книги из ГПНТБ / Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности

Тогда, используя условие (1-10), после несложных преобразова­ ний будем иметь

Поскольку в этом случае справедливо утверждение (1-3), то из (1-13) с учетом условий (1-3) и (1-9) получим

Данное выражение можно использовать для эксперименталь­ ного определения коэффициента теплопроводности Ль если известен коэффициент лучеиспускания сп. Однако наиболее целесообразно таким образом определять коэффициент сп, если Xi определен каким-либо другим методом. При этом вы­ ражение (1-17) следует решить относительно сп« с і (сог^ссц).

Если предположить, что излучение через торец пренебре­ жимо мало по сравнению с потоком через боковую поверх­ ность (7'j,ä ;7'o), то соответственно получим:

X ^ Q V c J P ^ - T t T n )

и

Приближенный закон распределения температуры вдоль поверхности стержня (вдоль его оси)' можно найти по (1-1) либо (1-2), если, согласно [1], линеаризуем (1-8) и предста­ вим его в виде [3]

где апр = сп (Тп + Т0) (ТІ + То).

9

Для нахождения истинного закона распределения темпе­ ратуры воспользуемся методом неопределенных коэффициен­ тов, т. е. будем искать решение уравнения ( 1-8) в виде степен­ ного ряда. Для этого предварительно с помощью замены пере­

при г = О Ѳ (0) = 1 и Ѳ' (0) = 0.

Равенство нулю первой производной на конце стержня соот­ ветствует условию отсутствия теплообмена на торце. Последнее может быть при условии TL = T0 или со4 = PL > F, т. е. Г /Р « L, и, следовательно, теплообменом с торца практически мож­ но пренебречь в сравнении с теплообменом с боковой поверхно­

сти.

В соответствии с принятым условием ищем решение (1-18) в виде ряда

ГО

чит, аъ= 0.

Последовательное вычисление коэффициентов Си и й;г при­

п

а вместо (1-27), (1-29) и (І-30) соответственно будем иметь:

Здесь и далее B = cnPL2/XiF — комплексный параметр, оце­ нивающий геометрию образца и теплофизические свойства материала и имеющий размерность град~3. При В —0 имеем сверхпроводник, при 5 = о о — сверхизолятор.

В обычных условиях параметр В по порядку величи­ ны равен ІО-5—ІО-8 град~3,

кривой вдоль образца показан на рис. 3. Порядок расчета мо­ жет выглядеть следующим образом. По известным размерам

13

Тн, найдем TL, а затем по (1-27'), (1-29') или (1-30') рассчиты­ ваем распределение температуры.

Полученный результат позволяет оценить суммарную из­ лучательную способность стержня. Действительно, поскольку по условиям задачи все тепло, поступившее в образец через начальное (х=0) сечение, излучается с боковой поверхности, то

Pnc. 2. Зависимость Гн от TL при различных В:

і —0 і 2—2 •ІО"* . 3—ІО"7, 4—2 ■ IO’ 7,- 5—2 -ІО- ®град'3 ; сплошная ли­ ния— Ѳ 0=0, штриховая — 0,75

Дифференцируя зависимости (1-27'), (1-29') и (1-30'), получаем

14

Подставляя, например, (1-36) в (1-33) и учитывая, что при А = ВТ\ < 1 sh 4 V ä п о порядку очень мал и близок к нулю,

Рис. 3. Распределение температуры j qq

Построив по выражению (1-32) зависимость TB = f(B) (рис.

Приближенное значение В можно получить и непосредст­ венно из (1-32), если ограничиться первыми двумя членами. Тогда

15

§ 2. Теплопроводность двухслойного (с покрытием) тонкого излучающего стержня

В инженерной п строительной практике все чаще применя­ ются конструкции со всевозможными изолирующими покры­ тиями, например на основе полимеров и полимерных пленок. В связи с этим актуальной является задача теплопроводно­ сти такого рода систем. Очень важно исследовать тепломассоперенос в процессе нанесения таких покрытий, например, экст­ рузионным методом из расплава, что требует расчета темпе­ ратурных полей в материале конструкции и покрытии, которые оказывают существенное влияние на характер фор­ мирования полимерного покрытия, его свойства и адгезион­ ную способность.

Рассмотрим задачу распространения тепла в системе из тонкого длинного стержня, покрытого слоем материала с ма­ лой теплопроводностью при наличии теплообмена с боковой поверхности и источника постоянной тепловой мощности на ограничивающем торце. Таким образом, от источника в стер­ жень в единицу времени поступает некоторое количество теп­ ла Q, которое передается теплопроводностью вдоль стержня и отводится через боковую поверхность теплообменом.

Как и в § 1. рассматриваем стационарный режим. При этом считаем, что покрытие имеет достаточно малую толщину и весьма низкую (по сравнению с материалом стержня) тепло­ проводность. Это позволяет в первом приближении не учиты­ вать теплопроводность вдоль поверхности стержня по мате­ риалу покрытия и рассматривать его как распределенное тепловое сопротивление. Таким образом, тепло в рассматри­ ваемой системе передается теплопроводностью вдоль материа­ ла стержня, теплопроводностью по радиусу покрытия и отдает­ ся в окружающую среду теплообменом с боковой поверхности.

Итак, рассмотрим систему (рис. 5), состоящую из тонкого длинного стержня радиусом г\ и длиной L, соединенного од­ ним концом с источником тепла мощностью Q, и покрытия

Рис. 5, Схема двухслойного стержня:

У—полимерное покрытие, 2—металлический стержень

Гб

или с учетом обратных подстановок

(1-50)

Следовательно, распределение температуры в поверхностном слое получим в виде, аналогичном (1-12):

(1-51)

Как видим, и в этом случае закон распределения темпера­ туры в явном виде найти не удается (следует заметить, что при 6->-0 формула (1-51) асимптотически переходит в (1-12)). Однако, поступая подобно предыдущему, так же оказывается

18