книги из ГПНТБ / Философия и физика [сборник статей]

мерения можно однозначно найти числовые значения всех

физических величин и что последние с точностью до ошибок измерений совпадают с числовыми значениями наблюдае­

мых 3.

Из приведенных определений видно, что классическая механика является детерминистической физической теорией.

Поскольку физика служит основой наших знаний о законах природы, то она играла и играет важную роль в формирова­

нии философского мировоззрения. Никакая философия, пре­

тендующая на выработку правильных общих представлении об окружающем нас мире, не может игнорировать резуль­

таты физических теорий, так как в противном случае она может оказаться в противоречии с подтверждаемыми на опы­

те фактами. Безраздельное господство классической механи­

ки в течение почти трех столетий оказало большое влияние на многих философов, например, на французских философов-

материалистов XVIII в. По этой причине детерминизм клас­

сической механики долгое время считался единственной на­ учной философией.

Классические полевые теории, в том числе релятивистская

электродинамика Максвелла и общая теория относительности

Эйнштейна, также вписываются в рамки рассмотренной выше абстрактной алгебраической схемы классической механики.

Поскольку уравнения этих теорий могут быть, получены из ва­ риационного принципа, то и здесь можно ввести обобщенные импульсы (например, в электродинамике за обобщенные

координаты можно принять коэффициенты разложения четы­ рехмерного векторного потенциала в ряд или интеграл Фурье), но только их число будет уже не конечно, а беско­

нечно. C учетом этой поправки сохраняют силу уравнения движения в алгебраической форме (см. формулу 4) и уравне­

ния для определения числовых значений в данном состоянии

(см. формулу 6). Поскольку числовые значения наблюдаемых

однозначно отождествляются с наблюдаемыми на опыте зна­

чениями полевых величин, то классические полевые теории

являются детерминистическими.

Перейдем теперь к классической статистической механике, возникшей в результате, развития идей Больцмана и Гиббса и являющейся важным примером физической теории, в кото­

рой оказывается необходимым ввести новое статистическое

определение состояния.

Понятие об алгебрах наблюдаемых и о динамических уравнениях движения в алгебраической форме (см. форму-

41

а заданием плотности вероятности в фазовом пространстве или, что эквивалентно, заданием средних значений всех на­ блюдаемых4. Состояние в общем случае следует считать ста­

тистическим, так как оно не может быть определено по еди­ ничному опытному измерению числовых значений наблюдае­ мых. Теперь необходимо провести большое число измерений и найти средние от числовых значений наблюдаемых, после

чего статистическое состояние будет определяться заданием

таких средних для всех наблюдаемых. В частном случае,

когда средние значения наблюдаемых совпадают с их значе­

ниями в каждом отдельном измерении (т. е. когда дисперсии

всех величин равны нулю), статистическое состояние перехо­ дит в детерминистическое.

Классическая статистическая механика не дает возможно­

сти предсказывать результаты отдельных измерений, но ойа

дает возможность в пределах точности измерений однознач­ но предсказывать средние значения измеряемых величин.

В этом отношении она может считаться обобщением класси­

ческой детерминистической механики, переходящим в по­

следнюю в предельном случае.

Создание логически последовательной классической ста­

тистической механики ставит на повестку дня философский

вопрос: детерминистические или статистические физические

теории следует считать более глубокими и первичными. Дол­ гое время считалось, что статистическую механику следует

обосновывать с помощью детерминистической механики. Од­ нако такой взгляд не является обязательным. Например, если

исходить из диалектико-материалистического положения о

взаимной связи явлений природы, то можно сделать вывод, что

физические теории, отражающие через посредство статисти­

ческих состояний связь физических систем с их окружением, являются более глубоким этапом познания внешнего мира.

Не предрешая будущего развития физических теорий, тем не менее можно сделать общефилософский вывод о допусти­

мости не только обоснования статистических теорий детер­

лее глубокими статистическими теориями.

42

Последняя точка зрения обладает рядом преимуществ и

в практическом отношении. Например, основатель киберне­ тики Н. Винер по этому поводу писал: «Все имеющиеся у нас данные имеют принципиальную неточность. Поэтому бессмыс­ ленно сначала получать результат с искусственно повышен­

ной точностью, а затем специально изучать ошибки при рас­

чете, с тем чтобы выяснить его реальную точность. Мы мо­ жем с самого начала выложить все наши карты на стол; в

конце концов при этом мы получим ровно то, что нам нужно, не больше и не меньше... Почему же тогда нельзя встать

на статистическую точку зрения с самого начала и вычислять

одновременно как средний результат, так и ошибку этого результата с единой точки зрения? И если такое признание статистической природы науки уже сейчас принесло большую пользу во многих технических задачах ньютоновского типа,

то во сколько же раз эта польза будет больше при таком

подходе к решению задач, в которых ошибки наблюдения

очень велики?» [10, с. 246—247].

Перейдем, наконец, к квантовой механике, в которой со­

стояние обычно описывают заданием волновой функции, и к

статистической квантовой механике, где состояние можно

характеризовать заданием матрицы плотности. В обоих слу­ чаях по задаваемым таким путем квантовомеханическим со­

стояниям однозначно определяются средние значения всех

наблюдаемых, и обратно, средние значения всех наблюдае­

мых для физической системы являются тем набором сопо­

ставляемых с опытными данными чисел, которые характери­

зуют общие квантовомеханические состояния5. Что же касает­ ся алгебры наблюдаемых, то она в «чистой» квантовой меха­

нике и в статистической квантовой механике одна и та же.

Из свойств этой алгебры следует, что всегда имеются наблю­ даемые, для которых в заданном квантовом состоянии сред­ ние значения не совпадают с их значениями, даваемыми каж­

дым отдельным измерением (т. е. дисперсии не всех величин равны нулю, как это следует из соотношения неопределен­ ностей), поэтому квантовые теории являются существенно

статистическими. Таким образом, во всех физических теори­

ях состояние физической системы можно характеризовать заданием средних значений от всевозможных наблюдаемых.

Определяемое таким путем состояние мы будем называть

статистическим. В частном случае детерминистических тео­

рий средние могут сводиться к значениям наблюдаемых, определяемым по отдельным измерениям, и тогда статистп-

43

щая в единую абстрактную схему все разработанные до на­ стоящего времени главные физические теории, как видно из вышеизложенного, опирается на следующие основные по­

ложения.

I. C любой физической системой может быть сопоставле­

на алгебра наблюдаемых. Это положение (или, если угодно,

исходный постулат) соответствует далеко идущему обобще­ нию принципа наименьшего действия, игравшего в прошлом

важную эвристическую роль в развитии физики [см. 11J.

Всамом деле, если физическая система может быть описана

спомощью принципа наименьшего действия или вариацион­

ного принципа, для нее можно ввести обобщенные координа­

ты и импульсы, далее через посредство скобок Пуассона

вводится лиево произведение, и затем теорию становится возможным переформулировать на языке алгебры наблюдае­

мых. Однако обратное положение неверно—описание с по­

мощью алгебры наблюдаемых является значительно более общим методом, чем принцип наименьшего действия, и с этим фактом приходится считаться в физике элементарных частиц.

II. Структурными свойствами алгебры наблюдаемых определяется структура фундаментальной физической теории.

Соответственно частичная классификация физических теорий

осуществляется путем классификации алгебр наблюдаемых по их структурным свойствам.

В настоящее время все главные физические теории с уче­ том этого положения по своей алгебраической структуре де­ лятся на классические (детерминистические и статистиче­

ские) и квантовые. В философском отношении важной осо­

бенностью новых абстрактных понятий высокой степени общ­

ности является то, что они не только позволяют по-новому взглянуть на уже существующие факты и теории, но и от­

крывают пути для создания новых теорий. В частности, на­

хождение принципиально новых «воображаемых» фундамен­

тальных физических теорий, аналогичных «воображаемой

геометрии» Лобачевского и требующих после своего построе­ ния еще сравнения с опытом, сводится теперь к решению

четко формулируемой математической проблемы о нахожде-

44

Нии абстрактных алгебр с новыми структурными свойствами,

которые в пределе переходили бы в алгебры наблюдаемых

классической и квантовой механики. В результате не только

дается конкретная математическая реализация философского

понятия о теориях разного уровня, связанных между собой предельными переходами, но и открывается возможность

фактической разработки и практической проверки новых фи­ зических теорий.

III. Одной из алгебраических операций в алгебрах на­

блюдаемых является лиево умножение, позволяющее, в част­

ности, рассматривать алгебру наблюдаемых как бесконечно­

мерную алгебру Ли6. C помощью лиева умножения вводятся

динамические уравнения движения (см. формулу 4), опреде­

ляющие изменения наблюдаемых с течением времени.

Важность этого положения связана с тем, что с его по­

мощью устанавливается соответствие с результатами статьи

тесная связь, поэтому результаты, выражаемые на языке алгебр Ли, могут быть переформулированы также на языке теории групп. В результате положение III после уточнения

физического смысла групповых параметров оказывается свя­ занным с инвариантно-групповыми свойствами физических

теорий. Отсюда далее вытекает рассмотренная в [1] класси­

фикация физических теорий по фундаментальным группам,

характеризующим их инвариантные свойства.

Следует отметить, что при алгебраической формулировке динамических уравнений движения (на языке алгебр наблю­

даемых) не используется понятие об измеряемых на опыте

числовых значениях наблюдаемых, поэтому здесь динамиче­ ские уравнения носят характер таких абстрактных физиче­ ских законов, которые непосредственно не зависят от число­ вых значений физических величин.

IV. Состояние физической системы определяется задани­

ем средних значений всех наблюдаемых для этой системы.

Более точно, состояние л определяется как вектор из дуаль­

ного векторного пространства по отношению к векторному пространству наблюдаемых, причем сравнение с опытом осу­ ществляется путем отождествления скалярного произведения

<π∕g> вектора л на вектор g со средним значением наблю­

даемой g в состоянии л7.

Из положения IV вытекает ряд важных общих выводов.

На элементы л можно накладывать дополнительные матема-

45

тические ограничения, в связи с чем физические теории можно

частично классифицировать по виду этих ограничений. Одна­

ко поскольку пространство состояний определяется исходя

из заданной алгебры наблюдаемых, то эти ограничения не могут быть произвольны, они должны зависеть от структуры

алгебры наблюдаемых. Например, для классических теорий

(для которых постоянная h в правой части алгебраического

тождественного соотношения (5) принимается равной нулю)

на состояния можно наложить такие ограничения, чтобы дис­

персии всех величин были равны нулю, т. е. чтобы теория

была детерминистической. Однако в квантовых теориях

с определяемыми из обычной квантовой механики тождест­

венными соотношениями между алгебраическими операция­

ми невозможно найти такие условия, чтобы дисперсии всех

наблюдаемых обратились в нуль. Поэтому квантовые теории с обычными структурными свойствами алгебр наблюдаемых

являются существенно статистическими теориями. В фило­

софском отношении эта статистичность. отражает связь кван­

товых систем с окружающей средой, от которой невозможно

отвлечься8.

Сформулированные и проанализированные выше четыре основных постулата теории физических теорий характеризу­

ют переход физики на новую ступень абстракции. На первых

ступенях абстракции был совершен переход от описания от­

дельных явлений к физическим законам, которые первона­

чально изучались вне связи между собой, затем группы фи­

зических законов были объединены в физические теории типа

классической механики, электродинамики, квантовой меха­

ники и т. д., что явилось важнейшим этапом в познании

внешнего мира, и, наконец, теперь все подобного рода физи­ ческие теории объединяются теорией физических теорий.

Выделение того общего, что имеется у всех главных, под­

тверждаемых на опыте физических теорий, приводит к новым

правлений. Разработка общей теории физических теорий

имеет важное мировоззренческое и методологическое значе­

ние.

46

Приложение

1 Дадим математическое пояснение высказанных положений. Пусть

gι, g2, gɜ— классические или квантовые наблюдаемые, причем в класси­

ческой механике за элементы g можно взять бесконечно дифференцируе­ мые в некоторой области функции обобщенных координат qk и обобщен­

ных импульсов pk (k=l, 2,..., N), а в квантовой механике элементами g

могут служить соответствующие эрмитовы операторы [см. 5]. Для на­

блюдаемых g определены алгебраические операции умножения на произ­ вольные действительные числа (число таких унарных операций беско­

нечно), бинарная операция сложения, а также бинарная операция Йорда­

и бинарная операция лиева умножения, в классической механике опреде­ ляемая по формуле

причем в классической механике, входящую в (5), постоянную h следует положить равной нулю. Остальные тождественные соотношения между алгебраическими операциями в классической и квантовой механике не за­

Pn) — абстрактный элемент алгебры наблюдаемых в классической меха­ нике, qι0,...j qN°, pɪ0,..., р№ — набор действительных чисел. Тогда состоя­

ние π в классической механике характеризуется или заданием этих чисел,

или заданием числовых значений <π | g> наблюдаемых g в состоянии ¡ц:

47

4 Поясним математический смысл статистических состояний. Пусть g—

произвольная наблюдаемая, которая в классической статистической физике, является функцией обобщенных координат q и обобщенных импульсов р. Тогда плотность вероятности ρ(q, р) определяется по средним значениям

g=<π g> всевозможных наблюдаемых в статистическом состоянии,∏ с

помощью формулы

где интегрирование производится по всему фазовому пространству. В част­ ном случае дельтообразной плотности вероятности при ρ=δ(q—q0, р—р°)

формула (7) переходит в формулу (6).

5 Поясним математический смысл квантовомеханических состояний.

Пусть g — квантовомеханическая наблюдаемая, которая является абст­

рактным элементом алгебры наблюдаемых и которая для специального

представления может быть представлена в виде бесконечномерной матри­

Обратно, матрица ρ определяется заданием наблюдаемых на опыте чисел вида (8). В чистом квантовомеханическом состоянии матрица ρ выра­ жайся через волновую функцию Ψ:

Множество элементов является алгеброй, если в него наряду с лю­ быми двумя элементами входит также их линейная комбинация (так что алгебра Ли является векторным пространством) и их лиево произведение.

7 Поскольку наблюдаемые g образуют векторное пространство (в об­ щем случае бесконечномерное), то как доказывается в математике, всегда

можно ввести" дуальное векторное пространство, элементы которого я

определяются заданием числовых значений <π g> для всевозможных g.

Общее определение состояний, даваемое постулатом IV, включает рассмот­ ренные выше определения состояний в классической детерминистической

механике, классической статистической механике, квантовой механике и квантовой статистической механике.

8 Поскольку на опыте изучаются свойства средних значений наблю­

даемых <π / g>, а не сами абстрактные наблюдаемые g, то наряду с рассмотренной нами картиной, когда с течением времени изменяются наблюдаемые g, а состояния я неизменны, можно рассматривать эквива­ лентную картину, когда с течением времени соответствующим образом изменяются состояния я, а наблюдаемые неизменны. В квантовой меха­ нике этому соответствует переход от описания Гейзенберга, где динами­ ческие уравнения движения имеют вид (4), к описанию Шредингера, где за основу кладется уравнение для волновой функции, описывающее ди­ намическое изменение состояний.

48

ЛИТЕРАТУРА

1. Зайцев Г. А. Абстрактные схемы физики и теория физических

теорий. I. — В кн.: Философия и физика. Воронеж, 1972.

2. De Broglie L. La théorie de la mesure en mécanique ondulatorei, Paris, 1957.

3.Курош A. Г. Лекции по общей алгебре. Μ., 1962.

4.Винер H. Кибернетика и общество. Μ., 1958.

5.Д и р а к П. Принципы квантовой механики. Μ., 1960.

тивная интерпретация квантовой механики. — В кн.: Философия и физи­

ка. Воронеж, 1972.

10.Винер Н. Я — математик. Μ., 1964.

11.Полак Л, С. Вариационные принципы механики. Μ., 1960.

f

Ю. Б. P У M E P,

Б. Г. КОНОПЕЛЬЧЕНКО

К ПРОБЛЕМЕ КЛАССИФИКАЦИИ АТОМОВ И АДРОНОВ

В начале XX в. атомарное строение материи пере­

стало быть научной гипотезой и стало твердо установленным фактом. Окружающая нас материя оказалась построенной из

различного сорта атомов (из 92 сортов — от водорода до

урана). Первый шаг к созданию теории строения вещества

состоял в классификации атомов. Построение системы хими­

ческих элементов, начатое Д. И. Менделеевым в 1869 г. и за­ вершенное после открытия квантовой механики в 1925 г. (в работах Н. Бора и В. Паули), является первым примером

успешной классификации, открывающей новые пути позна­ ния природы. При построении системы химических элемен­

тов Менделеев использовал огромную информацию о пове­

дении тех или иных атомов в различных химических реак­

циях. После открытия квантовой механики оказалось воз­

можным дополнительно к химической привлечь обширную спектроскопическую информацию.

Уверенности физиков в том, что вся материя в космосе

состоит из протонов и нейтронов (ядра атомов) и электро­

нов (оболочки атомов) был нанесен удар открытием в косми­ ческих лучах нового типа материи — адронов. Начиная с 30-х годов в результате совершенствования техники эксперимента

обнаруживались все новые и новые типы адронов. Число

различного типа адронов значительно превысило число хими­

ческих элементов, известных Менделееву. Естественно воз-

50