книги из ГПНТБ / Загальская, Ю. Г. Геометрическая кристаллография учеб. пособие

З А Д А Ч А V I ( О Б Р А Т Н А Я К З А Д А Ч Е V)

Даны элементы кристалла халькантита:

— : 1 : — = 0,5715:1:0,5575,

ь ь

90

а = 97°44', ß = 107°26', -у = 77°20'.

Построить стереограмму основных граней (100), (010), (001) и

(1П).

Р Е Ш Е Н И Е

Построение проекций координатных граней

1. Определение выходов координатных осей. Ось Z распола­ гаем вертикально, тогда плоскости осей ZX и ZY будут также вертикальными (рис. 62).

Рис. 62. Определение выходов ко­ ординатных осей по осевым углам

Ось X направляем на наблюдателя, причем ее положительный

2. Определение положения граней (100), (010) и (001). Гно­ мостереографические проекции координатных граней (100), (010)

и (001) находятся как полюсы дуг YZ, XZ и XY, т. е. дуг, прохо­ дящих через выходы координатных осей (рис. 62).

Определение положения единичной грани

Чтобы найти положение единичной грани, надо по элементам кристалла построить вспомогательные треугольники ВО С и АОС

91

(задача V), из которых определить аъ и ßa (рис. 63, а). Затем на стереограмме (рис. 63,6) из точек (100) и (010) провести дуги, образующие с окружностью основного круга (проекцией оси Z)

Определить симметрию (двойниковую группу) двойника про­ растания кристалла класса m3 при двойниковании по 2J-J-J2-j. То же для двойника срастания.

Р Е Ш Е Н И Е

Построив стереограмму группы m3, отмечаем выход двойникующей оси 2^12]. В общем случае для этого надо, пользуясь

соотношением hr + ks + lt—0, подобрать две грани с простейшими символами, параллельные этой оси. Дуга, проходящая через гномостереографические проекции этих граней, даст гномостерео­ графическую проекцию искомой оси, поэтому полюс этой дуги — стереографическая проекция заданной оси; положение граней легко получить «методом расщепления» (см. стр. 47). В данной задаче решение упрощается, так как в кубическом кристалле

92

направление [rsf] перпендикулярно к плоскости (rst), позицию которой также можно получить «расщеплением».

Из стереограммы очевидно, что единственным элементом сим­ метрии, который может перейти в двойниковую группу, оказы­

вается в данном случае ось 3y_L2 ^ .j42. Тогда предполагаемая сохранившаяся подгруппа — 3 (рис. 64).

Рис. 64. К задаче V II:

1 — элементы симметрии мо­ нокристалла; 2 — двойникующая ось; 3 — элементы сим­ метрии сохранившейся под­ группы; 4 — порожденные двойниковые элементы симмет­

рии

Взаимодействие элементов этой подгруппы с осью 2' приведет

Р Е Ш Е Н И Е

Двойникующий элемент — ось [112]

Полюсы граней Р и А находим на пересечениях следующих зон (рис. 65);

42 Если З у (= [111])± [112], то в кубическом кристалле (111) должна быть параллельна [112], что подтверждается соотношением h r + k s + l t = 0.

93

(211)= [(101).(ПО)] и [(100)-(111)],

(112)= [(ПО)] -(001)] и [(ОТі).(ТОІ)].

Поставив полюсы обеих граней на один меридиан сетки Вуль­

между этими полюсами (АР=АР). Искомая грань Р (211) зани­ мает положение Р (ф=242,5°, р= 117°).

Следует обратить внимание на то, что на стереограмме неви­ димым продолжением данного меридиана служит меридиан сим­ метричный.

Двойникующий элемент — плоскость (011)

Параллели сетки Вульфа перпендикулярны ее меридианам, поэтому, построив стереографическую проекцию двойникующей плоскости (рис. 65), откладываем по параллели угловое расстоя­

двойникующую плоскость) вертикально, для чего следует повер­ нуть стереограмму вокруг горизонтальной оси. Эта горизонталь­ ная ось совпадет с вертикальным диаметром сетки Вульфа, если стереографическую проекцию двойникующей оси поставить на

94

экватор этой сетки (соответственно проекцию двойникующей плоскости — на ее меридиан). При повороте вокруг этой горизон­ тальной оси все точки стереограммы будут перемещаться по параллелям сетки Вульфа.

ЗАДАЧА IX

отличается от морфологической поворотом координатной системы вокруг оси Z. Определить: I) новые символы граней (012), (111), (011) и (010); 2) старый символ новой единичной грани; 3) но­ вый символ меридионального ребра бипирамиды, обозначенной

встарой установке {021}.

РЕ Ш Е Н И Е

1.Для тетрагонального кристалла с боковыми особыми на­ правлениями оси X и Y можно выбрать двояко, причем соответ­

ствующие реперы будут повернуты относительно друг друга на 45° вокруг оси Z.

Рис. 67. К задаче IX

Очевидно, что структурное исследование позволит совместить оси X и У с теми особыми направлениями, элементарные едини­ цы А, В, С (периоды идентичности) вдоль которых кратчайшие.

Из рис. 67:

95

Следовательно, матрица преобразования осей (и индексов гра­ ней)

0 0 1

Новый символ (HKL) грани (012) найдем, перемножив матрицы

Таким же образом находим, что грани (111), (011) и (010) полу­ чат соответственно символы (101), (112) и (ПО).

2. Для определения старого символа (hkl) новой единичной грани следует вывести обратную матрицу, что можно сделать либо непосредственно по чертежу, либо решая систему уравне-

ний (1) относительно а и Ь:

96

Таким образом:

(ІН:::Кі (021).

(■)— üHi-HlHi)-«

З а д а ч а X

Определить для кальцита (класс 3т) символы ромбоэдра

{10І1} и скаленоэдра {1231} в трехосной системе координат Миллера.

РЕ Ш Е Н И Е

Всистеме Бравэ (см. стр. 39) ось Z направлена вдоль глав­ ной оси, оси X, Y (U) совпадают с боковыми особыми направле­

совмещаем начальные точки двух координатных систем, для чего переносим начало системы Бравэ из центра ромбоэдра в его вер­

Таким образом, координатными осями в системе Бравэ можно считать ребра гексагональной призмы, равной по высоте ромбо­

Отсюда матрица преобразования осей от гексагональной си­ стемы к ромбоэдрической:

Г 2___1_ _1_ 3 3 3

Вычеркнув в символах ромбоэдра и скаленоэдра лишний индекс по оси U, получим (10-1) и (12-1) соответственно.

98

Точно так же (pqr) скаленоэдра равно (524).

Иногда в такую матрицу вводят дополнительную строку, соот­ ветствующую_индексу і= —h—k.

Из 110/011/111 /z=p—q, k = q—r, следовательно, i= q—р + Т г—q = —р + г, и матрица будет записана как 110/011/101/111.

Соответственно (М) — —— -— —/—— -— —/—— -— —приходится

Задача XI

Для кристаллов ковеллина приводимая в справочниках матри­ ца преобразования осей к новой, структурной, установке записы­ вается как

(М*) = — 0 — 0/— — 00/0 — — 0/0002.

координат.

РЕШЕНИЕ

Перейдем к обычной трехстрочной матрице, для чего из соот­ ношения между (hkil) и (HKIL) получим соотношение между

(hk-l) и (HK-L):

99