книги из ГПНТБ / Загальская, Ю. Г. Геометрическая кристаллография учеб. пособие

Б. П РО СТЫ Е ФОРМЫ В КЛАССАХ БЕЗ ЕДИНИЧНЫ Х НАПРАВЛЕН ИИ

(ВЫ СШ АЯ КАТЕГО РИ Я — КУБИЧЕСКАЯ СИНГОНИЯ)

Простые формы кубической сингонии можно вывести размно­ жением «первой» грани, занимающей различные положения отно­ сительно элементов симметрии соответствующих классов. Однако здесь из-за большого числа симметрических операций такой путь очень громоздок; более изящен и прост способ, предложенный Н. В. Беловым (индуктивный способ): простые формы кубиче-

двух-, трех- и четырехскатных «крыш», допускаемых плоскостной симметрией граней29.

Основные формы кубической сингонии — это простейшие кри­ сталлографические фигуры с несколькими осями симметрии выс­

Грани основных форм занимают строго фиксированное положе­ ние, как бы подчеркивая основные направления кубической син­ гонии — три координатные оси симметрии и четыре оси 3-го по­ рядка. Перпендикулярно координатным осям располагаются

29 Этому процессу придается «естественнонаучный» смысл: «самоочищение» кристалла от примесей материальных и нематериальных — нарушений и дисло­ каций.

60

грани куба {001}, перпендикулярно биполярным осям 3-го по­ рядка— грани октаэдра {111}, полярным тройным осям — грани

тетраэдров {111} и {1і!}.

Рис. 38. Основные формы кубической стшгонпи:

а— куб; б — октаэдр; в — тетраэдр

I.Простые формы {0kl) — производные куба (гексаэдра)

личится число граней формы, т. е. «пирамида», заменившая грани куба, окажется либо четырехгранной, либо вырожденной — дву­ гранной, а сами формы двадцатичетырех- и двенадцатигранными. Двадцатичетырехгранная форма {0kl} называется тетрагекса­ эдром, или тригон-тетрагексаэдром (учетверенный гексаэдр с тре­ угольными гранями). Очень выразительно и классическое его название — пирамидальный куб (рис. 39, а, б).

Двенадцатигранная форма может быть названа соответствен­

ношения индексов k и I: при например. ( 0 k l ) = (019), пира­ миды будут очень пологими, и облик всей формы окажется куби­ ческим; при сближении значений k и I — (019)->-(039)-э-(059)->- -э-(089)— пирамиды будут становиться круче и при (0Ы) = (011) возникнет новая форма — предельно крутой «тетрагексаэдр» или соответственно предельно крутой «пентагон-додекаэдр». В первом случае две грани соседних пирамидок сольются в одну ромбовид­

61

грани ромбододекаэдра равнонаклониы к двум координатным осям и параллельны третьей осп, т. е. занимают строго фиксиро-

Рпс. 39. Простые формы {0/г/} — производные куба:

Рпс. 40. Генезис ромбододекаэдра:

а — от куба через тетрагексаэдр; б — от куба через пентагон-додекаэдр

ванное положение. Таким образом, ромбододекаэдр оказался чет­ вертой постоянной30 формой кубической сингонии.

II. Простые формы {hll} (h < l ) — производные октаэдра (тетраэдра)

Смещение грани (111) в положение (hll) увеличит число гра­

(классы 43m и 23) образуется пирамидка из четырехугольных граней, отсюда обычное название формы — тетрагон-тритетраэдр,

но ее называют также двенадцатигранным дельтоэдром, так как. грань ее как бы состоит из двух «дельт» (рис. 41,6).

Предельное увеличение крутизны «пирамидок» этих производ­ ных форм 0, (Ы/)->-(Oil)) приведет к знакомому нам ром­ бододекаэдру (рис. 42).

III. Простые формы {hhl} (h<l) — производные как октаэдра (тетраэдра), так и куба

Переводя грань (111) в положение (hhl), где h<l, получим вместо грани октаэдра трехгранную пирамидку из четырехуголь-

63

ных граней (рис. 43,о). Соответственно форма называется тет- рагон-триоктаэдром, или 24-гранным дельтоэдром (рис. 43,6).

В случае тетраэдра придем к тригон-тритетраэдру, называе­ мому также пирамидальным тетраэдром (рис. АЪ,г,д).

Рис. 44. Простые формы {001} — {Mil} — {111}: а — {111} = октаэдр; б — {111}=тетраэдр

Те же формы можно получить и как производные куба {001}. В классах тЗт, 432 m3 вместо грани куба возникнет четырех­ скатная крыша (рис. 43, в). Образовавшийся 24-гранный дельто-

€4

В классах 43/?г и 23 вместо грани куба образуется двускатная крыша (рис. 43,с), и возникшую в этом случае форму можно было бы называть тригон-дигексаэдром, особенно если в ее сим­

IV. Общие простые формы кубической сингонии

Класс тЗт. Смещение грани октаэдра (111) в общее положе­ ние понизит ее плоскостную симметрию (3/?г->1), что уменьшит

Рис. 45. Общая форма класса тЗт:

а — «пирамидка» на грани октаэдра; б — сорокавосьмиграннпк; в — «пирамидка» на грани куба

Рис. 46. Общая форма класса 4 3 т :

а— «пирамидка» на грани тетраэдра; б — гексатетраэдр;

в— «пирамидка» на грани куба

в6 раз величину симметрии грани, поэтому полученная форма

окажется 48-гранной (рис. 45, а, б). К сорокавосьмиграннику можно прийти и от грани куба (4mm->4) (рис. 45, в).

Встречающийся в кристаллах сорокавосьмигранник имеет, как правило, октаэдрический габитус, поэтому общепринятое назва-

Голоэдрический (старший) класс тЗт называют классом сорокавосьмигранника, или гексаоктаэдрическим.

Класс 43т. Грань тетраэдра (111), переведенная в общее положение, ушестерится, отсюда наиболее распространенное

Рис. 48. Общие формы осевых классов:

а — пентагон-триоктаэдр=24-гранный осевик; б — пента-

Класс 43т называют гексатетраэдрическим.

Класс m3. Общую форму этого класса можно рассматривать как «вторичную» производную куба. Грань дигексаэдра {0/г/} —

66

пентагон-додекаэдр а — удвоится координатной плоскостью и по­ лучится 24-граниик, дидигексаэдр, который обычно называют дидодекаэдром, или преломленным пентагон-додекаэдром (рис. 47,а,б). Эту же форму можно считать производной окта­ эдра.

Класс m3 называют дидодекаэдрическим.

Классы 432 и 23. Общие формы этих классов можно называть осевиками, или гироэдрами, 24-гранным и 12-гранным соответст­ венно (рис. 48,а,б). В их обычных названиях — пентагон-триок- таэдр и пентагон-тритетраэдр — отражено их «происхождение» от октаэдра или тетраэдра (рис. 48, вид). Как производные куба (Іг~Іг) < ^ . 1 их можно было бы называть пентагон-тетрагексаэдром (рис. 48, г) и несимметричным пентагон-дигексаэдром (рис. 48,5).

Классы 432 и 23 называют пентагон-триоктаэдрическим и пен- тагон-тритетраэдрическим соответственно.

Таким, образом, оказались выведенными все 15 форм кубиче­ ской сингонии.

3*

ГЛАВА IV

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ

Решение многих кристаллографических вопросов нередко свя­ зано с переходом от одной установки кристаллического много­ гранника к другой, однако способы преобразования координат­ ных систем, используемые в рентгеновской кристаллографии, как будет показано, не могут быть безоговорочно использованы при работе с кристаллическими многогранниками.

При переходе от одной координатной системы к другой удобен аппарат матричной алгебры, и в настоящем учебнике даются некоторые практические советы по работе с матрицами.

§ 1. Зависимость между старой ( X Y Z ) и новой ( X ' Y ' Z ' ) координатными системами, а также между старыми

{(h k l), [/'S*]} и новыми { ( H K L ) , [ÄST]} символами граней

иребер

ПРЕО БРА ЗО ВА Н И Е КООРДИНАТНЫ Х ОСЕЙ

Заменим грани кристалла узловыми сетками, а ребра (и коор­ динатные оси) —- узловыми рядами (см. стр. 30). Если а: b : с —

Рис. 49. Преобразование коор­ динатных осей

отношение параметров старой единичной грани, а А : В : С—новой, то а, Ь, с и А, В, С — периоды идентичности (элементарные еди­ ницы) вдоль соответствующих координатных осей. Очевидно,

68

деляется лишь коэффициентами при а, Ь, с и А, В, С, системы этих уравнений можно записать сокращенно в виде матриц пре­ образования осей:

(от новых к старым). Такой тип преобразования носит название к о в а р и а н т н о г о .

Чтобы вычислить соотношение осевых единиц в данной систе­ ме координат, нужно матрицу соответствующего преобразования умножить31 на матрицу, составленную из осевых единиц другой системы:

\—► —*

31 См. сноску 33.

69