Решение. Среднее время |
безотказной работы опреде |
ляется по формуле |
|
|
|
со |
3 |
м (О = |
^ р (t) dt = |
5(1 - 0,080 dt-b |
|
ю |
|
+ |
$ |
5,12 лет. |
|
з |
|
Интенсивность |
отказов |
на |
участке (0—3) года |
|
|
1 |
/а ___ Р' ( 0 __ |
|
|
|
|
|
|
p( t ) |
|
1 - 0 , 0 8 / ' |
На участке (3— 10) |
лет |
|
|
|
|
|
|
Х2 (0 = 0 ,0 9 |
1/год. |
|
Средняя интенсивность отказов за 10 лет |
|
— |
з |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(* |
0,08 |
dt |
■3 + 0 , 0 9 - 7 |
|
|
3 |
|
1 - 0 , 0 8 / |
|
Х = |
о |
|
|
|
= 0,0904. |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
8-20 |
|
Интенсивность отказов турбогенератора в течение 2 лет |
эксплуатации |
изменялась |
по |
закону |
|
|
|
X(0 = 5 — 0 |
|
0=sg+=s£2. |
Затем оставалась постоянной, равной 3. Требуется опре |
делить закон |
надежности. |
|
|
|
|
Решение. |
На |
отрезке |
времени (0—2) |
года |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
— J X (П dt |
|
|
|
|
p(t) = e |
0 |
= |
е—(5^—о,5/2>. |
Вычислим р (0 |
на участке t > 2. Общая формула |
|
|
|
|
|
- |
i |
|
|
|
|
|
|
J X(0 dt |
|
|
|
|
P (t) — e |
0 |
|
Участок интегрирования |
разобьем |
на два: 0 — 2 и |
2 — t |
2 |
|
( |
|
|
2 |
|
( |
|
|
|
|
\Х (0 dt = \Х (0 dt + \Х (0 dt = $ ( 5 - 0 dt +
+ 3 $Л = 8 + 3 ^ - 6 = 2 + 30
р (0 = е - (2 + 3".
Задача 8-21
От трансформаторной подстанции получают электроэнер гию четыре потребителя, нагрузки которых являются случайными величинами с параметрами
М (Pi) —600 |
кВт; |
ор, = 400 |
кВт; |
Л4(Р2) = |
400 |
кВт; |
сгр2 = 300 |
кВт; |
М (Р3) = |
500 |
кВт; |
ор3= 250 |
кВт; |
М (Р 4) = |
700 |
кВт; |
<тр4 = 500 |
кВт . |
Взаимные корреляционные связи между случайными величинами нагрузок потребителей характеризуются коэф фициентами корреляции
1 0,6 0,8 0,7
1 0,7 0,9
1
Закон распределения нагрузки подстанции выражается формулой (усеченный нормальный закон)
|
|
[ Р — М |
з |
( Р ) Р |
Ф(Р) |
А |
2о |
при |
---- Т = е |
Р |
|
О р У |
2л |
|
|
ф (Р) = |
о |
|
|
при Р < 0 . |
Т р е б у е т с я определить расчетную нагрузку под станции, вероятность превышения которой равна 0,0062.
Решение. Математическое ожидание и среднеквадратич ное отклонение нагрузки подстанции
4 |
|
|
|
|
М ( Р ) = ^ М |
(Pi) = 600 + 400 + 500 + |
700 = 2200 кВт. |
1= I |
|
|
|
|
Д (Р) = 2 |
Д (Pi) + 2 |
2 К (PiPj) = |
1 708 500 кВт2; |
<= 1 |
|
<</ |
|
|
|
сгр = |
1 307 |
кВт. |
|
Определяем коэффициент А в формуле плотности вероят- |
|
ОО |
|
|
|
ности из условия jj ср (х) d x = |
1: |
|
|
—00 |
|
|
|
|
оо |
[ Я — М |
( Я ) ] а |
|
|
|
2о |
|
|
откуда после решения этого уравнения
|
2 |
|
2 |
|
\м (Р) |
|
1,05. |
ф |
+ 1 |
л /2 200\ , , |
I. 0р |
ф I г-хтяг) + 1 |
|
|
307/ |
Расчетную нагрузку, вероятность превышения которой равна 0,0062, определим из уравнения
^ (Р > Рр) = 1 —F (Рр) =
|
|
|
1,05 |
р |
(Р — 2 200)2 |
dP = |
|
|
|
|
|
2-1 3072 |
|
|
|
|
307 У 2ыт1 |
|
|
|
|
|
= 1 |
ф |
Г Р р - М ( Р ) 1 |
1 |
' О - М ( Р ) ' |
J} = 0, 0062. |
|
L |
огр |
J |
2 |
1 |
tfp |
|
По табл. П1 находим значение интеграла |
вероятностей |
|
о __ 9 9 9 0 1 |
= Ф [1,68] = 0,907. |
Затем, |
решив уравнение |
|
ф “ 1307 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно Яр, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
Рр = 2 200 + 2,6-1 307 = 5 600 МВт. |
|
|
|
|
Задача |
8-22 |
|
|
|
|
Поток |
отключений |
электродвигателя |
мощностью Р„ = |
= 500 кВт компрессорной станции математически описыва ется простейшим стационарным процессом. Число отключе ний двигателя в году в среднем равно трем (/ = 3). Время каждого простоя электродвигателя составляет 10 ч. Опре делить потребляемую двигателем электроэнергию за первые 5 суток месяца, если известно, что в начале указанного
промежутка времени (т = 0) он был отключен. |
Коэффи |
циент загрузки |
двигателя k3 = 1. |
|
Решение. Установившееся значение вероятности отклю |
ченного состояния двигателя |
|
|
Я — тт ~ 8 760 — U>UUC>4Z ’ |
|
где toyKn — время простоя двигателя в году: Тт= |
8 760 — |
число часов в |
году. |
|
Установившееся значение вероятности включенного со стояния
р = 1 — q = 0,99658.
Средняя вероятность включенного состояния за интервал времени т = 5-24 = 120 ч при условии, что в начале интервала двигатель был отключен [Л. 1, стр. 162]:
|
|
|
|
h |
|
’(Т) = |
т \ Р - |
ре РяТг)йт = |
|
|
|
|
_ п |
Р~ЧТ' |
|
h |
|
— е |
p q T x |
|
= р |
h |
|
|
|
|
|
3-120 |
|
|
|
|
|
= 0,99658 — ° ’.ffl6582 |
3° ’^2Q4 2 ' 8 760 ^1 - e 0799658.0.00342.8 760 |
= 0,91358
Потребляемая двигателем электроэнергия за 5 суток начала месяца
А = р (т ) Р„ т = 0,91358 -500 ■120 = 5 4 ,8 -103 кВт ч.
Задача 8-23
Распределительный пункт (РП) сети, от которого пи таются потребители (nl, п2, пЗ, п4), связан кабельными
линиями с двумя источниками питания ИП1, ИП2. Схема
сети с указанием длин линий и марок кабелей приведена на рис. 8-7.
В рассматриваемом режиме напряжение ИП2 равно Я2, а ЯЛ/ на 50 В больше, чем Я 2, т. е. = f/2 -f 50. Слу чайные величины нагрузок потребителей nl, п2, пЗ, п4
описываются нормальными законами распределения с па раметрами
100 |
|
50 |
|
1 |
0 ,6 - 0 ,3 |
0,7 |
200 |
|
100 |
|
|
1 - 0 , 5 |
0,4 |
75 |
А,’ О/1Н= |
А, |
г,-у = |
1 |
0,8 |
|
50 |
|
|
100 |
|
75 |
|
|
|
1 |
Т р е б у е т с я |
определить расчетную нагрузку линии |
(рис. 8-7) I и II, вероятность превышения которой равна |
0,02275, и линии III, вероятность превышения которой |
0,0772. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Определяем уравнительные токи по линиям |
|
, |
иг - и г |
U , - U , |
|
|
|
ур~ |
|
гз+ |
Г1^2 |
|
|
|
|
|
50 |
Г1 + Г2 |
|
|
|
|
|
= 51 А; |
|
|
|
0,51-f |
0,85- |
1,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,85+1,05 |
|
|
|
|
|
/yp = |
/ypin==51 А, |
|
|
1ур I — I |
г2 |
= 28,1 |
А; |
I ур II |
Ы |
- 2 8 ,1 = 2 2 ,9 А. |
|
VP ',+ Г , |
|
|
|
|
|
|
Числовые характеристики случайной величины нагрузки РП рассчитываются как для суммы случайных величин
потребителей |
л 1, |
п2, |
пЗ, |
п4. |
м ( ] 2) = |
IS = |
П |
|
100 + 200 + 75 + 1 0 0 = 475 А; |
2 /ш.= |
|
|
|
1= 1 |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л (Is) = |
£ |
Онг = 2 Yi °& irij = |
|
|
|
|
i — I |
i < i |
= 2 5 0 0 + |
10 000 + |
2 500 + |
5 635 + 2 (50- 1 0 0 -0 ,6 -5 0 -5 0 x |
X 0,3 + |
50 •75 •0,7 - |
100 •50 •0,5 + 100 •75 •0,4 + 50 x |
|
|
|
X 75-0,8) = 39 385 A2, |
|
|
|
o s = ]/39385 = 198 A. |
Матрица |
коэффициентов распределения |
|
|
|
|
|
0,288 |
с= 0,232 . 0,48
Матрица математических ожиданий токов линий
|
|
0,288 |
|
+ |
28,1 |
I |
|
0,232 •475 + |
+ |
22,9 |
|
|
0,48 |
|
— |
51 |
|
137 |
28,1 |
165,1 |
|
|
ПО + |
22,9 |
132,9 |
|
|
228 |
— 51 |
177 |
|
Матрица |
среднеквадратичных отклонений токов линий |
|
|
0,288 |
|
|
57 |
° = |
[«С?/Их]1/2 = 0,232 |
•198 = |
46 |
|
|
0,48 |
|
|
95 |
При линейных преобразованиях |
нормальных законов |
в результате также получаются нормальные законы. Поэ тому законы распределения нагрузок в линиях сети можно считать нормальными. По функции Лапласа находим
Я (/ > /р) = 0,02275, /Р1 ,н = / + 2а — для первой и второй линии;
Р ( / > / р) = 0,0772, /рш = 7 + 1 ,5о — для третьей линии.
Расчетные токи линий
|
|
|
165,1 |
|
2 -57 |
|
279,1 |
|
|
Ip — 1 |
+ |
— 132,9 |
+ |
2 -46 |
= |
224,9 |
А. |
|
|
|
177 |
|
1,5-95 |
|
319,5 |
|
|
|
|
Задача 8-24 |
|
|
|
|
По |
кабельной |
линии |
напряжением |
380 |
В |
сечением |
3 X 120 X 1 |
X 75 мм2 (/*о = 0,270 Ом/км), |
длиной 1 км |
получают электроэнергию |
три |
группы |
электродвигателей |
( 4 X 3 |
кВт, |
6 X 4 |
кВт, 2 X 1 0 |
кВт). Двигатели загружены |
на номинальную мощность, коэффициент мощности всех двигателей 0,8. Средняя вероятность включения одного
двигателя |
каждой группы соответственно равна: рг = 0,7, |
р2 = 0,8, |
р3 = 0,6. События включения |
любого двигателя |
рассматриваются как независимые. На |
основании опыта |
эксплуатации было установлено, что число отключений кабельной линии в году из-за повреждений, которые опи сываются простейшим стационарным процессом, равно трем. Среднее время отключения линии в году равно 60 ч.
Т р е б у е т с я определить стоимость потерь электро энергии в кабельной линии за время т = 10 суток января, если известно, что при т = 0 линия была отключена из-за повреждения, а также ущерб от недоотпуска электроэнергии. Стоимость потерь энергии Ь0 = 0,9 коп/(кВт-ч), а стоимость недоотпущенной энергии у0 — 20 коп/(кВт-ч).
Решение. Определяем математическое ожидание и ди сперсию нагрузки кабельной линии, используя биноми альный закон распределения
М ( Р ) = £ М ( Р Д , |
а р = 1 > 2ру, |
i=i |
/=i |
где М (jPj) — математическое ожидание нагрузки /-й груп пы электродвигателей; k — число групп электродвигателей.
Для первой группы электродвигателей
М (Pi) = piHOM«iPi = 3 -4 -0 ,7 = 8,4 кВт;
Д (Р,) = pf |
= З2 ■4 •0,7 ■0,3 = 7,65 кВт2. |
Аналогично определяем числовые характеристики на грузок остальных групп двигателей
М (Р8) = 4 -6 -0 ,8 = 19,2 кВт; Д (Ра) = 4 •19,2 •0,2 = 15,4 кВт2;
М (Ра) = 10 •2 ■0,6 = |
12 кВт; |
Д (Р3) = |
10 |
12 0,4 = 48 кВт2; |
М (Р) = |
8 ,4 + |
19,2 + 12 = |
39,6 |
кВт; |
|
Д( Р) = 7 ,5 6 + 15,4 + 48 = |
70,96 кВт2; |
стр = 8,4 |
кВт; |
М ( 1 ) = Г М{Р)- |
= |
./39'6 --103 |
= 75,5 |
А; |
Кз^номСОвф |
К З - 380-0,8 |
|
|
о/= 16,1 А.
Установившееся значение вероятности включенного со стояния (8 700 ч/г) кабельной линии
8 700
0,993.
Р ~~ 8 760
Установившееся значение вероятности отключенного состояния
р = 1 - 0 ,9 9 3 = 0,007.
Среднюю вероятность нормальной работы кабельной ли нии в январе за время т = 10-24 — 240 ч при числе повреж-
дений 1 /г. / = 3 1 / г найдем |
из уравнения |
(см. задачу |
8-22): |
|
|
|
|
|
Р (т) = Р |
р2дтг |
|
|
|
h |
|
|
|
|
-3 -2 4 0 |
' |
|
0.9932 •0,007 •8 760 |
«= 0,993 — |
£,0,993 •0.007 •8760 |
0,9256. |
3- 240 |
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание потерь энергии АЛ = 10~ 3 •ЗгМ (/а)р (т)т =
= 3- 10~3-0,27(75,52+ 16,12) -0,9256 -2 4 0 = 1 070 кВт-ч.
Стоимость потерянной энергии |
|
Иаа = 1 0 7 0 -0 ,9 -1 0“2 = 9,63 руб. |
|
Ущерб от недоотпуска электроэнергии за время т -- |
240 ч |
у = у0 [ 1 _ р (Т)] тМ (Р ) = 0,2 - 0,0744 •240 •39,6 = 139 |
руб. |
Задача 8-25
Масляный выключатель п раз отключает линию. Вероят ность его отказа равна 0,01. Вероятность того, что он отка жет хотя бы 1 раз, равна Rx — 0,45. Требуется, пользуясь предельным свойством биномиального закона распределе
ния, |
определить |
число отключений линий п. |
Решение. Так |
как |
вероятность |
отказа выключателя |
(i7 = |
0 ,0 1) при каждом |
отключении |
достаточно мала, то |
можно воспользоваться для определения числа отказов
законом |
Пуассона |
|
|
|
|
|
где а — nq, a m — 1 . |
|
|
|
|
Вероятность того, что |
выключатель |
откажет хотя бы |
1 раз (m — 1 ) |
|
|
|
|
|
/?, - |
1 - е ' а = |
0,45, 1 |
_<г«» = 0,45, е-°-01п = 0 ,5 5 , |
откуда |
|
|
In 0,55 |
|
|
|
|
п — |
60 раз. |
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
8-26 |
|
Т р е б у е т с я |
определить |
алгоритм |
получения слу |
чайной величины мощности нагрузки узла электрической системы, имеющей общее нормальное распределение, рас-
полагая датчиком случайных значений случайной равномер но распределенной в интервале [ 0 — 1] величины X.
Решение. Функция распределения случайной величины равна:
|
X |
|
X |
|
|
F (х) = ^ ср (ж) dx = |
|
dx = x. |
|
—со |
|
0 |
|
Функция |
распределения мощности нагрузки |
|
|
s |
[ s - M |
($)]« |
|
(s) = — 7^=1 г |
[ е |
2ст; ds. |
|
сгс V 2я |
' |
|
|
Так как вероятность того, что S < |
s, равна вероятности |
X < л; = г|) |
(s), то |
|
|
|
*l|>(s)
§Ф {х) d x — J ф (х) dx = F (s),
следовательно,
F(x) = F (s)
или
|
|
S |
[s -A f (S)]* |
|
|
|
|
2а; |
|
s — М (S ) |
|
— и |
с |
|
|
dS ~ ~2 + ~2 Ф |
]• |
|
ао V2п J |
|
откуда |
S = |
Gs0 1 (2х — 1) + М (S). |
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
8-27 |
|
|
Т р е б у е т с я |
определить |
алгоритм получения слу |
чайной величины времени безотказной работы элемента,
имеющей |
экспоненциальное |
распределение |
ф (^) = |
= 'ke~Xt (t > |
0), располагая датчиком случайных |
значений |
случайной равномерно распределенной в интервале [0— 1] величины х.
Решение.
t
F (t) = <\'ke~lt dt = 1
0
x
F (x) = ^1 dx = x;
F{x) = F{ty,
1 — e~%t= x\
t = ~ ^ In (1 — x).
Глава девятая
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В ЭНЕРГЕТИКЕ. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Для оценки неизвестной вероятности какого-либо собы тия по статистической вероятности или частоте р исполь
зуется интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа. Когда априори известно, что распределение случайной величины р близко к нормальному распределению, то вероятность
^>(| Р -Р | < е) = р,
где р — доверительная вероятность, т. е. вероятность того, что интервал со случайными концами (р + е, р — е) на
кроет неизвестный параметр р.
По схеме независимых испытаний дисперсия относитель ной частоты и среднеквадратичное отклонение соответ ственно равны:
9 = 1 - Р -
Ошибку е определяют с использованием обратной функ ции Лапласа
где t$ = Ф-1 (Р) — надежность результата при проведении п опытов; Ф-1— функция, обратная нормальной функции рас пределения. Определяется в соответствии с табл. П1.
Приведенные выше соотношения с вероятностью р дают возможность считать, что
или
P2- 2 p p + p2< fJ Р(1 - р ) . |
* |
3 |
