книги из ГПНТБ / Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы

случая так называемых переменных «а»-типа, т. е. та­ ких переменных, которые являются четными функциями скоростей молекул. Позднее Казимир [42] модифициро­ вал соотношения взаимности и установил их справедли­ вость также для так называемых «р»-параметров, т. е. параметров, являющихся нечетными функциями скоро­ стей частиц. Общая форма соотношений Онсагера — Ка­ зимира, включающая оба случая (в скалярной форме и в случае равенства нулю магнитного поля и угловых ско­ ростей), имеет вид

сил, входящих в конститутивные линейные кинематиче­ ские уравнения. Здесь ег- = = 1, если коэффициенты Lih относятся к перекрестным эффектам, которые можно описать или только a -параметрами, или только ß-napa-

мы говорим соответственно о симметричных соотноше­ ниях взаимности Онсагера и антисимметричных соотно­ шениях взаимности Казимира. В предположении, что среди f независимых параметров число а-параметров равно 1, 2, . . . , п г , а число ß-параметров равно т + 1 , ...

. . . , f, соотношения взаимности Онсагера и Казимира (для случая, когда магнитное поле и угловая скорость равны нулю) имеют следующий вид:

138 Глава 111

Здесь мы не имеем возможности доказать справедливость этих соотношений. Однако следует отметить, что их справедливость свя­ зана с гипотезой микроскопической обратимости, которая обычно обосновывается при помощи флуктуационной теории (см., напри­ мер, [3, 4], а также оригинальные работы [27, 42]). Следовательно, справедливость соотношений взаимности основана, по крайней мере на сегодняшний день, на гипотезах, базирующихся на механике, которая в сущности чужда термодинамике. С другой стороны, оче­ видно также, что доказательства с помощью теории флуктуаций, использующие математический аппарат теории стохастических про­ цессов, нельзя рассматривать как строго статистические, по крайней мере в точном гиббсовском смысле1). Поэтому в феноменологиче­ ской термодинамике, если мы хотим оставаться верными духу этой теории, соотношения взаимности следует рассматривать или как экспериментально подтвержденные аксиомы, или попытаться дать их непосредственный феноменологический вывод. Хотя в последние годы делалось много попыток в таком направлении [36, 43—46], необходимы дальнейшие исследования. Действительно, абсолютно справедливо мнение Трусделла [47]: «Если соотношения взаимности верны, то должна существовать и возможность их чисто феноме­ нологического вывода».

С помощью общих соотношений взаимности (3.113) можно сразу же получить для конкретных случаев соот­ ношения взаимности для коэффициентов конститутив­ ных линейных уравнений, содержащих независимые по­ токи и силы.

а. Анизотропный случай. Поскольку силы и потоки в линейных уравнениях (3.88) независимы, можно не­

если мы будем рассматривать систему коэффициентов (3.88) как гиперматрицу, то все ее диагональные блоки*)

*) Необходимо отметить недавние успешные исследования, про­ веденные Я. П. Терлецким и его соавторами, которые показали, что точные теоремы для флуктуаций и корреляций могут быть получены общими методами статистической механики, т. е. точным методом Гиббса [87—92].

Часть 2

Вариационные принципы

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ ВООБЩЕ

Как известно, в некоторых областях физики, где до­ стигнута высокая степень точности, помимо генетических и индуктивных методов исследования все большее зна­ чение приобретают дедуктивные математические методы. Другими словами, конструктивные методы наряду с ге­ нетическим аксиоматическим методом используются при разработке теории и ее практическом применении, а также в преподавании. Кратко говоря, сущность кон­ структивного аксиоматического метода заключается в дедуктивном построении физической дисциплины, кото­ рое в основном осуществляется при помощи вариацион­ ного исчисления.

Вариационное исчисление является на редкость все­ объемлющим математическим методом. С его помощью можно разобраться в мельчайших деталях различных физических вопросов и вывести относящиеся к ним фун­ даментальные уравнения из вариационных принципов, выражающих точные физические законы. Поскольку благодаря вариационной технике стал возможен про­ гресс в некоторых областях физики, вариационное ис­ числение можно рассматривать как важный метод, имеющий также эвристическое значение. Если еще

учесть, что при постановке задачи в вариационной фор­ ме вместо дифференциальных уравнений, описывающих различные проблемы, мы отыскиваем решение с помо­ щью прямых методов вариационного исчисления, то нет надобности дальше доказывать практические преимуще­ ства вариационного метода.

Наиболее характерные черты вариационных принци­ пов состоят в следующем:

1.Вариационный принцип всегда содержит положе­ ния, относящиеся к модели системы в целом.

2.Он относится к экстремуму скалярной функции, что априори обеспечивает инвариантность описания.

3.Он всегда включает в себя дифференциальные уравнения, представляющие собой фундаментальные уравнения исследуемой области науки вместе с гранич­ ными условиями, условиями перехода и условиями при­ нуждения.

Внастоящей работе мы не можем останавливаться

этим см. работы [48—50].)

ГЛАВА IV

Принцип наименьшего рассеяния энергии

Точно так же, как основные уравнения механики и электродинамики выводятся из известных вариацион­ ных принципов (принцип д’Аламбера, принцип наимень­ шего принуждения Гаусса, которые являются дифферен­ циальными принципами) или из вариационных принци­ пов, понимаемых в более узком смысле (принцип наименьшего действия Мопертье и в особенности прин­ цип Гамильтона, которые являются интегральными прин­ ципами), основные уравнения термодинамики можно вы­ вести из одного-единственного вариационного принципа. Этот принцип был впервые сформулирован Онсагером и назван принципом наименьшего рассеяния энергии

[27]. Первая его формулировка относилась к частному случаю теплопроводности в анизотропной среде; обоб­ щения удалось достичь только после того, как в 1953 г. Онсагер и Махлуп [51], затем в 1957 г. Тисса и Маннинг [52] распространили принцип на случай адиабатически изолированных не непрерывных систем. То обстоятель­ ство, что первоначально принцип был сформулирован для частных случаев, препятствовало его дальнейшей разработке и широкому практическому применению. Это видно хотя бы из того, что в большинстве монографий принцип наименьшего рассеяния энергии даже не упо­ минается [3, 8, 18, 22, 30, 32]; исключение составляет работа [4], которая, однако, тоже не отражает полностью содержания оригинальных работ.

Важные вопросы (даже если принять во внимание более ранние, но не опубликованные результаты [36]) были поставлены Оно [53] в 1961 г. К. тому времени

принцип наименьшего производства энтропии, установ­ ленный Пригожиным [54, 39, 22, 28], уже широко при­ менялся, однако связь этого принципа с принципом Онрагера еще не была проанализирована. Оно был пер­

вым, кто попытался выяснить соотношение между прин­ ципом минимального производства энтропии и принци­ пом наименьшего рассеяния энергии. Он находился вдо­ вольно трудном положении, поскольку известные к тому времени конкретные формулировки принципа Онсагера делали невозможным общий анализ. Основная особен­ ность конкретных формулировок заключалась в том, что варьирование проводилось по потокам при условии по­ стоянства сил, поэтому Оно был прав, считая, что раз­ личие между принципами Онсагера и Пригожина заклю­ чается в условиях вариации. Действительно, основная особенность принципа Пригожина состоит в том, что варьирование производится одновременно по потокам и силам. Выводы Оно вызвали живой интерес (Дьярмати [55—58], Киркальди [59]). Интересно, что альтернатив­ ное представление принципа Онсагера, в котором варьи­ рование производится по потокам при условии постоян­ ства сил, было уже известно раньше (Дьярмати [36]). Хотя окончательное выяснение характера связи между принципами Пригожина и Онсагера закончено лишь не­ давно [60], упомянутые выше исследования способство­ вали общему развитию принципа Онсагера и расшире­ нию области его применения, а также установлению но­ вого интегрального принципа термодинамики.

В дальнейшем при изложении принципа наименьшего рассеяния энергии мы будем следовать работам [55—58]. Первоначальные формулировки Онсагера [27, 51], дан­ ные для частных случаев, выводятся из новых и более общих формулировок. Мы увидим, что общая, формули­ ровка принципа во всех отношениях соответствует духу теории поля. Поэтому уравнения теории поля уже со­ держатся в принципе наименьшего рассеяния энергии; таким образом, им можно пользоваться для исследова­ ния всех процессов, обсуждавшихся в предыдущих гла­ вах.

§ 1. Неравновесные потенциальные функции

Рассмотрим билинейное выражение для производ­ ства энтропии

и сил Хі. Поскольку производство энтропии можно все­ гда представить в виде суммы произведений соответ­ ствующего числа потоков и сопряженных с ними сил, соотношение (4.1) справедливо в самом общем случае независимо от того, даны или нет линейные соотноше­ ния, связывающие потоки и силы. В случае конститутив­ ных линейных уравнений

используя соотношения взаимности Онсагера для ко­ эффициентов

Lik = Lki ( * , £ = 1 , 2 , . . . , / ) , (4.3)

величину о также можно представить в виде однород­ ного квадратичного выражения, содержащего термоди­ намические силы, т. е.

(4.2). Поскольку, согласно второму закону, производ­ ство энтропии а должно быть положительно определен­ ной величиной (по крайней мере для неравновесных процессов), все диагональные элементы симметрической матрицы Lik + Lhi положительны, а для недиагональных элементов должны выполняться следующие соотноше­

Вводя матрицу сопротивлений Rik, обратную матрице Lih, получаем