книги из ГПНТБ / Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы

100 Глава II

— плотность субстанционального потока энергии, а

КK R

— плотность источника механической энергии. При вы­ воде этого подробного уравнения использовались также выражения (2.186), (2.183) и (2.184), в соответствии со смыслом которых величину

в выражении (2.191) следует рассматривать как плот­ ность «внутреннего» источника механической энергии. Плотностью «внешнего» источника можно считать лишь величину

Уравнение локального баланса механической энер­ гии можно быстро вывести с помощью уравнений ло­ кального баланса (2.144) и (2.181):

есть локальная плотность потока энергии с конвектив­ ным членом ретѵ.

Как уже отмечалось, для многокомпонентного кон­ тинуума удельная механическая энергия ет , определяе­ мая выражением (2.188), не равна полной удельной ме­

ханической энергии, поскольку в ет входит лишь кине­ тическая энергия центра масс е/ вместо полной транс­ ляционной кинетической энергии е), определяемой вы­

ражением (2.172). Следовательно, для многокомпонент­ ного континуума полная удельная механическая энергия в соответствии с (2.172) должна быть равна

к

в * = e t + га + 8 г + е Ф = Т ѵ2 + Т S ckw l + J 06)2 + <р;

k=\

(2.196)

эта величина связана с величиной

(2.197)

определяемой выражением (2.188). Таким образом, в любом уравнении баланса, справедливом для ет , кине­ тическая энергия диффузии заранее вычитается из пол­ ной механической энергии. Это следует иметь в виду во всех случаях, когда в уравнения баланса для энергети­ ческих величин вместо полной трансляционной кинети­ ческой энергии е) входит только кинетическая энергия

центра масс et = vz/2.

В заключение определим локальную плотность по­ тока полной механической энергии аналогично плотности

где первая сумма определяет плотность потока потен­ циальной энергии, взятой для всех компонентов, Р -ѵ — поток энергии, возникающий вследствие механической работы, производимой над системой поверхностными си­ лами, и, наконец, ре^и — конвекционный член, связан­

ный с конвекцией полной энергии.

В нашем обсуждении были рассмотрены только кон­ сервативные внешние поля. Однако механические и элек­ тростатические силы Fh могут иметь любой вид, и по­ тому очевидно, что в основных уравнениях теории поля можно учитывать действие внешних полей, имеющих самую различную природу. Это дает непосредственную

возможность дополнить основные уравнения механики непрерывных сред основными уравнениями неконсерва­ тивных (электромагнитных) внешних полей. Если теперь полученный набор основных уравнений дополнить соот­ ношениями, которые выводятся из первого и второго за­ конов термодинамики, то мы сможем построить теорию поля, представляющую собой органическое сочетание трех классических физических дисциплин и справедли­ вую для обширного класса явлений. Теперь возможно даже построить единую теорию поля для континуума, по­ зволяющую одновременно описывать механические, элек­ тромагнитные и тепловые изменения состояния. Отме­ тим, например, успешное развитие термоэлектродина­ мики поляризующихся сред [3, 26].

ГЛАВА III

Термодинамика континуума

Точные основы термодинамической теории необрати­ мых процессов были заложены уже в 1931 г. в классиче­ ской работе Онсагера [27]. Благодаря обобщающим рабо­ там Пригожина [22, 28], Мейкснера [4, 29], Денбига [30], Хаазе [31, 32], Дьярмати [33], Фитса [18], Гуминского [34], Риссельберга [35] и в особенности благодаря моногра­ фиям де Гроота [3, 8] теперь у нас есть хорошо обосно­ ванная теория, которая в то же время применима для решения практических проблем. При изложении этой теории (которую часто называют необратимой термоди­ намикой, неравновесной термодинамикой или теорией Онсагера) в терминах представлений теории поля пер­ вая задача состоит в том, чтобы переформулировать в локальной форме основные законы классической термо­ динамики (обратимой или равновесной теории, которой более всего подходит название «термостатика»). Для та­ кой формулировки, кроме постулатов классической тео­ рии, необходимо лишь сделать допущение о том, что для элементов объема (целлов) континуума справедливы ги­ потезы локального (целлулярного) равновесия. Поэто­ му, рассмотрев локальную формулировку первого и вто­ рого законов, мы перейдем к гипотезе локального равно­ весия и обсудим пределы ее применимости в случае неравновесных систем. После обсуждения основных про­ блем дается общее полное развитие теории, по крайней мере для моделей многокомпонентных гидротермодина­ мических систем. Определяются уравнения баланса внутренней энергии и соответственно конкретные формы уравнений баланса энтропии, который играет централь­ ную роль в термодинамике. Далее выводится общая ли­ нейная теория Онсагера, затем рассматривается прин­ цип Кюри и соотношения взаимности Онсагера.

§ 1. Локальные формы первого и второго законов

а. Первый закон. Рассмотрим систему, которая нахо­ дится в консервативном внешнем поле и изолирована от окружения в отношении любого вида близкодействую­ щих сил. Первым интегралом уравнений движения для макроскопических координат и импульсов такой системы является интеграл энергии

где Ей и Ер — макроскопическая кинетическая и потен­ циальная энергия системы. Эта постоянная величина яв­ ляется полной механической энергией, для которой спра­ ведлив закон сохранения или его дифференциальная форма

Уравнения (3.1) и (3.2) дают макроскопическую фор­ мулировку закона сохранения энергии. Однако исследо­ вания термических явлений, молекулярной структуры тел и динамики этой4структуры показывают, что кроме механической энергии, которая определяется макроско­ пическими импульсами и координатами, каждое тело об­ ладает дополнительным запасом энергии. Вследствие этого в термодинамике к энергии Ет (3.1) добавляется энергетическая функция U, которая определяется только внутренним микросостоянием системы. Эта функция U называется внутренней энергией. В соответствии со ска­ занным полное содержание энергии в системе (с макро­ скопической и микроскопической точек зрения) равно

где функция U определяется (по крайней мере если го­ ворить строго) очень большим числом микропараметров. Статистическая физика занимается определением зави­ симости внутренней энергии от микропараметров частиц, из которых состоит система. В феноменологической тер­ модинамике уравнение (3.3) является только определе­ нием функции U, правильность которого обеспечивается основным законом сохранения энергии. Если рассматри­ вается система, взаимодействующая с окружающей сре­

дой, то условие сохранения полной энергии записывается в дифференциальной форме:

Согласно первому закону термодинамики, если в систе­ ме одновременно производится работа и осуществляется теплообмен с окружающей средой, то изменение dU внутренней энергии равно1)

силами, действующими на систему, а dQ — элементар­ ный теплообмен, обусловленный термическим взаимодей­ ствием системы с окружающей средой, т. е. dQ — эле­ ментарное количество тепла, которое система получает (dQ > 0) или теряет (dQ < 0).

Соотношение (3.5) является общей формулировкой первого закона для элементарного изменения состояния системы. Как мы увидим в дальнейшем при изложении

уравнения баланса для удельной внутренней энергии и [они сразу же получаются из общих уравнений балан­ сов (2.8) и (2.15) путем замены а = и] должны быть представлены таким образом, чтобы они были совмести­ мы с уравнением

*) Здесь оператор d обозначает, что, вообще говоря, элемен­ тарные изменения энергии (тепло, работа и т. д.) являются не пол­ ными дифференциалами, а формами дифференциальных выражений Пфаффа для параметров равновесного состояния. Хотя это заме­ чание существенно, а использованное нами обозначение общепри­ нято в равновесной термодинамике, мы не будем его употреблять в дальнейшем.