книги из ГПНТБ / Подсолонко, В. А. Технико-экономическая информация в управлении металлургическим предприятием

1 2 ,а ) . Нам уже известно, что вектор

полного ускорения W

направлен всегда во внутрь кривизны

траектории. В соответ­

сы на ускорение,

т .е .

произведению скаляра

( т )

на

вектор

( W ) .Следовательно,

произведение

т на V / даст

вектор силы

F , направленный всегда по ускорению. Спроектируем вектор­

ное

ранено тво

F =

т V /

(2-й закон Ньютона)

на

оси координат.

Вспомним, при этом, что

проекции

ускорения

на

оси х,

у и

2

равны

вторым производным

от соответствующих

координат

движущейся

точки

по времени,

т .е .

W x

/'

W y =

^ i

;

Щ =-~rS:

Следовательно,

получим:

=z

dV-

- X ;

ott£1-у ’ т

с /гг

т с/2Л _

т Ъ гг У

;

движения.

_

Здесь X

- проекция

F

на

ось

X;

У -

проекция

F

на

ось

У;

Z -

проекция

F

на

ось ъ .

1-я

основная задача

динамики

Первая основная задача динамики формулируется следующим

образом:

даны

кинематические

уравнения движения

точ/.и, т .е .

*=

x(t)

;

У = Ш

;

z = z ( t )

,

дана масса точки

т . Требуется

определить

силу

F вызывающую

Итак, дано: Х= x ( t ) ; У = у [ ^ ) ; Z

X ) } Fn -

jy p

/' J r ^

и

.

Подставив в дифференциаль­

ные уравнения массу

t n ~ $

и найденные проекции уско­

рения на оси координат,определим

проекции

искомой силы на

оси координат, т .е .

X , У ,

X

.

По проекциям найдем

модуль

искомой силы:

дана сила

действующая на точку (в проекциях на оси координат

т .е . X,

У и Z ), дана масса

точки

т ; найти кинематичес­

кое уравнение движения, т .е .

X = X ( t )

-7 у = у ! £ ) ?

& = ? ( £ ) ?

оис.12,в.

Запишем дифференциальные уравнения движения

Для того,

чтобы получить искомые кинематические уравнения

твижения,

выражающие координаты движущейся точки

X , у и Z

ные уравнения движения.

В результате интегрирования и будут

получены уравнения, вида

X =

X ( t ,

Ct . . .

С(, )

У =

У ( t ,

С, ■■■

Сб)

z = г ( t , С, . ■ •

Сь)

здесь

C j ................. Cg - шесть произвольных постоянных

ин­

тегральных, а

для того,

чтобы их определить

необходимо

знать

(задать)

начальные

условия движения.

В самом

деле,

ном направлении, для того чтобы узнать какова будет

даль­

ность

броска,

за сколько времени он долетит до желаемого

места

и т .д . мы должны знать с какой начальной скоростью он

начал лететь,

из каной точки он выброшен и т .д . Другими

словами, для

изучения всякого движения необходимо

знать

ные координаты точки и начальная

скорость

в проекциях

на

оси координат т .е .

при "t = 0

> А = Ло ; У =

У0

} Z. =

Z 0 ,

В процессе

интегрирования дифференциальных уравнений

получим

шесть уравнений вида:

• •

,

Ко =

Хо ( О, C1tCz

•Се)

Vo -

Vo (0,C-t,Cz

•

Се)

ZDZo ( О,С, ,CZ - •

Се )

f f c - f '

(

о .

С ,

А А )

& ■ =

f '

( о , с , , с г А

)

У = У ( t

,C i - • •Сб)

= ? ( t

, Ci

.Се )

получим искомые кинематические

уравнения движения, т .е .

x = x(t ) ;

; z = z ( t j .

Рассмотрим в

качестве

примера решение задачи

о

полете

материальной точки весом

Р брошенной

под углом

к горизонту

оС

с начальной скоростью

Vo (рис.1 3 ,а ) .

В момент времени

i = o

X = Хо = О ;

У = У0 -

О ;

~ДЪ~УоСо%А ■]^у = ^

=

l^S'mU.

Это начальные условия движения.

Так

как движение в

одной плоскости, то

запишем два

дифферен­

циальных уравнения:

Р ^ X _ л

( т .к . проекция силы Р на ось X равна1 нулю)

н °

следовательно

d

l l

= 0

;

d

t 2-

\ d f g _

или

с/х -

Г .

J

d t

из начальных условий d ^ ~ V 0 Coid = С,

;

следовательно

С ,=

VoCob<X

-

Vo Cosd.

интегрируя второй раз

= VoCoiU f c / t

получим:

X = УоЬО>и + Сz

, но в момент времени

t

= 0

х = Хо= 0

следовательно С2 = 0 и

Х=

Vot C

o

S

(искомое уравнение движения)

Решаем теперь

дифференциальное

уравнение

движения для оси у.

£

d l l

- Р

ИЛИ

% Я *

1

-

при

t - 0

- С-ъ

/

do

=

\/о £'/nd

следовательно

=

— д р

+

IP Sin 1

;

интегрируя

второй раз получим У= —^ -t- Vo t 3/nd -f-

но при t - o

у = У0 ~ О

следовательно С^ = 0 и

полета

2 Vo CoSct -tgcL

]/У Sib 2 d

х

‘

J

=

9

Vo

максимум

X

будет

при

оС =

^50

т .е .

Хтах

2

Л Е К Ц И Я

1 5

•

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА. НОРМАЛЬНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ СИЛЫ ИНЕРЦИИ

Допустим точка двинется по траектории

(рис .13,6) ряда

сил в том числе и реакций связей.

Примечание.

Силы действующие на

свободную

точку

бывают

двух видов I) активные силы

и 2) силы реакций

связей (или пассивные). Все силы, не являющиеся

активными будут реакциями связей.

Сложим все силы действующие

на

точку

как сходящиеся и

получим

их равнодействующую R.

Приложим мысленно противоположно силе R

силу -7=-R =- т W

Тогда система сил

( J , Я ) будет

эквивалентной нулю т .е .

уравновешенной.- Но R эквивалентна системе ( F, Р2 . ■■Fn ) t

тогда ъ

( 3

F, Fz

. . . Fh

) эквивалентна нулю т .е .

уравновешена.

Принцип Даламбера позволяет решать

задачи динамики

с

помощью условий равновесия статики,

т .е .

находить реакции

связей при движении, динамические реакции.

Примечание: сила

инерции

О

(иногда

ее

называют сила Далам­

бера

или фиктивная сила)

всегда направлена в

сторону обратную ускорению. Модуль силы инерции

равен произведению массы на ускорение.

При решении задач с

помощью принципа Даламбера

посту­

пают следующим образом:

1. Освобождают точку от связей

и вводят

реакции;

2. Прикладывают к точке силу инерции

3

в сторону

обратную

ускорению.

3. Составляют условия равновесия статики для сходящихся сил

и определяют из них искомые величины.

Касательная и нормальная силы инерции

Точка движется по кривой. Проведем касательную и нор­

маль и направим по ним касательное и

нормальное ускорения

т .е .К '* И И/„(рис .1 3 ,в ) .

oiV

Приложим к точке силу инерции и разложим ее также по каса­

тельной и нормали в виде

7 t

и

Jn

Примечание. При решении практических задач удобнее пользо­

Вычисление

модули составляющих силы инерции: кастальной

и

нормальной.

Из рис.13,в

видно, что

2а. = 222? и % = 7

=

tn W-Ш - rn Wn

У W

W

W

итак On = т Wn

конспекта

авторы не сочли возможным вводить в конспект раз­

бор задач.

Л Е К Ц И Я

1 6

о сопротивлении материалов. Первые исследования в

области

прочности были проведены Галилеем. Основные гипотезы

были

ном, Коши, Лямэ,

Эйлером и другими.

В конце

19 и начале 20 веков мировую известность

приобретают работы

русских ученых Д.И.Журавского, Х.С.Голови­

на, Ф.С.Ясинского,

И.Г.Бубнова, В.Л.Кррпичева, А.Н.Крылова и

других.

приложенных

к ним внешних сил (нагрузок). Для этого

детали

должны быть

сделаны из подходящего материала и иметь

необ­

силами или силами упругости. А свойство

тел устранять

дефор­

мацию, вызванную внешними силами, после

прекращения

их