведено 600 отключений выключателя

ини в одном опыте он не отказал.

Тр е б у е т с я определить верхнюю границу р2 довери­

тельного интервала с доверительной вероятностью (5 = 0,95, считая приближенно число отказов распределенным по за­ кону Пуассона с математическим ожиданием пр.

Решение. Нижнюю границу доверительного интервала можно считать равной нулю, поэтому верхнюю его границу определим по формуле

Задача 9-6

Сколько лет надо вести наблюдение за безаварийной ра­ ботой линии электропередачи, для того чтобы с гарантией 95% утверждать, что при сохранении тех же условий экс­ плуатации она будет аварийно повреждаться не более чем в 0,01 % всего времени эксплуатации. Среднее время аварий­ ного простоя равно 10 ч. Число повреждений можно считать

322

с одинаковой номинальной мощностью. Сколько лет надо вести наблюдение за их безаварийной работой, для того что­ бы с гарантией 95% утверждать, что при сохранении тех же условий эксплуатации в течение 5 лет будет не более 30 аварийных повреждений трансформаторов. Среднее время аварийного простоя равно 8 ч. Число повреждений можно считать распределенным по закону Пуассона с математиче­ ским ожиданием пр.

Решение. Доверительная вероятность (3 = 0,95, верхняя граница вероятности события повреждения одного транс­ форматора

Задача 9-8

В результате экспериментальных записей значений нагрузки линии в период зимнего максимума получено 960 получасовых ее значений, распределенных по нормальному

Решение. Доверительный интервал для математического ожидания найдем по величине

323

Доверительные границы:

М (Д) = М (/) + емР = 150 + 5,7= 155,7 А;

М (/2) = М (/) - емр = 150 - 5,7 = 144,3 А.

*

Доверительный интервал математического ожидания

[М(/)] = [144,3; 155,7].

Доверительный интервал для среднеквадратичного откло­ нения определим по величине

Доверительный интервал среднеквадратичного отклоне­ ния

[о] = [/7375; |/8825]А.

Задача 9-9

По замерам случайных величин активных и реактивных значений нагрузок цехового трансформатора был определен

Требуется построить доверительные интервалы для коэф­

Ф“1 (0,9) = 1,645 1,65 найдено по табл. П 1,

поэтому

0,846 < г < 0 ,8 8 4

или

[г] = [0,846, 0,884].

324

Задача 9-10

По опытным данным между случайными величинами нагрузок двух видов потребителей электроэнергии в городе

был вычислен эмпирический коэффициент корреляции г =

*

= 0,283. Число опытных данных п = 240. Требуется про­ верить реальность корреляционных связей между случай­ ными величинами этих потребителей с доверительной

зом, с вероятностью 0,95 можно считать, что корреляцион­ ная связь между случайными величинами нагрузок потре­ бителей действительно имеет место.

интервалы для оценки математического ожидания и диспер­ сии с доверительной вероятностью (5 = 0,9.

Решение. Определяем из статистических данных оценки математического ожидания и дисперсии:

10

М (Рмакс) = ■ ^ ^макс , = ^ = 350 МВт;

325

Доверительный интервал для оценки математического ожидания:

[М (Рмакс)] = [329,8; 370,2] МВт.

Для построения доверительного интервала дисперсии следует учесть, что распределение kп_г (v) несимметрично в отличие от распределения Стьюдента. Поэтому доверитель­ ный интервал выбирается так, чтобы вероятности выхода случайной величины V

за пределы интервала вправо рхи влево р2 были одинаковы. Для построения интервала используем (табл. ПЗ) величины

== Ц г ~9= 0,05; Xi = 16,92,

Доверительный интервал для дисперсии

Соответствующий интервал для среднеквадратичного отклонения:

[<*р.,«е] = [25,45; 57,55] МВт.

326