книги из ГПНТБ / Философия и физика [сборник статей]

некоторый предельный или особый случай. В математическом

отношении процесс становления новой фундаментальной тео­ рии в общем случае неравносилен простым попыткам вклю­ чить некоторый добавочный член в то математическое урав­

нение, которое соответствует ранее сложившейся теории. Анализ становления теории относительности и квантовых

идей наглядно показывает, что эти физические теории, явля­ ясь фундаментальными обобщениями в физических представ­ лениях о движении и строении материи, были разработаны

не как уточнение или дополнение к теоретическим моделям классической физики, а как внутреннее преобразование всего

теоретического каркаса физики.

Новые формы определяются, повторим, новым, ранее нау­ ке неизвестным содержанием. Включение нового содержания в эти обобщенные формы происходит весьма противоречивым

образом, включает в себя и прямое отрицание старого содер­

жания. К таким выводам нас приводит опять-таки развитие

современной физики. Классический урок тому дает исследо­

вание задачи об ускоренном движении электрически заря­ женных тел в связи с проблемой устойчивости атома. В на­ чале нашего века физика пришла к твердому выводу, что

атом имеет ядерно-планетарное строение. Согласно разраба­

тывающейся модели атома, электроны в нем двигались во­

круг ядра по замкнутым орбитам. C точки зрения представ­ лений классической физики в этом случае, как и при всяком ускоренном движении заряженных тел, электроны должны

были бы непрерывно излучать электромагнитные волны, что,

в свою очередь, должно было бы привести к потере электро­

нами энергии и их падению на ядро. Тем самым, исходя из представлений классической физики, атом был бы неустой­

чив, что не соответствует действительности. Квантовая меха­

ника как обобщение учения о физическом движении на об­

ласть атомных масштабов в самих своих основах отрицает

указанные представления классической физики о движении.

Аналогичным образом и другие процессы обобщения в раз­

витии естествознания включают определенные черты диалек­

тического отрицания старого содержания.

При рассмотрении природы процессов обобщения важней­

шее значение имеет вопрос, как совершается тот «шаг в сто­ рону», который и определяет, обусловливает собою любое

конкретное обобщение. Если при ответе на этот вопрос иметь

в виду психологию творчества, то современные ответы науки

•будут весьма скудны. Если же ограничиться феноменологи-

31

ческим описанием законов развития познания, то необходи­

мо признать, что основой для «шага в сторону» является непосредственная деятельность — практика постановки и ре­ шения новых классов исследовательских задач. Только по­

грузившись в сферу новых проблем, проанализировав осо­ бенности постановки и методы решения новых классов задач,

можно выработать новые концепции и осознать их существо.

Недаром в раскрытии принципиального содержания кванто­

вой механики, в выработке ее истолкования важную роль сыграл анализ новых экспериментальных ситуаций, особен­

ностей взаимодействий микрообъектов с приборами. Прак­

тические действия порождают новое видение мира. Вместе

с тем необходимо отметить, что указанный «шаг в сторону»

не определен однозначно. Какие задачи исследования, какие

исследовательские факты лягут в основу разработки более обобщенных идей, заранее сказать более чем трудно, эти

процессы во многом и существенном своеобразны. Различные «частные» могут лечь в основу разработки соответствующего

им «общего». Например, теория информации, как она сло­

жилась в 40-х годах нашего века, представляет собой важ­ нейшее современное обобщение . вероятностных концепций.

Она возникла из решения практических задач по теории свя­

зи. Решение этих, казалось бы, частных задач привело к разработке таких новых понятий и представлений, которые вышли далеко за рамки исходной задачи и приобрели в сов­

ременном естествознании общетеоретическое значение.

Рассмотрение процесса развития теоретических представ­

лений как процесса выработки более обобщенных систем знаний имеет прямое отношение к достаточно освещенной в

нашей литературе теоретико-познавательной закономерно­

сти— к принципу соответствия. Исследование этой законо­

мерности с позиций диалектического материализма сущест­ венно продвинулось благодаря работам И. В. Кузнецова

[11, 12]. Подчеркивая, что новые идеи являются результатом

процесса диалектического обобщения, мы тем самым ориен­ тируемся на раскрытие природы этих идей.

Рассматривая процессы обобщения как закономерность

развития познания, следует также отметить, что они внут­ ренне связаны с материалистически переосмысленной и сфор­

мулированной К. Марксом закономерностью развития теоре­

тического мышления, известной под названием процесса вос­

хождения от абстрактного к конкретному. В обоих случаях

мы имеем дело с фундаментальными логическими формами,

32

дения следует отказаться, о чем свидетельствует пример с нерелятивистской классической механикой и нерелятивист­

ской квантовой механикой, где фундаментальная группа

одна и та же, а теории различны. Поэтому возникает про­ блема создания более общей абстрактной математической

схемы теории физических теорий, которая, в частности, вклю­

чала бы не только переходы от нерелятивистских теорий к

релятивистским, но и переходы от неквантовых теорий к

квантовым. Соответственно если ранее был установлен глу­

бокий физико-теоретический смысл постоянной скорости све­ та, стремление которой к бесконечности приводит к переходу одной фундаментальной группы в другую, то теперь необходи­ мо еще установить более глубокий смысл другой фундамен­

тальной физической постоянной — постоянной Планка, харак­

теризующей переход к квантовым теориям. Л. де Бройль по

поводу постоянной Планка писал, что ее «истинный физиче­ ский смысл остается пока таинственным» [2, с. 951.

В данной статье излагаются общие философские и физи­ ческие идеи, приводящие к решению этой проблемы. Наряду с этим рассматриваются основы теории статистических со­ стояний, позволяющие включить в единую, общую схему ста­ тистические и нестатистические физические теории, намеча­

ются пути дальнейшей перестройки физических теорий, свя­

занные с разработкой абстрактных схем высокой степени

общности. Чтобы сделать статью более доступной, матема­

тические формулы, уточняющие смысл общетеоретических положений, приводятся в приложении, знакомство с которым

не обязательно для понимания основного текста.

Общая абстрактная основа классических и квантовых теорий

Первой из важнейших абстрактных математических основ классической и квантовой физики являются геометрические понятия, к числу которых относятся пространственные коор­

динаты, время, являющееся четвертой координатой в прост­

ранстве Минковского, и скорости материальных объектов. Все подобного рода геометрические понятия будут приобре­

тать чисто групповой смысл, если воспользоваться идеями,

ведущими начало от Эрлангенской программы Клейна

[см. 1]. В физике в качестве фундаментальной группы, харак-

36

теризующей инвариантные свойства физических явлений, бе­ рется или группа Галилея, или неоднородная группа Лорен­

ца (группа Пуанкаре). При этом пространственные коорди­

наты, время и скорость будут определяться через параметры

соответствующих групповых преобразований, переход от

нерелятивистской теории к релятивистской можно связать лишь с изменением фундаментальной группы, а важнейшая для релятивистской физики постоянная скорости света при­ обретает четкий групповой смысл.

Второй абстрактной математической основой классиче­

ской и квантовой физики является аналитический аппарат теории дифференциальных уравнений. Как мы видели, глу­

бокий перелом в понимании основ геометрии был достигнут в результате изучения инвариантных свойств геометрических

фигур и выдвижения на первое место понятия о группе, яв­

ляющейся одним из объектов, изучаемых алгеброй. В настоя­

щее время обнаружилось, что многие физические теории,

в том числе классическая и квантовая механика, могут быть

переформулированы в терминах алгебраических понятий,

причем основным математическим аппаратом становится уже

не анализ, а алгебра. Проникновение в различные разделы математики и физики новых абстрактных алгебраических ме­

тодов является одной из особенностей нашего времени, поэ­

тому мы остановимся на этом вопросе более подробно.

Абстрактную группу можно определить как множество элементов, для которых заданы следующие алгебраические

операции: бинарная (т. е. определяемая для двух элементов) операция группового умножения, позволяющая любым двум

взятым в определенном порядке элементам группы ставить в однозначное соответствие третий элемент группы; унарная

операция, сопоставляющая с каждым элементом группы об­

ратный ему элемент; нульарная операция, выделяющая из

всех элементов группы единичный элемент. Указанные три

алгебраические операции для группы связаны между собой

определенными тождественными соотношениями: бинарная

алгебраическая операция удовлетворяет условию ассоциатив­

ности, произведение произвольного элемента на обратный ему

равно единичному элементу и, наконец, произведение любо­

го элемента на единичный элемент равно этому же элементу.

В данное определение мы ввели важнейшее для современ­

ной математики понятие об алгебраической операции, кото­

рое дает возможность нескольким произвольным элементам

(например, двум для бинарной операции или одному для

37

унарной), взятым в определенном порядке, ставить в одно­

значное соответствие элемент из того же множества. Глубоким

обобщением группы является понятие об универсальной ал­

гебре, понимаемой как множество элементов, для которых определены алгебраические операции, связанные между со­ бой некоторыми тождественными соотношениями [см. об этом 3].

В системе точных наук абстрактные алгебраические ме­

тоды, связанные с выделением алгебраических операций и на­

хождением универсальных алгебр в рамках уже существую­

щих или заново разрабатываемых математизированных

теорий, показали себя как методы первостепенной важности.

C их помощью оказывается возможным выделять и изучать

общие закономерности у сложных систем и добиваться уди­

вительно сильных результатов в тех случаях, когда старые аналитические методы оказываются или чрезвычайно гро­

моздкими, или совершенно бессильными. Поскольку прове­

дение большого числа однотипных алгебраических операций

доступно электронным вычислительным машинам, то алгеб­ раические методы приобретают также особое значение в свя­ зи с происходящей в последние десятилетия второй промыш­

ленной революцией [см. 4].

В применении к основам физических теорий важную роль,

как мы видели, играет фундаментальная группа, характери­

зующая инвариантные свойства теории. Чтобы обобщить ме­

тод построения теории физических теорий, основанный на

использовании фундаментальной группы, необходимо перей­

ти к более общей универсальной алгебре, из которой, в ча­

стности, выводилось бы и понятие о фундаментальной группе. Такой алгеброй может служить алгебра наблюдаемых, сопо­

ставляемая с произвольной физической системой.

Уточним понятие об алгебре наблюдаемых. C каждой фи­

зической системой в механике сопоставляется совокупность

обобщенных координат и обобщенных импульсов. Класси­

ческими наблюдаемыми называются произвольные действи­ тельные функции обобщенных координат и импульсов, а

квантовомеханическими наблюдаемыми — соответствующие эрмитовы операторы. Если умножить наблюдаемую на дей­

ствительное число или взять сумму двух произвольных на­ блюдаемых, то снова получим наблюдаемую. Наряду с этим для множества наблюдаемых вводятся еще две бинарные

алгебраические операции умножения, одной из которых слу­ жит операция лиева умножения, определяемая с помощью

38

классических или квантовомеханических скобок Пуассона.

В результате множество наблюдаемых превращается в ал­

гебру, в которой уравнения движения для наблюдаемых за­

писываются с помощью алгебраической операции лиева ум­

ножения, а фундаментальная группа вводится с помощью

метода перехода от алгебр Ли к группам Ли1.

Понятие об алгебрах наблюдаемых открывает новый путь подхода к теории физических теорий, и с этим связано его

большое физическое и философское значение. Алгебры на­

блюдаемых с одними и теми же алгебраическими операция­

ми, но с разными тождественными соотношениями, связыва­

ющими эти операции, соответствуют разным физическим теори­ ям, а предельному переходу между. алгебрами наблюдаемых

будет соответствовать предельный переход между разными

зуются структурные свойства универсальной алгебры наблю­ даемых.

от квантовое механики. Далее, по аналогии с обобщенной программой Клейна, сформулированной ранее применитель­

но лишь к инвариантно-групповым характеристикам теорий,

возникает необходимость обобщить алгебраический подход

к отдельным физическим теориям и перейти к совместному

алгебраическому изучению множеств физических теорий, свя­ занных между собой цепочками предельных переходов. Сов­

местное алгебраическое рассмотрение нескольких физических

теорий позволяет поставить в наиболее общем виде пробле­

му более глубокой переформулировки теорий низшего уров­ ня, позволяющей в неявном виде учесть результаты теорий

более высокого уровня.

Статистичность и детерминизм в физике. Статистическое определение состояний

В результате алгебраической переформулировки физиче­

ских теорий с физическими величинами оказались сопостав­ ленными наблюдаемые, являющиеся элементами абстрактной алгебры наблюдаемых. C помощью уравнений движения (см.

формулу 4 в приложении) по наблюдаемым в данный момент

39

времени можно однозначным путем определить наблюдаемые

в любой другой момент времени. C наблюдаемыми можно по

заданным правилам призводить различные алгебраические операции, однако элементы алгебры наблюдаемых — это не

обычные числа, а нечто более абстрактное. Между тем в ре­

зультате измерений с физическими величинами на опыте со­

поставляются некоторые действительные числа. Закон такого

сопоставления оказывается связанным с теорией состояний физических систем, к которой мы теперь и перейдем.

При изучении понятия о состояниях физических систем важную роль играет выяснение физического и философского

смысла статистичности и детерминизма в физике [см. 6—9].

Физическая теория, отражающая объективную реальность,

позволяет с учетом проведенных ранее измерений предсказы­ вать наблюдаемые на опыте действительные числа. Если на­

блюдаемые числа предсказываются однозначно, то физиче­ ская теория называется детерминистической. Если же наблю­ даемые на опыте числа предсказываются лишь с некоторыми вероятностями или, что эквивалентно, если теория дает воз­

можность предсказывать лишь средние значения наблюдае­

мых на опыте величин, то она называется статистической.

Рассмотрим, как решается вопрос о задании состояний

физических систем для детерминистических и статистических

физических теорий.

В классической механике состояние физической системы

определяется заданием числовых значений всех обобщенных

ры наблюдаемых являются функциями координат и импуль­

сов, то в заданном состоянии каждой абстрактной наблюдае­ мой соответствует вполне определенное действительное чис­

ло. C точки зрения наиболее общего определения состояний, которое мы далее введем, состоянием классической системы

называется закон, по которому с каждой наблюдаемой одно­

значно сопоставляется действительное число, причем эти

числа должны быть связаны между собой определенными

тождественными соотношениями, определяемыми с учетом функциональной зависимости наблюдаемых от обобщенных

координат и импульсов. Эти соотношения в случае классиче­

ской механики дают возможность установить взаймно-одно-

значное соответствие между числовыми значениями обобщен­

ных координат и импульсов и числовыми значениями всех наблюдаемых. При этом предполагается, что с помощью из-

40