книги из ГПНТБ / Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы

уравнения баланса (6.12) формула (6.47) приводит к ва­ риационной задаче

уравнением Эйлера—Лагранжа для которой является дифференциальное уравнение

Оно описывает теплопроводность в твердых телах в уни­ версальном виде. Поэтому при Г = \/Т уравнение (6.49) включает в себя энтропийное представление (6.36), при Г = —- ln Т — энергетическое представление (6.32) и, на­ конец, при Г = — Т — уравнение Фурье в традиционной форме (6.15). Еще раз подчеркиваем, что локальные ве­ личины а г и Ч;г, определяемые соотношениями (6.44) и (6.45), имеют размерность производства энтропии толь­ ко при Г = 1/Т и Lp 2= Lqq, т. е. в энтропийном представ­ лении. Это очевидно из выражений (6.5) и (6.6), лежа­ щих в основе подробно рассмотренных нами трех пред­ ставлений.

Метод описания, применяемый в универсальном «Г»- представлении, очень важен. Действительно, он не только содержит в сжатой форме основные результаты различ­ ных представлений, что открывает возможность единого теоретического описания, но и представляет интерес в практическом отношении. Например, при некоторых до­ пущениях, зависящих от самой задачи, он позволяет про­ стейшим способом исследовать проблемы теплопровод­ ности, которые могут описываться только нелинейным уравнением

Р ^ ^ = Ѵ-[Л(7’)ѴП

так как коэффициент теплопроводности к’ = К(Т) зави­ сит от температуры. Если нам удастся установить зави­ симость Х(Т) (например, экспериментально в конкрет­ ных случаях), то мы можем построить такое «Г»-пред- ставление, в котором коэффициент Lr , согласно (6.43), постоянен. В этом случае нелинейная вариационная

задача в универсальном «Г»-представлении сводится к линейной вариационной проблеме.

Естественно, что нелинейные вариационные задачи, справедливые в том случае, когда X зависит от темпера­ туры, и приводящие к нелинейной форме уравнений пе­ реноса, подобной последнему уравнению, представляют собой тип задач, значительно отличающихся от тех, воз­ можная теория которых упоминалась в гл. V, § 5. Это достаточно очевидно, поскольку нелинейные конститутив­ ные уравнения (5.82) определяют нелинейные соотноше­ ния между потоками и силами. Если же назвать это не­ линейностью в точном смысле слова, то необходимо ска­ зать, что при исследовании проблемы в универсальном «["»-представлении можно исключить только нелинейно­ сти типа X = Х(Т) (или другие подобные), т. е. нелиней­ ности более слабые. Конечно, введение универсального «["»-представления возможно не только для теплопровод­ ности, но (при выполнении соответствующих условий) и для других проблем переноса. Вот почему «["»-представ­ ление, разработанное Фархашем [85], очень полезно в практическом отношении.

§2 . Формулировка интегрального принципа

Впредыдущем параграфе, исходя из интегральной формы принципа наименьшего рассеяния энергии (6.1), заданного в представлении через силы для частного слу­ чая теплопроводности, мы сформулировали новый инте­ гральный принцип. Этот принцип выражен в различных

представлениях вариационными условиями (6.22), (6.30), (6.38) и (6.47). Рассмотрим подробную запись (6.37) плотности лагранжиана, относящуюся к интегральному принципу, сформулированному в энтропийном представ­ лении (6.38). Используя последние выражения в (6.6) и (6.10), ее можно записать в компактной форме

Сравнивая это выражение с исходным (6.33), мы видим, что плотность лагранжиана совпадает с подынтеграль­ ным выражением в объемном интеграле в (6.33). В (6.33)

проводиться исключительно по параметрам Гг, градиен­ ты которых определяют силы. Такой способ варьирова­ ния становится понятным, если принять во внимание, что интегральный принцип, записанный в форме (6.52) или (6.53), тесно связан с силовым представлением принципа наименьшего рассеяния энергии, так как он относится к тем параметрам, градиентами которых яв­ ляются силы. При формулировке принципа наименьшего рассеяния энергии в представлении через силы [см. (4.21) —(4.25)] варьирование проводилось только по си­ лам при постоянных потоках. Уравнения баланса пока­ зывают, что входящие в них (а также в s) производные параметров по времени определяются потоками [см., на­ пример, (6.12)]. Таким образом, условия, согласно кото­ рым производные по времени не изменяются, по суще­ ству являются следствием постоянства потоков. Послед­ нее вариационное условие, однако, не является новым и независимым, потому что оно следует из принципа Онсагера, сформулированного в представлении через силы.

Прежде чем анализировать дальше теоретические во­ просы, докажем на примерах, что принцип, сформули­ рованный в основном с помощью соотношений (6.51) — (6.54), действительно является подлинным и точным ин­ тегральным принципом термодинамики. Он эквивален­ тен полной системе уравнений переноса, описывающих течение необратимых процессов во времени и простран­ стве.

§ 3. Вывод уравнений Фика для изотермической диффузии

Рассмотрим континуум из К компонентов в отсут­ ствие внешних сил. Пусть температура и давление одно­ родны, а градиенты химических потенциалов не обра­ щаются в нуль. Если на какое-то время пренебречь хи-

(6.65), получаем из уравнений Эйлера — Лагранжа (6.54) дифференциальные уравнения

химическими потенциалами. Уравнения (6.65) фактиче­ ски идентичны уравнениям Фика для многокомпонент­ ных изотермических систем.

Это легко показать. Действительно, функции

Ий= М Р і» Р2>•••> Рк-\) (6 = 1, 2, . .., К — 1) (6.67)

в изотермическом и изобарическом случаях удовлетво­ ряют тождествам

.С помощью этих тождеств и используя следующие вы­

Если наша диффузионная система удовлетворяет усло­ вию, согласно которому плотность р постоянна и не за­ висит от времени, то из уравнения баланса масс (2.17) следует, что дивергенция скорости движения центра масс обращается в нуль, \-ѵ = 0. С другой стороны, если граничные условия для диффузионной системы та­

всей системе. Этот так называемый «бесконвекционный» случай кажется весьма специальным с теоретической точки зрения, однако он очень часто встречается на

Эти уравнения описывают эволюцию в пространстве и времени многокомпонентных изотермических диффу­ зионных и реагирующих систем, т. е. характеризуют пе­ ренос компонентов, обусловленный диффузией, а также происходящие в системе химические реакции.

Заметим, что из уравнения (6.80) можно получить стационарные уравнения, представляющие собой част­ ный случай уравнения (5.696). Хотя в гл. V использова­ лось энтропийное представление, а здесь— энергети­ ческое, различие между ними (если и в гл. V ограничиться изотермическим случаем) несущественно. Действительно, параметры Г/4 и П, определяемые соот­ ветственно соотношениями (5.65) и (6.57), отличаются только постоянным множителем Т. Поэтому плотности лагранжиана в соответствующем энтропийном представ­ лении отличаются от выведенного раньше множителем Г-1, т. е. справедливо соотношение

§4. Вывод общего уравнения движения гидродинамики

Вкачестве подтверждения интегрального принципа выведем теперь общее уравнение движения вязкого по­ тока. Особенность этого примера состоит в том, что при вязком течении термодинамическая сила определяется градиентом скорости \ѵ , следовательно, варьирование должно проводиться по величине ѵа (а = 1, 2, 3), кото­ рая, согласно Казимиру, является типичным «ß»-napa- метром.

Общеизвестное уравнение Навье — Стокса для вяз­ кого течения было впервые выведено из интегрального принципа Верхашем [65, 79]. Выводом обобщенной фор­ мы уравнения Навье — Стокса мы обязаны Бэрэцзу [80], который, принимая во внимание асимметрическую часть тензора гидродинамического давления, получил более

общую форму уравнения Навье — Стокса, включающую и член, описывающий вращательную вязкость. Ниже, исходя из интегрального принципа термодинамики, вы­ водится наиболее общая форма гидродинамического уравнения движения. Сначала, однако, мы приведем