книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

ляется возможным, поэтому воспользуемся несколько иным ме­ тодом нахождения собственных частот системы, описываемой уравнением вида (52).

Предположим, что s-тая собственная форма системы, описы­ ваемой уравнением (52), совпадает с s-той известной формой системы, описываемой уравнением (23), что возможно при до­ статочно большом числе разбиений п. Тогда по известной собст­ венной форме найдем частоту <mms для этой формы. Найдем вы­ ражение для s-той собственной формы. Для этого подставим выражения для шарнирных граничных условий в систему урав­ нений (II4) —(117). После преобразований получим

50

Как известно из теории дифференциальных уравнений, зна­ чения собственных частот системы, описываемой уравнениями вида (128), удовлетворяют следующему выражению:

------- —------- 3. (129) ki

(л0Д x'l sin — т

п

Подставляя уравнения (129) и (123) в выражение (107) для частотной погрешности, после неко торых преобразований получим

2

(130) 0,4

/

51

(4—6 ) разбиений на одну полуволну ошибка моделирования по спектру собственных частот для первого приближения не превы­ сит 8 —2%. Увеличение точности моделирования при использова­ нии звеньев (см. рис. 1 2 ) может быть достигнуто при помощи уве­ личения их числа. Теперь мы можем получить аналитическое вы­ ражение, которое ' связывает число разбиений (или число звеньев) на половину длины волны в функции заданной погреш­ ности. Для этого решим биквадратное уравнение (130)

q = b V

волн, следовательно, число разбиений п, исходя из выражения (131), составит

где 8 Ш ^ 1 — частотная погрешность на частоте гым.

Если в трубопроводной системе имеется несколько участков разной длины, то число разбиений по формуле (132) выбирается по самому короткому участку, так как спектр собственных ча­ стот более длинных участков ниже, чем у короткого, следова­ тельно, частотная погрешность моделирования других участков при той же длине участка разбиения будет заведомо ниже.

Получение выражений, аналогичных выражению (132), для электрических моделей поперечных колебаний трубы второго и третьего приближений представляется довольно сложным. Однако анализ кривых (см. рис. 23) и экспериментальные иссле­ дования показывают, что при заданной погрешности моделиро­ вания по частоте число звеньев второго приближения оказы­ вается на 25% меньше, а число звеньев третьего приближения в два раза меньше числа звеньев первого приближения.

§ 5. СРАВНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ ТРЕХ ПОРЯДКОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Сравним модели всех трех порядков приближения при одном и том же числе моделирующих звеньев. Критерием для оценки эффективности звеньев послужит частотная погрешность модели­

52

рования. Выполним это сравнение на примере расчета спектра собственных частот и форм колебаний однородной алюминиевой трубы с различными закреплениями.

Пусть дана однородная труба с параметрами

/= 1,68 м; цо= 0,114 кг/м; £> = 14 мм; d —11,7 мм,

где D — внешний диаметр трубы; d — внутренний диаметр трубы.

Определим момент инерции сечения трубы по формуле

Зададимся расчетной погрешностью моделирования для мо­ дели первого приближения по пятой собственной частоте 8Ш^ = 20% и коэффициентом трансформации трансформатора

звена модели k\=2. Тогда число звеньев модели или число раз­ биений найдем по выражению (131): я=12.

Найдем масштабный коэффициент по длине I

т ..=— —=0,07 м. nki

Затем зададимся величинами индуктивностей и емкостей звеньев моделей всех трех порядков приближений

£, = £2 = 73=10-3 Г; С, = С2= С з = 2,9 - 10 - 8 Ф.

Определим теперь остальные параметры электрических звень­ ев и масштабные [коэффициенты:

mEJ= 2,25 Н -1 м-1 Г -1; т„. = 5-5-105 кг-Ф -1;

— для звена первого приближения

£;=о; с;=о:

—для звена второго приближения

£' = 0,66-10 -3 Г; С' = 0;

—для звена третьего приближения

£' = 0,05-10-3 Г; С '= 1,93 -10-8 Ф;

Масштабные коэффициенты по времени определим, перемно­ жив соотношения, входящие в систему (97), между собой

ml — т х Y tnEJtnv.

53

Для моделей первого, второго и третьего приближений

mti = mt и = т 1ш=77,7.

Для сравнения на трех электрических моделях, собранных со­ ответственно из указанных звеньев, был определен спектр собст­ венных частот трубы с шарнирным закреплением. Эксперимен­ тальные и теоретические кривые погрешности показаны на рис. 23. Теоретические значения собственных частот получены по выражению (113). Результаты моделирования, приведенные

втабл. 3, показывают, что ошибка моделирования звеньями тре­ тьего приближения оказывается значительно меньше (примерно

вдва раза), чем ошибка моделирования звеньями второго и пер­ вого приближений. Следовательно, число звеньев третьего при­

ближения при моделировании изгнбных колебаний однородной трубы с заданной погрешностью окажется в два раза меньше, чем число звеньев второго и первого приближений. На рис. 24 приведены кривые зависимости частотной погрешности модели­ рования в функции числа разбиений на одну полуволну: кри­ вая 1 — для модели первого приближения, кривая 2 — для мо­ дели второго приближения, кривая <3— для модели третьего при­ ближения.

Определение спектра собственных частот и распределение напряжения на звеньях модели, которое соответствует рассчи­ тываемой собственной форме, может производиться на электри­ ческой модели по схеме рис. 25.

Генератор 1 переменного напряжения звукового диапазона

_ R '

где Uвых — выходное напряжение на зажимах генератора.

Источник тока, моделирующий возмущающую силу, подклю­ чается к электрической модели трубы 2. Шарнирные или жесткие закрепления осуществляются в модели в соответствии с табл. 2. Напряжение на модели, которое соответствует вибрационной скорости, измерялось электронным вольтметром 3 (типа ВЗ-7).

54

На рис. 26 приведены полученные на электрической модели первого приближения соответствующие формы колебаний трубы для шарнирных (пунктирные кривые) и для жестких (сплошные кривые) закреплений. Амплитуды колебаний указаны в безраз-

мерных величинах; за единицу принята максимальная вибра­ ционная скорость на первой собственной частоте при шарнир­ ном закреплении. Собственные формы трубы, приведенные на рис. 26, достаточно хорошо согласуются с расчетными [13]; так, собственные формы при шарнирном закреплении близки к сину­ соидальным.

Рис. 26. Собственные формы участка трубопровода при шарнирных (пунктирные кривые) и жестких (сплош­ ные кривые) граничных условиях

Для рассматриваемого примера погрешности моделирования первой собственной формы при моделировании звеньями первого

итретьего приближений приведены в табл. 4 и на рис. 27.

Втабл. 4 и на рис. 27 приведены также расчетные значения собственной формы и значения, полученные на электрических

55

Т а б л и ц а 4

Рис. 27. Первая собственная форма участка трубопровода при шарнирных граничных условиях:

/—расчетная; 2—на модели первого приближения; 3—на модели третьего приближения

моделях первого и третьего приближений. На рис. 27 кривая 1—

зультате моделирования величин от расчетных как корень квад­ ратный из дисперсии

°= У М (8*),

56

где М—математическое ожидание, ба — погрешность моделиро­ вания или отклонение.

Учитывая отклонения величин, полученных на модели, от ра­ счетных (табл. 4), получим среднеквадратическое отклонение

— для модели первого приближения

ai = 0,120;

— для модели третьего приближения

0ш = —0,055.

Сравнение погрешностей моделирования по первой собствен­ ной форме для моделей первого и третьего приближения показы­ вает, что погрешность при моделировании звеньями третьего типа более чем в два раза меньше, чем погрешность при модели­ ровании звеньями первого типа.

§ 6 . ДОБРОТНОСТЬ ТРУБОПРОВОДА И МОДЕЛИ

Выше были определены условия количественного соответст­ вия процессов изгибных колебаний трубопровода и колебаний тока и напряжения в его электрической модели, были сформули­ рованы правила осуществления граничных условий в электриче­ ской модели и получены соотношения, позволяющие определить число моделирующих звеньев при заданной погрешности.

Все это было сделано в предположении, что активные потери в трубопроводе и- в электрической модели отсутствуют. В то же время реальная трубопроводная система имеет активные потери и, следовательно, конечную добротность. То же можно сказать и об электрических элементах, из которых набирается электри­ ческая модель.

Отметим, что в трубопроводных системах имеется два вида потерь: потери, вызываемые наличием внутреннего неупругого сопротивления в теле трубы, и потери, определяемые трением

вопорах и креплениях.

Вработе [12], посвященной исследованиям внутреннего сопро­ тивления, предлагается ряд зависимостей, определяющих дисси­ пативные характеристики металлических конструкций. Отметим одну из них, использование которой допустимо в рассматривае­ мой здесь линейной задаче. Согласно этой зависимости вели­ чина полной жесткости при гармонических деформациях со­ ставляет

(I+/<*)£/,

где а — величина, характеризующая диссипативные характери­ стики материала.

57

что справедливо для малого значения а. (Величина а действи­ тельно мала [12] и имеет порядок 10“2).

Рис. 28. Схема звена мо­ дели первого приближе­ ния с учетом внутрен­ него сопротивления

Для нахождения электрической схемы, моделирующей урав­ нение (133), подставим в него масштабные коэффициенты из табл. 1. После подстановки получим

Выше отмечалось, что принятая здесь форма записи внутрен­ него неупругого сопротивления справедлива для гармонических деформаций, следовательно, и ток im может быть представлен в виде

Тогда, с учетом индикаторов подобия (97), выражение (134) примет вид

Таким образом, мы получили уравнение (135), которое опи­ сывает электрическую модель с учетом потерь на внутреннее неупругое сопротивление в теле трубы. Легко показать, что этому уравнению соответствует электрическая схема, изображен­ ная на рис. 28, где сопротивление R\ вычисляется как

Из выражения (136) следует, что в число величин, опреде­ ляющих R 1 , входит круговая частота соэ.

58

Реализация частотно-зависимого активного сопротивления невозможна, поэтому при выборе R i необходимо задаваться не­ которым значением соэ, и именно для этого значения соэ, как сле­ дует из условий записи уравнения (133), модель даст правиль­ ное амплитудное решение.

Очевидно, что значение соэ должно лежать в диапазоне ча­ стот, где влияние диссипативных характеристик существенней всего отражается на поведении исследуемой трубопроводной си­ стемы. Таким диапазоном частот является область резонанса. Тогда при известной первой частоте возмущающего воздействия величина сопротивления Ri будет находиться по выражению

R 1= r w 3L1a,

где г — номер гармонической составляющей возмущающего воздействия, вызывающей резонанс.

Если же в трубопроводной системе имеется резонанс более чем одной гармонической составляющей возмущающего воз­ действия, то амплитудное решение может быть найдено методом наложения резонансных колебаний от каждой гармоники возму­ щения. Такое наложение возможно при условии линейности уравнений, описывающих моделируемый трубопровод.

Выше отмечалось, что в трубопроводных системах кроме по­ терь на внутреннее сопротивление имеют место потери в опорах и креплениях. И хотя добротность Q материала, из которого вы­

ность трубопровода из-за наличия сосредоточенного трения в гра­ ничных условиях значительно ниже. В частности, в работе [17] указывается, что добротность трубопроводных систем близка к десяти. Следовательно, при электрическом моделировании тру­ бопроводных систем необходимо учесть потери в граничных усло­ виях. Запишем в общепринятом виде граничные условия для конца отрезка трубопровода, совершающего изгибные колебания

Для электрической модели система уравнений (137) будет иметь вид

59