книги из ГПНТБ / Загальская, Ю. Г. Геометрическая кристаллография учеб. пособие

фигурой находится такая же, но обращенная к читателю своей изиаикой):

а — стереограмма класса 6/т\ б —

поворот координатного репера иа 60°

—> —* —>

против часовой стрелки (.4 = а + 6 ,

В = — а, С = с )

1

При отражении этого же репера в горизонтальной плоскости симмет­ рии

xyz — в y x + y z (см. стр. 41, рис. 20, а и б), что дает

Отражение в горизонтальнойплоскости преобразует (hkl) в (hkl), а xyz в xyz, что дает

111

ГЛАВА VI

УП Р А Ж Н Е Н И Я

§1. Симметрия кристаллических многогранников

144.Построить стереографические проекции направлений, за­ данных своими сферическими координатами:

сталла, определить его симметрию, дать набросок общего вида кристалла:

44 Решение упражнений 1—7 требует знакомства со стереографической про­ екцией н с сеткой Вульфа (см. стр. 15).

ИЗ

6. Определить симметрию следующих кристаллов по их стерео­ граммам:

114

8. Действием вертикальной оси 2-го порядка размножить на стереографической проекции следующие грани:

а) грань, параллельную оси Ь2, б) грань, перпендикулярную к оси Ь2.

Сколько граней имеет каждая простая форма? Закрытая это фор­ ма или открытая? 45.

9. Действием двух пересекающихся под прямым углом верти­ кальных плоскостей симметрии и оси 2-го порядка, совпадающей с линией их пересечения, размножить следующие грани:

а) грань, перпендикулярную к оси Ь2, б) грань, параллельную оси Ь2, но перпендикулярную к плоско­

сти симметрии; в) грань общего положения 46.

Сколько граней имеет каждая форма? Закрытая она или откры­ тая?

10. Три взаимно перпендикулярные оси симметрии 2-го поряд­ ка расположены так, что одна из них вертикальна. Действием этих осей размножить следующие грани и дать характеристику каждой из полученных форм (число граней, закрытая или открытая форма):

а) вертикальная грань, перпендикулярная к одной из горизон­ тальных осей Ь2,

б) вертикальная грань, не перпендикулярная ни к одной из го­ ризонтальных осей Ь2,

в) грань общего положения.

11. Дана вертикальная ось 4-го порядка и перпендикулярная к ней плоскость симметрии. Размножить грани, занимающие раз­ личные положения, и дать характеристику каждой из полученных форм (число граней, закрытая или открытая форма).

12.Вертикальная ось 3-го порядка совпадает с линией пересе­ чения трех плоскостей симметрии, образующих друг с другом углы

в60°. Размножить грани, занимающие различные положения, и дать характеристику каждой из полученных форм (число граней, закрытая или открытая форма).

13.Размножая асимметричную фигурку или две произвольно

расположенные грани общего положения, сравнить действия еле-

__ О __ О 1

дующих сложных осей симметрии: 2, 2, 1, 1. Можно ли заменить эти оси простыми элементами симметрии? Какими?

14. Размножая асимметричную фигурку или две произвольно расположенные грани общего положения, сравнить действия сле­

45 Простой формой кристалла называется комплекс граней, связанных сим­ метрическими операциями класса, т. е. «выводящихся» из одной грани путем симметрических операций. Грани закрытой простой формы полностью замыкают

метрии, не параллельна единичному элементу и не равнонаклонна к эквивалент­ ным элементам симметрии (см. стр. 52).

115

дующих сложных осей симметрии: 3, 3, 6, 6. Можно ли заменить эти оси простыми элементами симметрии? Какими?

15. Сравнить действия следующих сложных осей симметрии:

о _ о

2, 2, 4, 4. Можно ли заменить эти оси простыми элементами сим­ метрии? Какими?

16. Размножая грани различного положения вертикальной осью

4, получить все возможные простые формы и дать их характери­ стику (число граней, закрытые или открытые формы).

17^ Размножая грани различного положения вертикальной

осью"3, получить все возможные простые формы и дать их харак­ теристику (число граней, закрытые или открыте формы).

18. Найти зеркальные эквиваленты следующих инверсионных

осей: 3, 5, 7, 9. Какими простыми элементами симметрии можно заменить эти оси?

О О О

19. Найти инверсионные эквиваленты зеркальных осей: 3, 4, 5,

• с о

6, 7 и 8.

0 * 0

20. Действие каких из перечисленных сложный осей — 7, 8, 9,

о о о — —-

10, 11, 12 и 7, 8, 9, 10, 11, 12 — нельзя заменить действием простых элементов симметрии?

21.Объяснить, чем отличаются друг от друга нечетные и чет­ ные сложные оси.

22.Доказать, что число плоскостей симметрии, пересекающих­

ся вдоль поворотной оси симметрии Ln, равно порядку оси п.

23.Доказать, что общее число осей 2-го порядка, перпендику­ лярных к оси Ln (побочных осей), равно порядку оси п.

24.Доказать, что последовательные действия поворотной оси 2-го порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии рав­

носильны отражению в точке, расположенной на пересечении оси

сплоскостью симметрии.

25.Доказать, что общее число плоскостей симметрии, пересе­

кающихся вдоль зеркальной оси ѣ,,г, равно п/2 и что общее число порожденных побочных осей Ь2 также равно п/2.

26.Используя асимметричную фигурку, показать, чему равно последовательное действие поворотной оси 4-го порядка и плоско­ сти, перпендикулярной к этой оси.

27.Показать, размножая асимметричную фигурку, к какому

результату приведет поворот вокруг оси 4 и инверсия в точке, расположенной на этой оси.

о

28.Оси 4 и 4 совпадают. Какие еще элементы симметрии неиз­ бежны в этом случае?

о_

29.Оси 6 и 6 совпадают. Перечислить результирующие элемен­

ты симметрии.

116

31. Получить результирующие элементы симметрии, считая ис­

32.Чему эквивалентен трехкратный поворот вокруг оси б (63)?

—о

Чему равно 63 и 63?

35. Вывести классы симметрии, приняв следующие операции за порождающие (указать, какие из классов некристаллографичны):

а) отражения в двух плоскостях, пересекающихся под углом 90°, 12°, 30°, 36°;

б) два поворота вокруг двух взаимно перпендикулярных пово­ ротных осей симметрии 4-го и 2-го порядков;

в) два поворота вокруг двух осей 2-го порядка, образующих угол в 30°;

г) два поворота вокруг взаимно перпендикулярных осей 6-го-

и2-го порядков.

36.Какие классы симметрии получим, взяв за порождающие операции отражения в трех плоскостях; две из них пересекаются под углом а, а третья перпендикулярна к ним:

Отметить некристаллографические классы.

37. Указаны порождающие операции симметрии. Записать обо­ значения классов симметрии, по Бравэ и Герману—Могену. Нари­ совать стереограммы этих классов:

а) отражения в двух плоскостях симметрии, пересекающихся под углом 30°, и инверсия;

б) отражения в двух плоскостях симметрии, пересекающихся под углом 60°, и инверсия;

117

38. Нарисовать стереограммы классов по следующим порож­ дающим операциям, обозначить классы по Герману—Могену и Шенфлису:

а) отражения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях •симметрии и поворот вокруг оси Ь2, перпендикулярной к одной из плоскостей и лежащей в плоскости другой;

б) поворот вокдуг двух осей симметрии 2-го порядка, пересе­ кающихся под углом 30°, и отражение в плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью обеих осей;

в) поворот вокруг двух осей 2-го порядка, пересекающихся под углом 60°, и отражение в точке, расположенной на пересече­ нии осей.

39. Обозначить международными символами и символами Шен- •флиса следующие классы симметрии; указать, какие из них невоз­

•следующих элементов симметрии? Для обозначения классов ис­ пользовать символику Бравэ, Шенфлиса и Германа—Могена. Ка­

118

42.Пользуясь общей теоремой Эйлера об осях, определить, под. каким углом пересекаются две оси 3-го порядка, если их равно­ действующей будет ось 2-го порядка.

43.Показать, используя осевую теорему Эйлера, что в кристал­ лах не может быть двух осей 6-го порядка.

44.Определить по теореме Эйлера результирующую поворотов, вокруг осей 3-го и 4-го порядков. Каков угол между исходными

осями?

45.Дано: 2-3=4. Определить угол, образованный этими осями.

46.Какие из записанных равенств справедливы?

48. Пользуясь правилами взаимодействия элементов симметрии* дополнить проекции следующих классов и записать их обозначе­ ния всеми способами (рис. 71, 1—48).

т

51.Выписать подклассы тетрагональной сингонии для классов

—4

432, 43т и — /ш .

т

52.Перечислить подклассы для классов 222, 422, 32, 622, 432.

53.Перечислить надклассы для классов: Зт, ттт, mm2, 422*

m3, Зт.

54.Какие две точечные группы не входят ни в одну из других

вкачестве подгрупп?

55.Какая группа входит как подгруппа в максимальное число-

групп?

56.Какие координаты приобретет точка xyz при повороте во­ круг оси Ь2, проходящей через начало координат и совпадающей

сосью Z? С осью X? С осью У?

57.Какие координаты приобретет точка xyz при повороте во­

круг оси L4, совпадающей с координатной осью Z? С осью Х>

Сосью У?

58.Какие операции связывают две точки со следующими коор­

динатами:

а) xyz и xyz,

119