книги из ГПНТБ / Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности

Тогда

d®

\

(1-53)

dz

/г=1

лх

но, согласно (1-50), (d®/dz)z=i = У и (®L)

и, следовательно,

выра­

жение для определения константы Сх будет

Сх =

M (0L)]2

[ß (0 L)]2- D ( 0 L),

(1-54)

где

А (®L) = CjjThL (ѲІ -

0o)Ax;

ß (0L) = 1 + аѲ І;

D (0i) = — c®l— 2d®L +

— ac0®— — ad®t .

(1-55)

5

4

2

С другой стороны, по условию (1-45)

f

d®

\

_

qL

___-

(1-56)

\

d 2

/2=0

^

а из (1-50) (d®ldz)z=0 =

]/«• (0H)

и, следовательно,

C1 = ? [ ß ( 0 H)]2 - D ( 0 H).

(1-57)

Здесь ß (0 H); jD(Ѳн)

находятся по (1-55).

после

Приравнивая (1-54)

и (1-57)

и учитывая, что 0 Н= 1,

МЯ| — 2NK2— К = 0,

(1-58)

откуда

" [1 + / т + ш т ) _

(1_б9)

В выражении (1-59) сохранен знак «плюс», ибо Яа>

0. Значения

Л4, А/, ТС определяются выражениями

м = 4

[ і - 0 і _ 5 ^ + ѳ а д +

2 /Тіб

/тг!

+

С" ' н (ѳ * _ 04о) _

4

К

К Т І

N

-3і

СпТ„Р

ГД4

= 26спТ„

[Ѳо(1 — ѲІ) — (1 — ©I)] + 2

2 rpQ

КТІ

/(q4

- 2

сп Xн

Яі

- (02— Ѳо) ѲІ I ;

К = 16 62с27?

2 лпб

- ^ - + 0 1

" " ■(®1 — ©о)

7ХТ2

^

2*

19

dQ = “ ПР р 1Т2(X) — Г0] dx,

(1-60)

откуда, приравняв (1-41) и (1-60), получим

Т2(х) =

к Л

Т1( х ) + ~ ^ Tt

(1-61)

а,Пр (Ѵб)

к

Тогда уравнение (1-40) с учетом (1-61) принимает вид

d*T1(x)

аПГ)Р

XJÖ

dx2

“ пр Р

[ Т г ( х ) - Т 0],

(1-62)

У 7 а,'пр + (Уб)

решение которого ищем в виде

Тг (х) — Т0 = СХexp (tnx) + С2ехр (— тх).

Из граничных условий

' X = 0:

Т = Тн]

X = L :

dT1(а-)

— aL (ТL Т0)

— ^

dx

x=L

m =

Д пр P ^ 2

n = а.

Р (“ пр б + У

(1-64)

K F (“ пр б + у

^ 1^ 2 “ пр Р

Известно, что распределение

температуры вдоль

поверх­

ности экрана существенно зависит

от геометрических

форм

сосуда а материала, меняя которые

можно в широких преде­

лах регулировать температу­

ру в точке В, а следователь­

но, и тепловой поток на экс­

периментальный образец.

Для нахождения закона

распределения температуры

вдоль поверхности экрана в

Гн?

— не'

|

ю

зависимости от размеров со-

суда используем расчетную

схему (рпс. 7). Исходя из

V

простых геометрических со-

М

отношений

(da — d—26;

dH— d-f26>;

L3 = L—6; Ly,= L+ 5), не­

трудно

показать,

что поверхности

соответствующих экранов

будут равны

я п (1 — n') L2 (4 + п — 3п'п);

F —

япЬ2 (4 +

/г);

FИ

яп (1 + n') LF

(4 +

/г +

3п'п),

4

где п = d/L и n' = 28/d. Если /г <Д 1

и п' <

1, то имеем FJFtsz

~ 1 -

n', F/Fa«

1/(1 +

n') ~

1 -

n'.

рис. 7)

Полагаем,

что температура

наружного экрана 1 (см.

постоянна и равна температуре окружающей

среды Тп,

темпе­

пературе жидкого

гелия Тв, а

температура азотного экрана 2

в точке С (рис. 6)

равна температуре

жидкого азота Т0. Тогда

тепловой поток от

наружного

экрана

к среднему в сечении х

dQ =

( — Xnd81 ■——) dx, где бх — толщина стенки.

dx

V

dx J

Приведенные коэффициенты излучения, считая излучение диф­

фузным [32],

определим как [29]

X

X

a

3

2 5 T3L T3 'ta

1

.

/ /

/

1 ■ <*>

1

'

3

'

L

1 2

»

Рис. 7. Расчетная схема:

/—внешний экран, 2—азотный экран, 3—гелиевый сосуд

св

—

- M l - » ' )

ев

Здесь и далее параметры без подстрочного

индекса относим к

азотному (среднему) экрану.

Поскольку по закону сохранения энергии

dQ2— dQx = dQ,

то после несложных преобразований получаем

d2T

СнТн + СвТв

I

сн “Нсв

q'i

/1

CK-j

~ №

Г ---------- щ ------ +

~ Т б г

(

}

Аналогичным образом для теплообмена

между

донышками

ста­

канов получаем

d2T

1

dT __

сн^н +

свТ в

сн + св грі

м

gc\

~d^~ + T

+

(

}

Уравнения (1-65) и (1-66)

должны

решаться

совместно

при граничных условиях:

Т = Т п,

* = 0 :

г = 0:

dT =

0

(1-67)

и условиях совместности:

dr

d

Т (L) ~ Т

dT

dT

( 1- 68)

dx

dr

Q = cF (7І -

7І)«

aF{Tx -

Т2),

где а =

с (7\ -|- Тг) (Т? +

Т%) =

с-Ь (Т„

Т2).

При

достаточно малой

разности

Т, — Т2

можно

считать

Ь (Тѵ Т„) =

const.

Тогда запишем

d2T

= _ аиТп 4- «вТд

а„ +

«в

т

dx-

18,

'

Я6Х

_ ^ L + _L dT -

“ н^н + ^ Б ■ а н + кв Г

dr2

г

dr

Я6Х

'

или, введя обозначения

А

аиТ п -I" ашТв

В =

а»

К8,

будем иметь

Л,бх

d2T

= — A + ВТ,

(1-69)

dx2.

d2T

dT

= — A + BT.

(1-70)

dr2

' ' dr

Здесь a H=

cud(Tn, T0)\

a B= cRb (T0,

Тв).

Уравнения

(1-69) и

(1-70) подстановкой y = T — А/В приводим

к виду

у І - В Уі = 0,

(1-71)

УІ +

—

у'о—

Byг= о,

(1-72)

г

решения которых [23, 24] .отыскиваем в виде

Уг =

ch (x]/ß) + C2sh (x i ß ) ,

y2=

C,/0 (/■Y B ) +

CJ<0(/•, ß),

где / 0 (z)

и /С0 (z) — модифицированные функции Бесселя первого

и второго

рода нулевого

порядка, или окончательно

Т (х) =

Схch (д' У В) -г С2 sh (X ]/ß ) + —

(1-73)

(О < x < L ) ,

В

7, ( 0 = C 8/0(rV ^) +

C4/Co(rKß)+ "I"

(1-74)

( 0 < r < d / 2 ) .

Постоянные интегрирования Сх — С4

находим из

граничных

условий, имея в виду,

что [24]

/ 0 (0) =

1;

/С0 (г) = с»;

l'0(г) = / 4(г);

2 -+- оо

Ко (г) = Кі (г);

Іх(0) = 0;

Кг (г) = оо.

Тогда получаем

2 -ѵО

а

С — Т —

•

(1-75)

ß

L l ~

0

’

) ch (L ]/ß ) -

/ 01

1/ß) sh (L / 5 )

; (1-76)

( т

1ch (L / ß ) — / x 1 у

j / ß j sh (L / ß )

Г —

Q c h ^ l/ß J + Q s h ^ l/ß )

(1-77)

из

M

i * " 5)

c 4 =

o.

П-78)

АТ = Т { В ) - Т (С) = ( с з + А - ) - 7V

^ (1-79)

d2T

J _

_dT_

(T4 — 7І) = 0

(1-80)

dr2

'

г

’ dr

U

или, полагая Т0<

Т и обозначая

А — 2спДб,

+

1

dT

(1-81)

—

. —

------ЛГ4 = 0.

dr2

г

dr

Граничные условия будут:

В

и

Q -

Х2ягвб |-

dT

\

(1-82)

dr

)г

'в

т = т ■

-

( Z

1

= 0 .

(1-83)

Переходя к безразмерным параметрам по соотношениям . Ѳ =

= Т/Тя и X = х/гя

(х = гя — г), получаем

гі2Ѳ

___ 1_

è Ѳ

— A T l r l t f

= 0

(1-84)

dx2

X —

1

dx

или при у = X :

А . где А =

АТ\гІ ,

d20

_1_

d&

— Ѳ4 =

0.

(1-85)

dy2

y — b

dy

Здесь и далее b = "YА ■ Тогда граничные условия

в новых пе­

ременных будут:

г = гя: у =; О, .Ѳ (0) = 1 и 0'(0) =

0;

(1-86)

У=(1—/-в) Ѵі, =

и Ѳ„ ==

Q

(1-87)

Ѳ^ \(уУ)) —= “а00+1 ^ауу1 У

+т “а.22уІ/- -jI - “aztf3 L

+.

( 1-88)

■/3

I

Тогда

Оі -I- 2а,у +

3а3у3 +

. . . ,

(1-89)

Ѳ' (У) =

Ѳ" (у) = 2а, + 6а3у + 12а4у2+ ...

(1-90)

И поскольку Ѳ(у) = ^

аьук,

то, согласно

[30],

к -0

[Ѳ (у)]4 = с0-f суу -I- с2у2 + . . .

(1-91)

Откуда, использовав условия

(1-86),

получим

а0 = 1;

ах — 0;

с0 = а4 = 1.

Тогда будем иметь

2сі,у -j- 6а3у2-f- 12а4у3

2a,b — 6афу — 12алЬу2— . . . ~|

-г aL-f 2а,у -f 3о3у2

4а4у3

■У — сіУ

— соУ — • •

• -і-

сфу +

ф /

-j- сфі/ + . . . =

0,

(1-92)

а1-\- b — 2а,Ь = 0;

4а2 — 6аф — 1 -]- cjj = 0;

9а,

12а4Ь — c1Jr c,b =

0;

k?ak— k ( k — \) а,1+1 b — с,,_2 +

ск_хЬ =

0.

Вычисляя коэффициенты ск и ак,

получаем следующую по­

следовательность:

1

1

3 + №

а0 = 1; ах = 0; а,

; а, =

— ; а, =

------

-----------;

2

3! b

41 й2

12 +

8b2

flB=

60 +

36b2 — 12b3 +

64b4

a. = ------------- ;

6! b4

5! b3

и T.

Д.

Нетрудно заметить,

что числитель каждого

из

коэффи­

циентов, начиная с ав,

представляет

собой

некоторый полином

от b

степени

(k — 2),

так

что

ak — zh!k\

b/i-2,

где zh = Ba —

— Bjb + Вф3— B3b3+ . . . -|- Bb_„ bk~3,

при

этом

Вг =

0;

В0 =

= {k-\)M 2 .

Подставим полученные значения коэффициентов в. (1-88), тогда

решение примет вид

® (£/) =

1

1

4Ь2

і/

+

12 + 8b2

•••

Н - i - t f

-I- -т—У3 +

24Ь2

У6 +

2

6Ь

120 Ь3

L {k -

1)! +

В2Ь2-

В3Ь3+

. . . +

Bh_2 bk~3

•

•

•

+

k\ bk 2

(1-93)

или,

поскольку

у = xb — (1— г) V~Ä,

то

Ѳ(г) = 1 + - ^ - ( 1- г )2

( 1 - г ) 3

Л (3 +

4 А)

( 1 - г ) 4 +

+ ■

24

•

— (Ä— 1)!+ В 2Л —В3А

,4 + . . .

+

+

k\

(1- г ) * + . . .

(1-94)

_ Поскольку обычно в

интересующих

нас

случаях

[21, 25J

А +[ 1,

то, пренебрегая по малости всеми членами

при Ап,

когда

/і >

1,

выражение (1-94)

можно переписать как

Ѳ (Г)«1 +

А

(1 - Г )« +

А

( І _

г)* +

^ _

(1_ г)4.

+ . . .

+

А

(1 - r f A

- . . .

(1-95)

или

2k

Ѳ (г) я= 1 +

у ,

(1- г ) *

А

А

2 + +

(1 -г) + Х (1 - О 2

/і=і