книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

Из выражения (172)

колебании упадет в е раз, достаточно для определения величины о, перепишем выражение (173) в виде

Теперь определим погрешность, с которой функция Ле_6( аппрок-

любого времени t. Для этого определим значение погрешности

Значение экстремума погрешности (175) найдем из условия

Vmax — 0,1 1.

Таким образом, мы подобрали такое значение б, что с точностью до 0 , 1 1 можно записать решение уравнения (158) в виде

Можно показать, что полученному решению удовлетворяет, в ча­ стности, уравнение

70

или, учитывая выражения (180) и (182) можем написать

Теперь, сравнивая выражения (185) и (178), можно заметить, что если начальные амплитуды свободных колебаний равны

8

Таким образом, мы связали коэффициент трения а, сосредо­ точенного в опоре, с коэффициентом распределенного трения Ь.

§ 7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИИ ВКЛЮЧЕНИИ И НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

Выше были рассмотрены основные соотношения и правила, позволяющие построить электрическую модель колебаний пря­ мой однородной трубы.

Ввиду того, что трубопроводные системы имеют большое число разнообразных неоднородностей, среди которых встре­ чаются участки перехода с одного диаметра на другой, за­ движки, фланцы, промежуточные податливые опоры и т. д., рас­

моделировать колебания трубопровода совместно с включением или неоднородностью, которые могут быть классифицированы следующим образом:

1 ) участок трубопровода с переменной массой и жесткостью (переход с одного диаметра на другой);

2 ) участок трубопровода с включенной сосредоточенной мас­ сой (задвижка, фланец, вентиль);

3) участок трубопровода с сосредоточенной жесткостью (про­ межуточная опора).

Рассмотрим эти участки.

1.Участок трубопровода

спеременной массой и жесткостью

Здесь возможны два случая: резкий (рис. 33) и плавный (рис. 34) переходы с одного диаметра на другой.

72

Для случая резкого перехода с одного диаметра на другой запишем граничные условия для сечения А

где величины с индексом ( + ) относятся к границе сечения А слева, с индексами (—) относятся к границе сечения А справа.

Учитывая принятую систему соответствий (91), перепишем соотношения (186)

«( + ) — “ ( - ) ! '?(Э+ ) = ''Р(Э_ ); г’( + >о,5 = *(—)о,5; /( + ) = /< - ) ,

На рис. 35 показана электрическая модель колебаний трубо­ провода, изображенного на рис. 33. Здесь /—электрическая мо­ дель колебаний трубы с параметрами щн и EJь I I — электриче­ ская модель колебаний трубы с параметрами р0 2 и EJ2. Действи­ тельно, токи и напряжения в сечении А модели удовлетворяют соотношениям (186), следовательно, электрическая модель, изо­ браженная на рис. 35, моделирует изгибные колебания трубопро­ вода, изображенного на рис. 33. Параметры и число звеньев модели колебаний однородных участков трубопровода выби­ раются по рассмотренной выше методике.

Участок трубопровода с плавно меняющимися параметрами (конический переход) (см. рис. 34) может быть сведен к участку со ступенчато изменяющимися параметрами (рис. 36) так, что параметры трубы на одном участке, образующем ступень, остаются постоянными. Тогда колебания участка трубопровода с плавно изменяющимися параметрами будут моделироваться как колебания трубопровода с несколькими ступенчатыми пере­ ходами с диаметра на диаметр.

Рассмотрим замену трубопровода с плавно изменяющимися параметрами трубопроводом со ступенчато изменяющимися параметрами. Для определения числа и длины отрезков разбие­ ния найдем зависимость массы единицы длины трубопровода

73

и жесткости в функции длины, приняв за начало отсчета левоекрайнее сечение конуса х0. Масса элемента трубопровода, огра­ ниченного сечениями а п Ь, будет равна

74

и (184), получим зависимость массы единицы длины трубопро­ вода и его жесткости от координаты х

Как уже отмечалось, моделируемый конический переход за­ меняется несколькими однородными участками трубопровода или ступенями с постоянными параметрами. Очевидно, что длины ступеней должны выбираться так, чтобы погрешность моделиро­ вания не превышала заданную. Другими словами, длину ступени следует выбирать так, чтобы усредненные параметры одной сту­ пени отличались от истинных параметров трубопровода на этой ступени не более чем на заданную величину.

Определим, в каком соотношении между собой должны нахо­ диться погрешности по погонной массе и жесткости на одной ■ступени и как они связаны с погрешностями моделирования.

Прежде всего отметим, что замена конического трубопровода ■однородными ступенями вызовет амплитудную и частотную по­ грешности моделирования. Величина амплитудной погрешности связана с погрешностью моделирования волнового импеданса. Найдем условия, при которых погрешность волнового импеданса

Но

A E J

-r~r = rjEJ — относительная погрешность по жесткости;

75

Известно, что собственные частоты прямой трубы пропорцио­ нальны квадратному корню из жесткости, деленной на погонную массу:

принятые обозначения, получим выражение, связывающее ча­

ц0(*)- Величина 6 известна при заданной погрешности модели­ рования по собственной частоте из выражения (2 0 0 ).

Из точки А проведем прямую, параллельную оси х до пересе­ чения с кривой (1 —б Ы * ), или аналитически, учитывая выра­ жения (192)

76

Р е ш е н и е у р а в н е н и я ( 2 0 1 ) д а е т а б с ц и с с у к о н ц а п е р в о й с т у п е н и

( 202)

(1 — 8 ) sin у

Выражение (202) определяет длину первой ступени, исходя из погрешности по массе. Длину, первой ступени, исходя из задан­ ной погрешности по жесткости, найдем графически. Для этого

проведем кривые (1+6)£7(х) и (1—6)EJ(x) (см. рис. 37,6) выше и ниже кривой EJ(x). Из точки А проведем прямую парал­

лельно оси х до пересечения с кривой (1—6 )EJ(x). Абсцисса точки пересечения будет равна хь Следовательно, длина первой ступени составит

А'о— X ] .

Если окажется, что длина первой ступени, выбранная исходя из погрешности по жесткости, меньше, чем та же длина, выбран­ ная исходя из погрешности по массе, то первая принимается как длина первой ступени, и наоборот.

Аналогичным образом находим длину второй ступени и т. д., только теперь за начало отсчета для второй ступени принимаем точку с .координатой хь для третьей ступени — точку с коорди­ натой х2 и т. д. Тогда для первой ступени усредненные пара­ метры (погонная масса единицы длины и жесткость) будут

EJ ,= ( 1+8) — < А + (*о —-*o)sin y j 4—

1 V 1 ’ 64 1

— для второй ступени

77

для /i-нои ступени

Я£>

Рол— 4 I A + C*„-i--*o)sin

+ ( ■ * „ - ! sin — !}0 -И);

EJ„ = Е л A + (■*«-!-■*<)) sin —

64

rfi+ (■*„-!-•*<>) sin f [ ) d + 4 .

Таким образом, мы определили длины однородных участков трубопроводов, которые заменяют конический переход, и их усредненные параметры. Моделирование трубопровода со сту­ пенчато изменяющимися параметрами описано выше.

2.Электрическое моделирование трубопровода

ссосредоточенной массой

Наличие в трубопроводных системах обвязки элементов, ли­ нейные размеры которых малы по сравнению с длинами участ­ ков трубопровода — фланцевое соединение (рис. 38), вентиль (рис. 39),—приводит к тому, что электрическая модель должна обеспечивать возможность моделирования колебаний трубопро­ вода совместно с сосредоточенной массой.

Для нахождения электрической схемы, моделирующей изгиб­ ине колебания трубы с присоединенной сосредоточенной массой (рис. 40), запишем уравнение динамического равновесия массы т

78

где ток /<■соответствует силе R, емкость С соответствует массе т, напряжение и соответствует скорости у, токи ц+)о,в и k-)o,5, проте­ кающие в верхних обмотках трансформаторов, соответствуют поперечным силам Q(+) и Q(~).

Уравнение (204) описывает электрическую схему (рис. 41), которая представляет собой электрическую модель трубы 1 с включенной массой. Массе т соответствует емкость С электри­

m‘mQ__1 . (206)

т т.

11 и

Легко заметить, что индикатор подобия (206), определяющий подобие трубопровода с сосредоточенной массой (см. рис. 40) и электрической модели (см. рис. 41), совпадает с одним из индикаторов подобия (97) модели участка трубопровода.

Следовательно, для построения электрической модели коле­ баний трубопровода совместно с сосредоточенной массой т необ­ ходимо построить модель колебаний трубопровода по изложен­ ной выше методике, а затем к модели колебаний трубопровода подключить емкость С (см. рис. 41), величина которой опреде­ ляется из соотношения

«V— т

~с '

Емкость С включается в узел модели, соответствующий точке трубопровода, где включена сосредоточенная масса т.

79