книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов
.pdfТогда соотношения между операторами запишутся в виде
д = £ - 1 = £ v = £'0,58; у = 1 - £ “ 1 = Я _1Д= ^ _0,58;
8 = £ 0'5_ £ - 0'5= |
£ -° '5д = |
£-0’5У; |
Е ° ' \ г = 8Г; |
(. О) |
|
|
|
Г |
со- |
|
|
|
---' |
|
Д = 1 + Д; av = |
va = 8*; |
д г= ( Д - 1 ) г= ^ ( - 1 |
) “( ' у г~п. |
|
Как уже отмечалось, |
для нахождения электрической цепи,, |
|||
моделирующей уравнение |
(23) |
с достаточной |
точностью, необ |
|
ходимо найти разностное приближение этого уравнения. Вид приближения и его точность определяется способом отыскания высшей (в данном случае четвертой) производной интерполи руемой функции по пространственной координате. Найдем интер поляционные (разностные) формулы уравнения (23) различных порядков точности и сравним их между собой.
Выше отмечалось, что для составления разности порядка г не
обходимо /"+1 значение функции у(х) |
в |
узлах интерполяции. |
||
Следовательно, для разности четвертого |
порядка их ' понадо |
|||
бится пять. Запишем их с учетом выражения (30): |
|
|||
Е°у(х, t)\ Е1 у (л% t)\ Е2 у (х, |
t); |
Е~2{х, t)\ Е~2{х, t). |
(33> |
|
Для нахождения интерполяционных формул разложим функ |
||||
цию у{х, t) в узлах интерполяции |
(33) в |
ряд Тейлора с |
точ |
|
ностью до восьмого члена ряда. Ограничение тем или иным чис лом членов ряда разложения, или, как уже отмечалось, способ нахождения высшей производной по пространственной коорди нате, определит вид конечно-разностной, а следовательно, и элек трической схемы модели. Дальнейшее увеличение числа членов ряда разложения приведет к очень сложной схеме электрической модели, что нецелесообразно.
Запишем разложения функций (33) в ряд Тейлора |
в опера |
|||
торной форме |
|
|
|
|
Е ау{х, |
()=Е°, |
|
||
|
|
Я |
(34> |
|
~ Д ° + |
V |
- L (Дх о у , |
||
к |
|
(35). |
||
я ° + У |
^ ( 2длД),‘ |
|||
1-1 |
|
|
||
я |
, |
|
. (36> |
|
1-1 |
‘ ! |
|||
|
||||
30
R |
|
E - ^ £ o + V ± - { - 2 \ x D ) ' , |
(37) |
i =1
где D = —— оператор дифференцирования. dx
Для того чтобы выразить четвертую производную, сложим выражения (34) и (36), (35) и (37); после преобразований
.получим
4£i - 8 |
£ ° + 4 £ -1= -|j- (д*£>)2 + j j - (д*Ц)*+ |
|
|
+ А ( b x D f + ± ( b x D f , |
(38) |
F-i _ |
2Д0+ E > = ± (b x D f + -^ (Дx D f + |
|
|
+ |
(39) |
Вычитая равенства (38) и (39), выразим четвертую произ водную
Di ==— (Е -2- 4 Е~1+ 6До_4£1 _ц е *\ ^ ^ L o e~ — |
Da. (40) |
|||
4 |
1 |
' ' 6 |
80 |
V |
Перепишем выражение, входящее в систему соотношений для операторов (32) и умножая его на £-°'5г, получим
Г
Е о,5г V |
( - I f f г ) е г- “= Е - ° ' 5гаг = ЪГ. |
(41) |
А Л |
V и ) |
|
«=о |
|
|
Заметим, что сумма, стоящая в скобках в выражении (40), удов летворяет соотношению (41) при г=4. При этом выражение (40) 'будет иметь вид
Д>4 = — |
— — |
D<s— — Д>8. |
(42) |
Д.*4 |
6 |
80 |
J |
Для получения интерполяционных формул необходимо выра зить производные шестого и восьмого порядка в уравнении (42) через производные порядка не ниже четвертого. Выразим сна чала производную шестого порядка. Для этого сложим выраже ния (34) и (36), сумму продифференцируем четырежды по х. Тогда с учетом выражения (41) получим
D6 = -±r (DiE - 1- 2 D iE° + D^E1) ^ ^ . |
(43) |
31
Для того чтобы выразить производную восьмого порядка1,, продифференцируем выражение (42) четырежды по х и, учиты вая только первый член, запишем
0 , = р , Е ^ < = рт_ |
(44) |
|
Д х4 |
Дл'4 |
|
Наконец, подставляя выражение (43) для шестой и выраже ние (44) для восьмой производных в соотношение (42), получим* разностную формул^ для производной четвертого порядка, вхо дящей в уравнение, которое описывает нзгибные колебания пря мой трубы с учетом членов восьмого порядка малости относи тельно Ах
Di = —------ |
6- |
/Д82---- |
- D*84. |
(45) |
Дл-4 |
|
80 |
' |
В зависимости от учета членов того или иного порядка мало сти относительно Ах (или, как уже отмечалось, от способа отыскания высших производных по пространственной коорди нате) уравнение (45) может быть записано тремя различными способами:
|
|
/Д = — — для |
первого |
приближения, |
(46) |
/Д = |
5^ |
1 |
второго приближения, |
(47) |
|
----------- /ДВ2 — для |
|||||
|
Дл-4 |
6 |
|
|
|
D4= ^ ---- i-D 4S2 — |
/До4 — для |
третьего |
приближения. |
(48) |
|
Заметим, что выражения (46), (47) и (48) записаны в цент рально-разностном виде, так как оператор 6 в соответствии с вы ражениями (31) означает взятие центральной разности.
Для получения уравнений, интерполирующих уравнение (23), решим его совместно с уравнениями (46) —(48)
dfl E J ( x ) A x4 ’ ^ ;
d~V |
HO(•*) |
^4___ ]_ £)4g2. |
(50) |
||
dt- |
EJ (x ) |
Д х 4 |
6 |
|
|
|
|
||||
d-U Ho(x) _ |
S4 |
_ _L n jS2— — /Д84. |
(51) |
||
dfi |
EJ (x ) |
Да-4 |
6 |
80 |
|
Введем следующие обозначения: |
y(x, t) — ym; y { x ± |
дх, /)= |
|||
= Ут±В У(х ± 2 а х , t) = ym±2.
Тогда, учитывая выражения (31), получим интерполяционные формулы (49) и (51) в их окончательном виде:
М-Д d-y^i |
z (Ут -2 — ^ У т - 1 + ЬУт “ ^Ут +1 + У т + 2 ) |
(52) |
|
EJ (х) dt* |
|||
|
&ХЛ- |
|
|
EJ (х) dt- |
— (Ут-2 |
' ^Ут-1 + 5Ут-1 ~ |
4//ш+1 + 1/от+г)Х |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(53) |
|
|
|
Х д ^ + б |
E j\l)d t2 |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
r^T'b'ir |
с п м |
~йп |
[^ -2 — 9(t/m_x+ t/m+i) + |
j/m+a]. |
(54) |
|||||||
|
Дл“1 |
80 |
EJ (х) |
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
мы |
получим уравнения (52) — (54), являю |
||||||||||
щиеся приближениями уравнения |
(23). Следовательно, уравне- |
||||||||||||
|
I т-7,и |
|
|
5 |
<-m-o,s |
^/n+p.s |
<■т+1,5 |
|
Lm+i,s |
|
|||
|
|
|
|
|
U-m-t |
|
U-m |
tt/n+i |
|
U-m+г |
|
||
|
|
|
|
|
~4---UA/--f—'^KXJ---t---UUU--I— |
|
|
||||||
|
|
|
|
i-jn-г |
фт-1,5 i-m-i |
<Pm-o,S |
Ln ^Рт+в,5 |
Lm+1 <Pm+t,s ^m-n |
|
||||
Рис. |
12. |
Схема электрической модели изгибных колебаний |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
первого приближения |
|
|
|
|
|||
ния (52) — (54) с различной |
степенью точности |
описывают |
из- |
||||||||||
гибные колебания прямого отрезка трубопровода. |
|
|
|||||||||||
Теперь для построения электрической модели изгибных коле |
|||||||||||||
баний трубопровода |
необходимо синтезировать |
такие электри |
|||||||||||
ческие цепи, которые описывались |
бы уравнениями, аналогич |
||||||||||||
ными уравнениям (52), (53) и (54). |
|
|
однородные |
||||||||||
Для |
простоты |
анализа |
будем |
рассматривать |
|||||||||
трубы, т. е. трубы с равномерно распределенной массой и жест костью
ц,о (х) =цо = const; EJ (х) =EJ = const.
Трубопроводы с переменными по длине параметрами (не прерывное или плавное изменение диаметра) встречаются на практике значительно реже и их электрическое моделирование будет рассмотрено в дальнейшем.
Анализ уравнений (52), (53) и (54) показывает, что электри ческие схемы, описываемые подобными уравнениями, могут быть синтезированы при помощи пассивных элементов L и С и транс форматоров. Такие схемы изображены соответственно на рис. 12, 13 и 14. Покажем синтез электрической схемы на примере урав нения (52), которое моделируется цепью (см. рис. 12).
Для цепи (см. рис. 12) могут быть записаны следующие урав нения, связывающие токи и напряжения:
2 |
366 |
33 |
и т—1 |
и т+1 |
..э |
|
( 5 5 ) |
|
----— ® т -0 ,5 , |
|
||
|
*1 |
|
|
|
ср^|_о,5 — |
“ ^1 - |
|
(56) |
|
; |
; |
Л' |
2 . |
(57) |
^ т — 1.6 |
2,5 — |
° 1 . |
» |
|
|
|
а"С |
|
|
*w—1 |
hn—2_ |
|
|
(58) |
где и, ср°, г — потенциалы и токи соответственно в узлах и ветвях схемы, т — время, k\ — коэффициент трансформации, равный отношению числа витков верхней обмотки трансформатора к числу витков нижней обмотки.
кг |
L', кг |
Ь |
|
|
|
|
Ci jpnr |
|
Ci |
0~ |
^Z |
Lt |
Li |
t-l |
_ гчпп— |
—n n r \_ |
__nnn--- —nnrs____ |
||
Рис. 13. Схема электрической модели изгибных колебаний второго приближения
X , |
L3 С^ |
L3 |
L3 C & |
L3 C'3± , |
|
Рис. 14. |
Схема |
электрической |
модели изгибных колебании |
||
|
|
третьего приближения |
|
|
|
Уравнения |
(55) —(58) так же, как и |
уравнения |
(53), запи |
||
саны в центрально-разностной форме. |
Записав |
аналогичные |
|||
уравнения для пяти узлов цепи |
(см. рис. |
12) и решая совместно |
|||
относительно напряжений в верхней цепи электрической схемы, получим уравнение, связывающее вторую производную напряже
ния в узле т по времени с напряжениями в узлах т—2, |
т + 2 |
|
цепи: |
|
|
' |
— k-lLiC1 ^ — ит~2 — 4«,„-i -f 6ц,„ — 4дт+1 -)-ит+2. |
(59) |
Нетрудно заметить, что уравнения (53) и (59) совпадают по виду, из чего можно заключить, что цепь, изображенная на
34
рис. 12, действительно может моделировать уравнение (52), являющееся самым грубым приближением уравнения (23).
Аналогичным образом находим уравнения, описывающие колебания тока и напряжения в цепях, изображенных соответ ственно на рис. 13 и 14:
k\LiCJ 1— |
— |
— 4кт+1-|-ит+2)-|- |
(60)
- k \ L 3Cз |
d-U-m |
|
ctx2 |
—(ltm- 2 — 4U-m-i + 6llm— 4Um+1-f Um+2)-4-
( 6i )
~d& [ W m _ 2 _ ( 4 ~ ~Pi ) |
+ |
+ ^ + 2]’ |
где
L<) P2 = T:
Отметим, что уравнения (59) — (61) записаны для цепи с иде*-' альными элементами, т. е. без учета активных потерь в них. Об учете активных потерь в модели, диссипативных характери стиках реального трубопровода и их соответствии будет сказано в дальнейшем.
Таким |
образом, электрические цепи, |
изображенные |
на |
|
рис. 12—14, описываемые соответственно |
уравнениями |
(59) — |
||
(61), могут моделировать уравнение (23) с |
точностью, |
опреде |
||
ляемой степенью приближения уравнений (52) —(54) к |
уравне-; |
|||
нию (23). |
Теперь необходимо найти соответствие между |
вели-' |
||
чинами, входящими в уравнения (52) —(54) |
и (59) —(61). |
|
||
Найдем сначала соответствие между постоянными величи нами на примере модели первого приближения.
Условимся называть уравнение (52) первым приближением уравнения (23), а цепь (см. рис. 12) моделью первого прибли
жения; |
уравнение |
(53) — вторым приближением, цепь (см. |
|
рис. 13)— моделью |
второго |
приближения; уравнение (54) — |
|
третьим |
приближением, цепь |
(см. рис. 14)— моделью третьего |
|
приближения. |
|
|
|
Сравнивая уравнения (52) и (59), можно заметить, что произ
ведению EJ Дл4 соответствует произведение k\L1C1 |
. . |
ИЛИ |
|
x ^ C ^ k l |
(62) |
2* |
35 |
а |
|
|
Ал1 |
|
|
где величина роЛя имеет размерность массы;-------- размерность |
|||||
податливости. |
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
входящими |
|
Для того чтобы установить соответствие между |
|||||
в соотношение (62) величинами, |
введем постоянную величину, |
||||
характеризующую колебательные свойства |
прямой |
однородной |
|||
трубы. Эту величину будем |
называть волновой |
податливостью |
|||
и вычислять следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
ду |
сШ |
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
(63) |
|
QM |
|
|
||
|
|
|
|
||
Податливости Ум будет |
соответствовать |
некоторое электри |
|||
ческое сопротивление Z0, |
характеризующее |
распространение |
|||
волны напряжения в цепи |
(см. |
рис. 12). |
Соответствие между |
||
податливостью Ум и сопротивлением Z0 позволит установить со ответствие между электрическими и механическими величинами,
входящими в соотношение (62). |
Ум через параметры |
|||||
Для |
того чтобы |
раскрыть значение |
||||
трубы, представим решение уравнения (23) |
в общем виде |
|||||
|
|
у — exp (jwt) [ Ахехр ( — kx )-f- А2exp {kx)\ |
(64) |
|||
и запишем известные из теории упругости соотношения |
|
|||||
|
|
|
|
_d>y . |
|
(65) |
|
|
|
|
0 = - |
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
М = - E J д0_ |
|
( 66) |
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
Q = H ^ l f l dX- |
|
(67) |
|
|
|
|
о |
|
|
Подставляя |
выражение (64) в уравнения |
(65) —(67), |
получим |
|||
|
0 = |
£exp(yW) [ — Л!ехр( —kx)-\- Аг ехр (Але)]; |
(68) |
|||
— ==/'соАехр(уи^) [ —Лхехр( — kx)-\- Ачехр(&*:)]; |
(69) |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
^ |
= |
yu)exp (yW) [ Ахехр-( — kx) -f А2 exp {kx)\\ |
(70) |
|||
М = |
—kPEJ ехр(у'о)/) [Л1ехр { — kx)-\- A2exp(kx))\ |
(71) |
||||
Q = lLo “ |
exp(yW) [ — Axexp( — kx)-\- Аг exp {kx)\. |
(72) |
||||
|
|
k |
|
|
|
|
Выражение |
для |
податливости Ум получим после |
подста |
|||
новки выражений (68) — (72) в уравнение (63): |
|
|||||
|
|
|
|
Y |
|
(73) |
36
Для нахождения характеристического сопротивления Z0uemi (см. рис. 12), которое соответствует волновой податливости Ун, изобразим одно звено цепи (см. рис. 12) в виде шестиполюсника (рис. 15), нагруженного на такие сопротивления Zc, и Zc,, что входные сопротивления Zb<1 и ZBx2 по верхнему (Л) и нижнему (Д) входам соответственно равны ZCl и ZCj. Характеристиче ское сопротивление шестиполюсника, выраженное равенством
^0= 1/ |
(74) |
находим аналогично решению уравнения (63) для Уы.
/1 |
В |
Рис. 15. Эквивалентная схема
согласованного шестиполюс-
иика
Используя преобразование Нортона, можно записать:
К |
z c z A |
2 ( Z C ._ + z 3 ) + 2 Ci + Z |
|
^nxl = ^C ,= - |
(75) |
К |
'Z.Q |
Z~+ 2 |
{Zc'- + Za) + Zc +Zo |
|
C, |
Z^ IIVO— Z^ rГД— z^ Q
где
z„
УшэС i
(Z3 + ZCJ |
2 |
Zc Z, |
|
- 5- |
ZCi + z . |
|
|
|
ki |
(761 |
|
|
|
ZClZo |
|
Z b + z r . + |
-nr |
|
|
ZCl+ Z2 |
|
||
|
kl |
|
|
z.3 — J |
; kt= kx. |
|
|
Решим уравнения (75) и (76) относительно ZCl и ZCj и под ставим полученные решения в выражение для Zq. Тогда получим
|
2 |
7 |
|
|
|
/!K |
Z2_ / _ _ J ____\ |
|
|
|
т |
Zo |
1_____) |
|
Z0 = l/Z 2Z. |
~ + zT V1 + |
2z, |
(77) |
|
|
|
z *z ^ * |
||
|
4 + Z 3 Vl + Z c Z - 1 / a |
|
||
Предположим, что Z0= ] / Z 2Z3. Тогда из соотношения |
(77) |
|||
следует, что
37
1
1
|
|
= 1, |
|
|
1+ |
з 1 |
|
а это возможно лишь |
при ] / Z2Z3 = ]/Z c1Zc!- |
Следовательно, |
|
предположение верно, и |
|
|
|
Z Q= |
V Z ^ |
= V Z ^ v |
(78) |
Таким образом, мы предположили, что волновой податливости
(73) Ум соответствует сопротивление Z0 или |
|
|
1 |
(79) |
|
1 ^ 7 |
||
|
Сравнивая соотношения (62) и (79), получим систему соот ветствий между постоянными величинами, входящими в уравне
ния (52) и (59): |
|
|
дх|д.0—*Са; |
Дх-— |
(80) |
Правильность предположения (79) будет проверена после установления системы соответствий по переменным величинам.
Соотношения (80) определяют соответствие между постоян ными величинами: массой, податливостью, длиной участка тру бопровода н параметрами электрической модели: емкостью, ин дуктивностью и коэффициентом трансформации трансформа тора.
Электрическая модель первого порядка приближения |
(см. |
|||
рис. |
12) |
совпадает с |
электрической моделью McNeal’a |
(см. |
рис. |
9); |
электрическая |
модель второго порядка приближения |
|
совпадает с электрической моделью Russel’a [(19]. |
|
|||
Аналогично могут |
быть получены системы соответствия по |
|||
стоянных величин для моделей второго и третьего приближений;
для электрической |
модели третьего |
приближения соотношения |
|||||||
между постоянными величинами примут вид |
|
|
|
||||||
д |
Дх |
r |
1 |
А* 3 |
г ' |
Ax3(j.q |
п ' |
Дх- ’ k3. |
(81) |
ДХ[а0 —►С ,; ------ ------------------->Lз, |
----- ■—>С3 |
||||||||
го |
3 E I |
|
3 80 |
EJ |
|
6 |
|
|
|
Для электрической модели второго приближения система |
соот |
||||||||
ветствий выглядит как |
|
|
|
|
|
|
|||
|
ДХро |
С2, |
Ах |
L2> |
Ах3 |
|
дх |
^2* |
(82) |
|
|
6 EJ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем теперь соответствие между переменными величи нами, входящими в уравнения (52) и (55) — (58). Очевидно, это
38
соответствие будет справедливо и для моделей второго и треть его приближения. Для этого уравнение (52) представим в виде системы уравнений, по-прежнему полагая, что масса единицы длины трубопровода и жесткость не зависят от х, т. е. труба однородна:
|
|
Угп—1 Ут~~2 |
lm—1,5’ |
|
|
(83) |
||||
|
|
|
Ах |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-0,5 |
|
1,5 |
|
^т—1 |
|
|
(84) |
|
|
|
|
Ах |
|
|
EJ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
№ т- 1 |
|
Мт—2 — О |
|
|
(85) |
||||
|
|
|
Ах |
|
|
Vm—1,5> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qm—1.5 |
|
Qm—2,5 |
1А0 d2ym- 2 |
|
( 8 6 ) |
||||
|
|
Ах |
|
|
|
dt- |
|
|
|
|
В системе |
уравнений |
(83) — (86) |
величины с индексами т; |
|||||||
т—1 и т. д. соответствуют |
|
точкам разбиения /п; |
т—1 и т. д., |
|||||||
величины с индексами т—0,5 и /п+ 0,5 относятся |
к серединам |
|||||||||
участков разбиения |
согласно |
центрально-разностной |
схеме |
|||||||
интерполяции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для установления |
системы соответствий продифференцируем |
|||||||||
уравнения (83) и (84) по t |
и получим следующую систему урав |
|||||||||
нений: |
dyт— 1 |
|
dу,;1—2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
__rfO„ . _ | i5 |
|
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
(87) |
||
|
|
|
Ах |
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d^m —0,5 |
|
d 0m— | t5 |
A x |
d/\'Inl—] |
t |
( 88) |
|||
|
|
dt |
|
|
dt |
~ |
EJ |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
d d-a- |
|
|
|
|
Qm—1,5 |
Qm—2.5— |
|
___ dt_ |
|
|
(89) |
|||
|
|
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мщ—1 |
M/t |
|
|
|
|
(90) |
|||
|
|
|
Ax |
'—Qm—1.! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая уравнения |
(55) — (58) |
и (87) —(90), |
запишем со |
|||||||
ответствие между входящими в них переменными |
|
|
||||||||
У„ |
®т—0 5 " |
—0,5 > |
|
Qm-0.1 |
’ 1nt П |
(91) |
||||
|
|
|
|
т—0.5- |
||||||
Выше было сделано предположение, что величине |
1 |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (XgEJ |
|
соответствует |
характеристическое |
сопротивление |
. |
Про |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
г г |
|
верим это предположение. Для этого заменим в выражении (63) механические величины электрическими по системе соответствий
39