книги из ГПНТБ / Философия и физика [сборник статей]

А. И. ПАНЧЕНКО

ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОМ ХАРАКТЕРЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИСКРЕТНОСТИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

Известно, что представления о непрерывности про­

странства и времени, как и неразрывно с ними связанные представления о точечном характере частиц и взаимодей­ ствий, являются фундаментальными представлениями теоре­

тической физики. Их истинность в рамках классической фи­

зики и теории относительности не подвергается сомнению.

Вместе с тем в применении к описанию высокоэнергетиче­ ских процессов, протекающих в малых пространственных ин­

тервалах, представления о точечности частиц становятся неадекватными. «...Физическая картина точечной частицы,— пишет Д. И. Блохинцев, — является на самом деле прибли­ женной. В высших приближениях по степеням константы

взаимодействия возникают эффекты, которые могут рассмат­

риваться как проявление структуры частиц. Эта структура

служившая в классической физике и теории относительности,

оказывается слишком бедной для того, чтобы адекватно

отразить реальную структуру пространства, времени и дви­ жения на уровне микромира. Это проявляется не только в виде трудностей с расходимостями, возникающими в процессе

кванговоэлектродинамических расчетов, но и в неспособно­

133

сти на основании классической модели симметрии простран­ ства-времени объяснить новые законы сохранения, открытые физикой элементарных частиц (сохранение барионного и лептонного зарядов и др.).

Трудности современной физики, которые в общем виде можно было бы охарактеризовать как трудности согласова­

ния физических принципов теории относительности и кван­

товой механики в релятивистских квантовых теориях, пыта­

лись преодолеть не только на основе сохранения классических

представлений о непрерывности пространства и времени и точечное™ частиц и взаимодействий. Значительное распрост­

ранение получили также концепции, отвергающие необходи­ мость использования'этих представлений в физическом опи­

сании.

Одно из направлений развития релятивистской квантовой физики идет сейчас по пути отказа от рассмотрения прост­ ранственно-временного аспекта физической реальности (тео­ рия матрицы рассеяния). В связи с этим в зарубежной лите­

ратуре имели место утверждения о том, что пространство и время носят макроскопический характер. Вместе с моделью континуального пространства-времени сторонники концепции

макроскопического характера пространства и времени для

физики микромира отрицали реальность пространства и вре­

мени вообще [см. 17, 21].

Ясно, что такого рода интерпретации основных положе­

ний теории матрицы рассеяния расходятся с диалектико-ма­

териалистическим взглядом на пространство и время. Они

были подвергнуты критике в советской философской литера­ туре [см. 8].

Более широкую поддержку как со стороны физиков, так и со стороны философов в последние десятилетия получила концепция дискретного пространства-времени [см. 4]. Сле­

дует при этом отметить, что в большей части работ сторон­

ников гипотезы дискретности пространства и времени послед­

няя рассматривалась как альтернатива гипотезы контину­

ального пространства и времени (исключением могут слу­

жить, например, работы [2, 15]).

Вместе с тем, несмотря на отдельные успехи, использо­ вание гипотезы дискретного пространства-времени в физиче­

ском описании не привело пока к осуществлению возложен­ ных на нее надежд согласования физических принципов теории относительности и квантовой механики. Весьма пока­ зательным в этом отношении является высказывание

134

И. С. Шапиро, одного из физиков, строивших модели дис­

речий с обычной локальной квантовой теорией поля усмот­

реть пока нельзя. Поэтому до сих пор пока неясно, необхо­ дим ли вообще пересмотр наших пространственно-временных представлений в малом или искомая полнота и логическая

непротиворечивость теории могут быть достигнуты без ко­

ренного изменения основ» [14, с. 92]. На основании послед­ них экспериментальных данных по рассеянию элементарных

частиц можно также сказать, что, по крайней мере, для интервалов порядка IO-15—10-lβ см пространство является

непрерывным [см. 5].

Описанная выше двойственная ситуация, создавшаяся в

современной квантовой физике, свидетельствует о необходи­

мости методологического анализа устоявшихся физических

представлений о структуре пространства и времени. Трудно­

сти развития физики элементарных частиц говорят, по-види­ мому, о том, что модель континуального пространства-време­

ни является идеализацией структуры реального пространства-

времени. Она определенно недостаточна для полноты описа­ ния объектов микромира. Вместе с тем и гипотеза только дис­ кретного пространства и времени не приводит к желанной

полноте. Модель дискретного пространства-времени также является идеализацией.

Как нам представляется, решение проблемы может бытъ

получено на основании утверждения о необходимой взаимо­

связи непрерывного и дискретного. Впервые это утвержде­

ние, как известно, высказал Гегель. Но если у Гегеля оно

являлось лишь следствием его диалектики понятий, то клас­

сики диалектического материализма доказывали, что это

утверждение имеет под собой объективную основу в реаль­

ном мире. Так, В. И. Ленин, признавая важными рассужде­

ния Гегеля о единстве непрерывного и прерывного, указал,

ли одной из задач философского анализа выяснение и иссле-

Í35

дование различных конкретных форм этого единства. Сле­

дует отметить, что, решая эту задачу, советские философы

добились определенных успехов [см. 11, 6, 2].

Мы попытаемся осветить один из аспектов взаимосвязи

непрерывного и дискретного. По нашему мнению, познание

внутреннего механизма этой взаимосвязи может увенчаться

успехом, если исходить из утверждения об относитель­

ности непрерывности и дискретности. «В кван­

ную противоположность и соответственно понятие частицы

изменяется и получает новое определение, поскольку в кван­

товой механике понятия частицы и волны имеют смысл

только в своем взаимоотношении» [11, с. 157]. Точно также,

по-видимому, имеет место относительность и в случае поня­

тий непрерывности и дискретности.

В отличие от понятия дискретности, для понятия непре­

рывности, которым пользуется теоретическая физика, суще­

ствует точное и единственное определение, построенное на

основе теории множеств. Понятие непрерывности опреде­

ляется для линейно упорядоченных множеств мощности кон­

тинуума [см. 9, с. 2171. Представление, о континууме (в смыс­ ле непрерывного множества) можно получить из рассмотре­

ния линейно упорядоченной совокупности всех действитель­

ных чисел, заключенных, например, между 0 и 1 (или на всей числовой оси).

Модель континуального пространства и времени возни­

кает на основании процедуры взаимно-однозначного соответ­

ствия, устанавливаемого между элементами теоретико-мно­

жественного (числового) континуума и непротяженными точ­

ками физического пространства и времени. Это соответствие

переносит свойство математической непрерывности теорети­

ко-множественного континуума на физическую модель про­

странства н времени.

Отметим следующие свойства модели континуального про­

странства-времени.

Бесконечная делимость. Например, отрезок [0,1] непре­ рывной линии можно неограниченно долго делить по закону дихотомии, образуя следующую последовательность полу­

интервалов:

[0,1∕2 ), [½, 1A),...' [i1∕2n, 1∕2n+1,),∙. (п=1, 2, 3,...).

136

Получающиеся при этом части вновь представляют собой

континуальные множества, которые вновь можно подразде­

стей, множество которых неограниченно. Указанное свойство

является следствием отсутствия в континууме внутренних

метрических масштабов. В модель непрерывного простран­ ства-времени метрика вносится извне, посредством процеду­ ры однозначного соответствия, устанавливаемого между эле­

ментами числового континуума и точками физического про­ странства и времени.

Связность. Это главное свойство непрерывных множеств

задается с помощью топологического отношения линейного

порядка [см. 9, с. 212]. Как писал Б. Рассел, непрерывность

множества «не принадлежит множеству элементов самому

по себе, но только с определенным порядком..., множество

элементов, которое может быть расположено в непрерывном

порядке, может быть также всегда расположено в порядке,

который не является непрерывным. Таким образом, суть не­ прерывности следует искать не в природе элементов множе­

множества нельзя указать элемент, следующий непосредст­

ни справа, ни слева. Это свойство континуального множест­

ва можно охарактеризовать как неразличимость его элемен­

тов. Ему обязаны своим происхождением ряд логических и

гносеологических затруднений и, в частности, трудности, свя­

занные со знаменитыми апориями Зенона. Это свойство кон­

тинуума служит также препятствием для четкого и строгого определения отношения «раньше—позже» в рамках непре­ рывной геометрической модели времени [см. 13].

Несчетность. Наконец, непрерывные множества несчетно­

бесконечны, их мощность равна 2n , где N — мощность счет­ но-бесконечного множества. Несчетность множества означает,

что в рамках определенной аксиоматической теории мно­

жеств не существует средств пересчета элементов ЭТОГО MHO-

137

жества, т. е. способов установления взаимно-однозначного

соответствия между его элементами и элементами счетно­ бесконечного множества, под которым обычно понимается множество чисел натурального ряда.

Перечисленные свойства континуального пространства-

времени имеет смысл разбить на две группы: бесконечная

делимость и единство, связность и неразличимость эле­

ментов.

Хотя континуум представляет собой прежде всего мате­

матическую модель, его использование в теоретической фи­ зике имеет эмпирическое обоснование. Не вдаваясь в под­

робное обсуждение этого обоснования, укажем на те эмпи­

рические моменты, которые ответственны за выявленные нами

свойства математической модели непрерывности.

Очевидно, первой группе свойств соответствует реальная

делимость макроскопических тел и процессов без изменения свойств целого в его частях, причем эта делимость возможна

в достаточно широких пределах. Поскольку классические физические теории не занимались исследованием атомного строения вещества, постольку возможность неограниченного

подразделения была возведена в ранг физического закона.

Классическая физика, по существу, разделяла древнее мне­

ние Анаксагора о том, что «в малом не существует наимень­

шего, но всегда имеется еще меньшее». В приложении к про­

странству и времени свойство делимости непрерывных мак­

роскопических тел и процессов было абсолютизировано,

в результате чего и возникло представление о бесконечной делимости. Логическое развитие этого представления в рам­

ках математики привело к построению конструкции конти­

нуума.

Свойство единства и связности непрерывных множеств имеет еще более очевидные эмпирические основания. Непре­

рывные процессы и явления воспринимаются человеком

именно так, что прежде всего бросается в глаза их единство и связность. Перед этой эмпирической характеристикой не­ прерывного свойство его делимости даже отступает на задний план.

Известно, что Т. Гоббс и Д. Локк пытались определить

понятие непрерывности, исходя единственно из человеческого

восприятия непрерывных процессов и явлений. В последнее

время ряд ученых предприняли также конструктивные по­

пытки анализа и разработки понятия «эмпирической (физи­

ческой или чувственной) непрерывности» [см. 12, 19].

138

Общей характеристикой взглядов сторонников «эмпириче­

ского» подхода к определению непрерывности является, во-

первых, стремление отказаться от использования понятия

бесконечности (причем не только актуальной бесконечности,

но и потенциальной) для описания непрерывных процессов и

явлений и, во-вторых, стремление к наиболее полному вос­

произведению в физическом описании человеческих восприя­

тий непрерывного как связного и неразличимого. Эмпирическая неразличимость частей непрерывных про­

цессов и явлений, как физический аналог математической

неразличимости, тесно примыкает к свойству единства и свя­

зности непрерывного. Однако обычно она объясняется огра­

ниченностью наших чувственных восприятий (или соответст­ вующих возможностей технических устройств). Предметы и

процессы, физические характеристики которых лежат вне

границ разрешения воспринимающей способности человека

или технических устройств, воспринимаются как неразличи­

мые.

Описанный вид эмпирической неразличимости обусловли­ вается субъективными причинами. Вместе с тем для понятия неразличимости можно указать и другую область приложе­

ния, где неразличимость имеет место вследствие тождествен­ ности физических характеристик. Такого рода неразличи­

мость имеет объективные основания: чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить о принципе тождественности элемен­

тарных частиц.

В связи с обсуждением эмпирических моментов понятия

неразличимости проиллюстрируем недопустимость абсолю­ тизации субъективных оснований этого понятия. Для этого

напомним, что такая абсолютизация привела Б. Рассела к утверждению конвенционального статуса топологической структуры пространства и времени. Он писал, в частности:

«...гипотеза непрерывности вполне совместима и с фактами,

и с логикой, и она технически проще, чем любая другая гипо­ теза. Но поскольку наша различающая способность не беско­

нечно точна, совершенно невозможно осуществить выбор

между различными теориями, которые различаются только

в отношении того, что лежит ниже этой границы различимо­

сти» [20, с. 117—118].

Наконец, что касается последней характеристики непре­ рывных множеств — несчетности их элементов, то здесь воз­

никают затруднения при попытке сопоставить этой характе­ ристике непосредственный эмпирический аналог. Очевидно,

139

никакой опыт не может продемонстрировать нам не только

несчетно-бесконечное собрание физических объектов, но даже

и счетно-бесконечное множество их. Утверждение эмпириков infinitum actu non datur является справедливым. Однако, как

мы увидим дальше, понятие несчетности может быть приме­

нено для описания определенных конечных совокупностей

физических объектов.

Перейдем теперь к обсуждению оснований утверждения

об относительности непрерывного и дискретного. Будем исхо­

дить из математического описания непрерывности и дискрет­

ности. Поскольку для понятия дискретности в математическом

плане не существует такого точного и полного определения,

как для понятия непрерывности, то примем, что свойства конструкции дискретности определяются через отрицание описанных выше свойств континуальных множеств. Посколь­

ку основным предметом нашего исследования являются ма­

тематические конструкции непрерывности и дискретности (хотя и используемые в физике), нас здесь будут интересо­

вать прежде всего математико-логические основания утверж­

дения об относительности непрерывности и дискретности.

Если непрерывности, в качестве первой группы ее свойств,

соответствуют бесконечная делимость и метрическая аморф­

ность, то, согласно принятому нами подходу к определению

свойств дискретности, последней должны соответствовать

конечная делимость и наличие внутренних метрических мас­ штабов. По отношению к этим, казалось бы, противополож­

ным, никак между собой не связанным характеристикам не­ прерывного и дискретного с первого взгляда возникает сом­

нение в самой возможности утверждения об их относитель­ ности. Вместе с тем, как показывает опыт науки, в природе

не бывает ни чистой дискретности, ни чистой непрерывности.

Поэтому для описания физических процессов и явлений в

одних границах и в определенных целях годятся конструк­

ции с чистой дискретностью, а в других случаях — с чистой

непрерывностью.

Так, например, гидродинамика исходит из посылки о не­ прерывности распределения вещества в пространстве, и это

эмпирически справедливо в рамках макроскопических экспе­ риментов. C другой стороны, допустимое в гидродинамике

отвлечение от атомного строения вещества совершенно не­

приемлемо для атомной и ядерной физики. Таким образом,

в данном случае обнаруживается относительность представ­ лений о структуре вещества к различным физическим теори-

140