книги из ГПНТБ / Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности
.pdfВесьма важной особенностью полученных решений является их общность с широко используемыми в практике функциями Бесселя, поскольку при р = 1 и т = 1 коэффициенты (2-35) ряда (2-34) обращаются в коэффициенты функций Бесселя нулевого
порядка, а сами обобщенные функции /о " (г), /о" (z) — в соответ ствующие функции Бесселя.
Как сами функции, так и их производные (см. рис. 8, 9), в интервале изменения г от 0 до 1 непрерывны и монотонны.
Рис. 10. Зависимость J™ — а и |
— б |
от т при различных г: |
/ —1,0, 2—0,9, |
3—0,8, |
4—0,7 |
Кроме того, с узеличением числа т при фиксированном z\ зна
чения функций возрастают, т. |
е. |
I0(z1) < I o2 (zj < |
/о ( z . X l t (zj, |
J0(Zl) < Jl (Zl) < |
Jo (Z,) < Jo (Zt). |
Такое же соотношение справедливо и для производных. При чем до значений z порядка 0,3 различие между обычными (т= 1) и обобщенными ( m ^ 2) функциями сравнительно не
велико.
Характер зависимости обобщенных функций Бесселя от пг (рис. 10) дает основание полагать, что решения обобщенного уравнения Бесселя нулевого порядка (2-7) (и даже уравнения Эмдена — Фаулера (2-33)) непрерывны по т при 0=£7/п=^:4. При наличии рассчитанных значений обобщенных функций в точках целого т можно достаточно точно оценить поведение решений и для нецелого пг, что в.еще большей степени расши ряет область инженерных приложений обобщенных функций Бесселя нулевого порядка.
-1. Зак. 1208 |
49 |
§2. Приближенное аналитическое представление решений
внекоторых частных случаях значений аргумента
иправой части уравнения
Вычислив последовательно коэффициенты (2-20) рядов; (2-19) и (2-21), выражения для обобщенных функции получим в виде [25]
Jo (г) = 1 |
V2 |
I |
т |
I z |
\ 4 |
m(3m—2) |
/ г |
|
|
21 |
|
(2!)2У3 |
VІ Т2 |
І) |
|
(ЗШ!)22 |
І Т |
|
|
|
|
|
|
||||||
j_ |
m (18m2 —29m+ 12) |
I _z_ \s_ |
|
|
|||||
|
|
|
(4!)2 |
|
|
I |
2 j |
|
|
m (l80ms — 487m2 + 452m—144) / z u ° |
|
(3-1) |
|||||||
|
|
(51)2 |
|
|
|
VT |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
/0' (z) = 1 + |
|
|
m |
|
|
m (3m—2) |
/ г |
|
|
2 j |
' |
(2!)2 |
\ 2 |
J ' |
|
(3!)2 |
+ |
+ |
|
|
|
||||||||
|
in (18/n2 — 29m + 12) |
I |
z ' 8 |
|
|
||||
|
|
|
(4!)2 |
|
|
\ |
2 |
|
|
m (180m3 —487m2 + 452m —144) |
/+ _ '10 |
|
(3-2) |
||||||
|
|
(5!)2 |
|
|
|
[ 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогичный вид принимает и решение уравнения (2-6), когда |
|||||||||
в правой части ) (х) = |
b0 = const [26]: |
|
|
|
|
||||
и± (х, т, Ь0) = |
1 + |
(1 -г Ь0) I — j + |
т(1+Ь0) |
|
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(2!)2 |
|
|
m (1 + b0) [т + 2 (m— 1) (1 + £0)] |
|
|
|||||||
|
|
|
(З!)2 |
|
|
|
\ 2 ) |
|
|
т(1 + Ьй) [т 2+ 11т ( т —1) (1+ Ь0) + 6 (т —1) (т —-2)(1+Ь0)2] ѵ |
|||||||||
^ |
|
|
(4!)2 |
|
|
|
|
|
х Ш ‘ т -
Здесь и+ (х, т, Ь0) является решением уравнения
d U |
1 |
1 |
|
du |
1 ,,m |
_ h |
ах2 |
1 |
X |
• |
ах |
г и |
wo> |
а а_ (х, т, Ь0) — решением уравнения |
|
|
||||
d2u , |
|
1 |
|
du |
"П1_h |
|
\ |
|
X |
|
dx |
U |
- (/л. |
dx2 |
|
|
|
|
(3-3)
(3-4)
(3-5)
50
Несложные расчеты показывают, что обобщенную функцию
Jо" (г) |
при г < 1 и т < 4 можно приближенно вычислять, исполь |
|||
зуя первые четыре члена соответствующего бесконечного сте |
||||
пенного ряда (3-1). |
Оценка погрешностей такой |
аппроксимации |
||
приведена в табл. |
Л. |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
А |
|
|
|
Z |
|
|
in |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
|
||||
4 |
<0,006 |
<0,001 |
<0,0001 |
<0,00301 |
3 |
<0,002 |
<0,0004 |
<0,00004 |
<0,00001 |
2 |
<0,0004 |
„0,00007 |
<0,00001 |
<0,00001 |
Далее с ошибкой не более 0,002 |
при |
т О 4 |
и |й0| -< |
||
-С 0,1 ряд (3-3) аппроксимируется выражениями |
|
||||
«+ (х, |
т, |
Ь0) л? Jo (х) — Ь0 [Jöl(х) — і] , |
(3-6) |
||
ІХ, |
т, |
Ь0) « /от (*) -і- Ь0 [ /5* (X) - 1 ] . |
(3-7) |
||
Кроме того, при Xl— ö0) Äi0 решение |
уравнения (3-4). можно |
||||
приближенно вычислять по формуле |
|
|
|
||
и+(х, т, |
Ь0) » 1 + —— |
[•/„ [Vпг лг) —і] , |
(3-8) |
||
|
|
т |
|
|
|
а при (1 + Ьо) « 0 |
решение уравнения (3—5)—по формуле |
||||
и_ (х, т, Ьа) ж Н — * |
■[/0 (V т х) — і] . |
(3-9) |
|||
|
|
т |
|
|
|
Таким образом, при некоторых значениях аргумента с до статочной степенью точности решение обобщенного уравнения Бесселя можно найти при помощи простого полинома, а в от дельных частных случаях правой части при помощи таблиц обычных [38—40] и обобщенных функций Бесселя (см. При ложение) можно найти и решение обобщенного уравнения Бесселя с возмущающим членом.
Кроме того, в работе [25] |
показано, что при /?г^4 и x=sC0,5 |
||||||
значения обобщенных функций |
можно, |
с достаточной |
для |
||||
инженерных приложений точностью, вычислить |
по выраже |
||||||
ниям вида |
|
|
|
|
_ |
|
|
J'o (х) яй J Ü T Z L |
_j_ |
W |
ni 4 s |
|
(3.10) |
||
w |
m |
|
|
m |
|
|
|
7&"(s)^ |
/n - |
.1 - + |
7о ( У ^ 4 . |
• |
(3-11) |
||
|
m |
|
|
m |
|
|
4* |
51 |
Как уже было доказано выше, радиус сходимости рядов обобщенных функции Бесселя по крайней мере не меньше 1. Поэтому приводимые в приложении таблицы значений функ ций и были рассчитаны для интервала [0, 1]. Однако указан ное обстоятельство ни в коей мере не снижает ценности полу ченных решений, ибо в большинстве инженерных задач усло вие .rsS 1 выполняется достаточно строго.
Действительно, уравнение теплопроводности (2-1)
|
~ТѴ~ -г — ■--- ----А {ТА— То) =0, |
|
||||||
|
dr- |
г |
dr |
|
|
|
|
|
где А = г0еДгн, заменой переменных Ѳ = |
Т/Т,,, ,ѵ = r/rH приво |
|||||||
дится к безразмерному выражению |
|
|
|
|||||
|
d-Q |
j ___ de |
—В (ѲА— Ѳо) = 0, |
|
||||
|
rf.v2 |
X |
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
которое с учетом подстановки |
2 = |
х У В примет вид (2-4) (здесь |
||||||
B = ArlT% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0" (2) |
J_ |
0 ' (г) - |
04 (2) = |
_ |
04о . |
(3.12) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
При Ѳ0 = 0 (Т0 =0) |
получаем уравнение |
типа (2-8) |
и решение |
|||||
в виде ряда |
(2-11), определенного как |
обобщенная |
функция |
|||||
П (г). |
|
_ |
|
вш/см-грш3\ |
е<С 1 н к порядка |
|||
Поскольку с0 = |
5,67-Ю 12 |
|||||||
1 вт!см-град, |
то при га < |
ІО3 |
см и Т„ Т |
ІО3 град В= АгІТІ sC |
||||
-< 1, что при .V= /; /у, < 1 дает z — х У В |
|
,< 1. |
|
|||||
В общем случае для г ^ 1 необходимо |
удовлетворить усло |
вию егнТн/Л'-< 1,77-1011 см--град'lern, что весьма несложно вы полнить.
Используя известные [41] интегральные представления вдоль действительных путей для J0 (х) и / 0 (х) вида
|
я |
|
|
|
J0(x) = |
1 (' |
cos (.vsin Ѳ) de, |
(3-13) |
|
Л М = |
JX „ |
exp (л:cos Ѳ) de, |
(3-14) |
|
|
■о |
|
|
|
выражения (3-10) и (3-11) можно записать как |
|
|||
Jo (х) — ------------ 1---------( |
cos (j/m xsinö)) |
de, (3-15) |
||
m |
mn |
J |
|
|
|
|
|
о |
|
52
/ІЧ Ф |
in—1 |
j exp (. in Xcos e) de, (3-16) |
|
in |
|||
|
пт |
а решения (3-6) и (3-7) соответственно в виде
«+(х, т, |
60) |
ä (1 — 60) |
т —1 |
|
|
m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
1 |
cos (]/"m а э і п Ѳ) de + V |
|
|||
j* |
|
||||
пт |
|
|
|
|
|
|
u_(x, m, b0) |
|
|
||
in —1 |
|
1 |
71 |
|
|
|
exp (]-' m X cos 0) |
de |
|||
(1+ b0) |
|
nm |
|||
in |
|
|
|
|
(3-17)
— к
(3-18)
При X действительном и положительном, если O ^argA 'C я справедливы следующие асимптотические формулы стоксовского типа:
/ 0(х): |
exp X |
1 + |
|
1 |
|
1-9 |
1-9-25 |
|
|
||
У 2ях |
1 !8 а' |
2! (8 а-)2 |
3! |
( 8 * ) 3 |
|
|
|||||
|
|
|
(3-19) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ях |
|
U cos I X---- — 1 -f Fsin ( х — |
Я |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
1-9 |
|
|
1-9-25-49 |
|
|
|
|
|
|
U = 1 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2! (8 а ) 2 |
+ |
4! (8 а ) 4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
V = |
|
1 |
|
|
1-9-25 |
, |
|
|
|
|
|
8 а |
|
|
3! ( 8 а )3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому в области 0 < а < 0,5 |
и 0 < arg / т х < |
я |
будут спра |
||||||||
ведливы формулы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Іо (X) : |
III —1 |
|
exp {у m a ) |
|
|
1 |
|
|
|||
in |
|
|
|
|
1 + |
8 |
Y m X |
|
|||
|
|
t |
n 4 |
У |
2 л а |
1 ! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
1-9 |
|
+ |
• |
|
П9-25 |
|
|
|
|
(3-21) |
2! (8 1 m a ) 2 |
3! (8 ~\/~inx)3 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
53-
2
(х) |
т — 1 |
L |
1 |
/ |
2 |
2 |
я |
|
|
U cos У т X— |
tI |
||||||||
т ' |
|
4 |
\ |
ях |
1 |
||||
|
|
|
т 4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Кsin |
I' У т х ---- , |
|
(3-22) |
|||
где |
|
1-9 |
|
, |
1-9-25-49 |
|
|
||
и = 1 |
|
|
|
|
|||||
2! (8 |
I |
m x f |
' |
4 !(8 ]/т л ')4 |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
V = |
1 |
|
|
1-9-25 |
|
|
||
|
m X |
|
3! (8 Y m x f |
|
|
||||
|
8 I |
|
|
|
с помощью которых можно получить асимптотические формулы и для решений и+(х, т, Ь0) и и_ (х, т, Ь0).
§3. Расчет и правила пользования таблицами решений обобщенных уравнений Бесселя нулевого порядка
Предлагаемые таблицы (см. Приложение) содержат решения
J o’ (z) и /о (z) однородного обобщенного уравнения |
Бесселя ну |
левого порядка |
|
и" (z) Н— —и' (z) ± ит (z) = 0, |
(3-23) |
j2
атакже решения и+(х, т, Ь0) и и_ (х, т, Ь0) «неоднородных» уравнений
|
и" (х) 4 — |
и' (л-) 4 |
и"' (,ѵ) = Ъ0 |
|
(3-24) |
|||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и” (х) 4 — |
и' (х) — и"1(Д-) = Ь0 |
|
(3-24') |
||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
при граничных условиях и(0) = 1 и |
|
для т = 1, 2, |
3, 4 |
|||||
и при изменении аргумента от 0 до 1. |
|
рассчитаны для |
||||||
0,1 |
При этом таблицы решений уравнения (3-24) |
|||||||
а |
таблицы |
решений |
уравнения |
(3-24') — для |
||||
—0,8 < Ь 0< — 0,1 |
с шагом АЬа=0,1. Кроме того, |
в таблицах |
||||||
приведены значения первых |
производных Jön (г) |
и /о"! (z) |
обоб |
|||||
щенных функций Бесселя. |
|
|
ІО-5 во всем диапазоне |
|||||
[0, |
Для достижения точности порядка |
|||||||
1] изменения |
аргумента при расчете были |
использованы |
||||||
11 членов соответствующих рядов. |
Этого количества членов |
|||||||
достаточно для обеспечения точности порядка |
10~6 при изме |
нении аргумента от 0 до 0,2, поэтому в таком диапазоне зна-
54
чения обобщенных функции Бесселя даются с 6 знаками после
запятой.
Весь табличный материал разбит на три части. В первой части (табл. 1) приведены значения обычных обобщенных функ
ций Бесселя J о" (г) и их первых производных Jо'п (г), во второй части (табл. 2)—значения модифицированных обобщенных функ
ций Бесселя Го (г) и их производных Го ’1 (z) и в третьей (табл. 3)— решение и+(х, т, Ь0) и и_ (х, т, Ь0) «неоднородных» уравнений
Бесселя (3-24) и (3-24'). Функции Jß' (z), J0m(г), Го (г) |
и Іо” (г) |
||||
затабулированы с шагом Az =0,001, |
а функции |
и+(х, |
т, Ь0) и |
||
и_(х, т, |
Ь0)—с шагом Az = 0,01. |
задания аргумента |
больше |
||
В тех |
случаях, |
когда точность |
|||
шага таблиц, для |
нахождения значений J™(z), |
Jo”{z), |
1о1(z) и |
Го"1(г) следует воспользоваться методом линейной интерполяции. Определение уточненных функций и+(х, т, Ь0) и і/_(х, т, Ьо), как в случае, когда аргумент задан с точностью, большей шага таблиц, так и в случае, когда значение парамет ра Ь0отличается от затабулироваиных величин (и лежит внут ри их диапазона), предпочтительнее производить с помощью
формулы квадратичной интерполяции.
Характер зависимости решений обобщенных уравнений Бесселя от т (см., например, рис. 9) дает основание полагать, что с помощью предлагаемых таблиц, используя методы интерполяции, можно с достаточно хорошей точностью нахо дить решения и при нецелочисленных значениях т (0 < т < 4 ).
Напомним, |
что суть |
линейной интерполяции |
состоит в |
|
предположении |
пропорциональности |
приращения |
функции |
|
приращению аргумента. |
Так, если заданное значение аргу |
|||
мента z лежит между z0 и Z i = 2 0+ / i ( |
h — шаг таблиц), кото |
рым соответствуют значения функции F(z0) и F(zi) =B(zo) +А, искомое значение функции находится как
F(z) = F(za) |
А- |
|
|
п |
|
Если две последующие разности |
Ao = E(z0+ /i)—F(z0) и |
|
Ai = F(zo-\-2h)—F(zc + h) |
отличаются |
в последнем знаке-не |
более чем на 4.единицы, |
ошибка линейной интерполяции ие |
будет превышать единицы последнего разряда. В противном случае для достижения такой же точности необходимо исполь зовать более сложные интерполяционные формулы, например
формулу |
квадратичной |
интерполяции |
по Бесселю: |
|
F (z) = F (z0) + |
сД0 - |
(Ах - А_,), |
где с = |
; Д_х = |
F (z0) — F(z0 — h). |
h
ЛИТЕРАТУРА
!. |
Л ы к о в |
А. В. Теория теплопроводности. «Высшая школа», |
М„ 1907. |
|||
2. |
Л ы к о в |
А. В. Тепломассообмен. «Энергия». А\., 1972. |
М„ 1962. |
|||
3. |
К у т а т е л а д з е |
С. С. Основы теории теплообмена. Машгиз, |
||||
4. |
М и х е е в |
|
М. А. |
Основы теплопередачи. Госэнергомздат, М., |
1956. |
|
5. |
Ш а ш к о в |
А. Г., |
А б р а м е н к о |
Т. II. Теплопроводность |
газовых |
|
|
смесей. «Энергия», М„ 1970. |
Т. Н. Свойства переноса |
газов п |
|||
6 . Ш а ш к о в |
А. Г., |
А б р а м е н к о |
||||
|
жидкостей. «Наука и техника», Минск, 1973. |
|
7. Ш а ш к о в А. Г„ В о л о х о в Г. М„ А б р а м е н к о Т. Н., К о з
|
л о в |
В. П. Методы |
определения |
теплопроводности и |
температуропро |
|||||||||||||
|
водности. «Энергия». М., 1973. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8 . К а р е л оу |
|
Г. С. Теория теплопроводности. ОГНЗ, М„ 1947. |
|
|
||||||||||||||
9. |
К а р е л оу |
|
Г. С., |
Ег е р |
Д. Теплопроводность твердых тел. «Наука», |
|||||||||||||
10. |
М„ 1964. |
Э. Р„ |
|
Д р е н |
к |
Р. М. Теория |
теплообмена. Госэнергонздат, |
|||||||||||
Э к к е р т |
|
|||||||||||||||||
_ |
М„ 1961. |
|
Л. Л., |
Фр а й м а н |
Ю. Е. |
Теп.пофнзпческие |
свойства |
|||||||||||
11. |
В а с и л ь е в |
|||||||||||||||||
12. |
плохих проводников тепла. «Наука и техника», Минск, 1967. |
|
|
по |
||||||||||||||
В а с и л ь е в |
Л. Л„ |
Т а н а е в а |
С. А. Теплофнзнческие свойства |
|||||||||||||||
13. |
ристых материалов. «Наука и техника». Минск, 1971, |
|
|
свойства |
||||||||||||||
Н о в и ч е н о к |
Л. Н., |
Шу л ь м а н |
3. |
П. Теплофизическпе |
||||||||||||||
14. |
полимеров. «Наука и техника», Минск. 1971. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
П л а т у н о в |
Е. С. Теплофнзнческие измерения в монотонном режиме. |
|||||||||||||||||
15. |
«Энергия», Л.. 1973. |
В. С. Скоростной |
метод |
определения |
теплофизн- |
|||||||||||||
В о л ь к е н ш т е п н |
||||||||||||||||||
16. |
ческих характеристик материалов. «Энергия». Л.. 1971. |
14, |
№ |
5. |
873, |
|||||||||||||
М аи т у л е й ко |
|
С. РІ., |
Х а р и т о н о в |
В. В. |
ИФЖ, |
|||||||||||||
17. |
1968. |
|
|
|
|
А. Б. Автореф. каид. днсс. ІІТМО АН БССР, Минск, |
||||||||||||
В ер ж ни ск а я |
||||||||||||||||||
|
1964. |
|
Г. М. Автореф. канд. дисс. ІІТМО АН БССР, Минск. 1968. |
|||||||||||||||
18. В о л о х о в |
||||||||||||||||||
19. |
М ан т у л е и к о |
|
С. И., |
Х а р и т о н о в |
|
В. В. |
Теплофизика |
высоких |
||||||||||
|
температур, 9, ДР 2, 373, 1971. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
20. |
Х а р и т о н о в В. В. ИФЖ, |
14, № 2 , 347. 1968. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
21. |
X а р и т о н о в |
В. В. Изв. АН |
БССР, |
серия |
физико-энергетическая, |
|||||||||||||
|
№ 3, 90, 1969. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. |
С м и р н о в |
|
В. И. К\рс |
высшей |
математики, |
т. 3. Гостехнздат, |
М„ |
|||||||||||
|
1951. |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.К а м к е Э. С. Справочник по обыкновенным дифференциальным урав нениям. ГИФМЛ, A4., 1961.
24.Л е б е д е в Н. Н. Специальные функции и их приложения. Физматгнз, М„ 1963.
'25. X а р и т о и о в В. В. Изв. АН БССР, серия физико-математическая, № 5, 50, 1969.
56
26. |
X а р и т о н о в |
В. В., |
С о р о к и н О. С. Изв. АН БССР, серия физико- |
27. |
математическая, № 2, 99, 1972. |
||
А в х и м о в н ч |
Б. М. |
Изв. вузов, Авиационная техника, № 2, 3, 1966. |
|
28. |
А в х и м о в н ч |
'Б. М. |
Изв. вузов, Авиационная техника, № 5, 4, 1967. |
29. |
И в а н н щ е в |
А. Г., |
Х а р и т о н о в В. В. и др. Термодинамика, теп |
30. |
лопередача и теория горения. РВҢИУ, Ростов-на-Дону, 1965. |
сумм и |
||||
Р ы ж и к |
И. М., Г р а д ш т е й н |
И. С. Таблицы интегралов, |
||||
31. |
произведений. Физматгиз, М., 1963. |
|
|
«Мир», |
||
Ро ѵз - Ынс |
А. Техника низкотемпературного эксперимента. |
|||||
32. |
М„ 1966. |
Р. Б. Техника низких температур. ИЛ, М., |
1962. |
|
||
С к о т т |
|
|||||
33. |
В а т с о н |
Г. |
Теория бесселевых |
функций, т. 1 . ИЛ, |
М., 1949. |
|
34.К у з н е ц о в Д. С. Специальные функции. «Высшая школа», М., 1962.
35.С а н е о н е Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2. ИЛ, М„ 1954.
36.Б е л м а н Р. Теория устойчивости дифференциальных уравнений. ИЛ, М„ 1954.
37. |
Г р эй Э., М е т ыо з Г. Б. Функции Бесселя и их приложения к физике |
|||||
|
и механике. ИЛ, М„ 1953. |
Ф. Специальные функции. «Наука», М., |
||||
38. Я н к е Е., Э м д е |
Ф., Л еш |
|||||
39. |
1968. |
|
функций Бесселя от |
мнимого аргумента. Изд. АН |
||
Таблицы значений |
||||||
40. |
СССР, М„ 1950. |
И. |
Н., С е м е н д я е в |
К. А. Справочник |
по матема |
|
Б р о н ш т е й н |
||||||
41. |
тике. Гостехиздат, М., 1948. |
Б. Методы математической |
физики, т. 3. |
|||
Д ж е ф ф р и с |
Г., |
С в н р а с |
||||
|
«Мир», М., 1970. |
|
|
|
|
|
сл |
Т а б л и ц а 1 |
ПРИЛОЖЕНИЕ |
00
зн а ч е н и й ф у н к ц и и J"q (z ), я в л я ю щ е й с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я и" -(- — и '-\-и т = 0 п р и г р а н и ч н ы х у с л о в и я х и (0) = 1; м '( 0 ) = О,
|
и |
п е р в о й п р о и з в о д н о й J 0"1 (г) |
■J'q (г) д л я 0 |
< 1 и т |
|||
|
|
|
|
|
dz |
|
|
2 |
л |
|
|
0 |
'2 |
,3 |
'3 |
|
|
|
J q |
J Q |
|
||
0.000 |
1.000000 |
0.000000 |
1.0 0 0 0 0 0 |
0.000000 |
1.0 0 0 0 0 0 |
0 .0 0 0 0 0 0 |
|
.0 0 1 |
1,0 0 0 0 0 0 |
—0.000500 |
1.000000 |
—0.000500 |
1.0 0 0 0 0 0 |
—0.000500 |
|
.0 0 2 |
0.999999 |
|
.0 0 10 0 0 |
0.999999 |
.0 0 10 0 0 |
0.999999 |
.0 0 10 0 0 |
.003 |
.999998 |
|
.001500 |
.999998 |
.001500 |
.999998 |
.001500 |
.004 |
.999996 |
|
.0 0 20 0 0 |
.999996 |
.0 0 20 0 0 |
.999996 |
.0 0 20 0 0 |
.005 |
.999994 |
|
.002500 |
.999994 |
.002500 |
.999994 |
.002500 |
.006 |
.999991 |
|
.003000 |
.999991 • |
.003000 |
.999991 |
.003000 |
.007 |
.999988 |
. |
.003500 |
.999988 |
.003500 |
.999988 |
.003500 |
.008 |
.999984 |
.004000 |
999984 |
.004000 |
.999984 |
.004000 |
|
.009 |
.999980 |
|
.004500 |
.999980 |
.004500 |
.999980 |
.004500 |
.0 10 |
.999975 |
|
.005000 |
.999975 |
.003000 |
.999975 |
.005000 |
.0 1 1 |
.999970 |
|
.005500 |
.999970 |
.005500 |
.999970 |
.005500 |
.0 1 2 |
.999964 |
|
.006000 |
.999964 |
.006000 |
.999964 |
.006000 |
.013 |
.999958 |
|
.006500 |
.999958 |
.006500 |
.999958 |
.006500 |
.014 |
.999951 |
|
.007000 |
.999951 |
.007000 |
.999951 |
.007000 |
.015 |
.999944 |
|
.007500 |
.999944 |
.007500 |
.999944 |
.007499 |
.016 |
.999936 |
|
.008000 |
.999936 |
.008000 |
.999936 |
.007999 |
.017 |
.999928 |
|
.008500 |
.999928 |
.008499 |
.999928 |
.008499 |
.018 |
.999919 |
|
.009000 |
.999919 |
.008999 |
.999919 |
.008999 |
.019 |
.999910 |
|
.009500 |
.999910 |
.009499 |
.999910 |
.009499 |
0 .0 2 0 |
0.999900 |
—0 .0 10 0 0 0 |
0.999900 |
—0.009999 |
0.9999Ö0 |
—0.009999 |
|
.0 21 |
.999890 |
|
.010499 |
.999890 |
.010499 |
.999890 |
.010498 |
.0 2 2 |
.999879 |
|
.010999 |
.999879 |
.010999 |
.999879 |
.010998 |
|
|
— |
" "4„ |
|
|
----------- |
|
.023 |
.999868 |
|
.011499 |
.999868 |
.011499 |
.999868 |
.011498 |
.024 |
.999856 |
|
.011999 |
.999856 |
.011998 |
.999856 |
.011997 |
.025 |
.999844 |
|
.012499 |
.999844 |
.012498 |
.999844 |
.012497 |
.026 |
.999831 |
|
.012999 |
.999831 |
.012998 |
.999831 |
.012997 |
.027 |
.999818 |
|
.013499 |
.999818 |
.013498 |
.999818 |
.013496 |
.028 |
.999804 |
|
.013999 |
.999804 |
.013997 |
.999804 |
.013996 |
.029 |
.999790 |
|
.014499 |
.999790 |
.014497 |
.999790 |
.014495 |
.030 |
.999775 |
|
.014998 |
.999775 |
.014997 |
.999775 |
.014995 |
.031 |
.999760 |
|
.015498 |
.999760 |
.015496 |
.999760 |
.015494 |
.032 |
.99974.4 |
|
.015998 |
.999744 |
.015996 |
.999744 |
.015994 |
.033 |
.999728 |
|
.016498 |
.999728 |
.016496 |
.999728 |
.016493 |
.034 |
.999711 |
|
.016998 |
. .999711 |
.016995 |
.999711 |
.016993 |
.035 |
.999694 |
|
.017497 |
.999694 |
.017495 |
.999694 |
.017492 |
.036 |
.999676 |
|
.017997 |
.999676 |
.017994 |
.999676 |
.017991 |
.037 |
.999658 |
|
.018497 |
.999658 |
.018494 |
.999658 |
.018491 |
.038 |
.999639 |
|
.018997 |
.999639 |
.018993 |
.999639 |
.018990 |
.039 |
.999620 . |
|
.019496 |
.999620 |
.019493 |
.999620 |
.019489 |
0.040 |
0.999600 |
—0.019996 |
0.999600' |
—0.019992 |
0.999600 |
—0.019988 |
|
.041 |
.999580 |
|
.020496 |
.999580 |
.020491 |
.999580 |
.020487 |
.042 |
.999559 |
|
.020995 |
.999559 |
.020991 |
.999559 |
.020986 |
.043 |
.999538 |
|
.021495 |
.999538 |
.021490 |
.999538 |
.021485 |
.044 |
.999516 |
|
.021995 |
.999516 |
.021989 |
.999516 . |
.021984 |
.045 |
.999494 |
|
.022494 |
.999494 |
.022489 |
.999494 |
.022483 |
.046 |
.999471 |
|
.022994 |
.999471 |
.022988 |
.999471 |
.022982 |
.047 |
.999448 |
|
.023494 |
.999448 |
.023487 |
.999448 |
.023481 |
.048 |
.999424 |
|
.023993 |
.999424 |
.023986 |
.999424 |
.023979 |
.049 |
.999400 |
|
.024493 |
.999400 |
.024485 |
.999400 |
.024478 |
.050 |
.999375 |
|
.024992 |
.999375 |
.024984 |
.999375 |
.024977 |
.051 |
.999350 |
|
.025492 |
.999350 |
.025483 |
.999350 |
.025475 |
.052 |
.999324 |
|
.025991 |
.999324 |
.025982 |
.999324 |
.025974 |
.053 |
.999298 |
|
.026491 |
.999298 |
.026481 |
.999298 |
.026472 |
.054 |
.999271 |
|
.026990 |
.999271 |
.026980 |
.999271 |
.026971 |
.055 |
.999244 |
|
.027490 |
.999244 |
.027479 |
.999244 |
.027469 |
.056 |
.999216 |
|
.027989 |
.999216 |
.027978 |
.999216 |
.027967 |
.057 |
.999188 |
|
.028488 |
.999188 |
.028477 |
.999188 |
.028465 |
— 1, 2, 3 и 4
|
А |
'4 |
|
|
J 0 |
V |
z |
|
1.000000 |
0.000000 |
0.000 |
|
1.000000 |
—0.000500 |
.0 0 1 |
|
• 0.999999 |
.0 0 10 0 0 |
.0 0 2 |
|
.999998 |
.001500 |
.003 |
|
.999996 |
.0 0 2 0 0 0 |
.004 |
|
.999994 |
.002500 |
.005 |
|
.999991 |
.003000 |
.006 |
|
.999988 |
.003500 |
.007 |
|
.999984 |
.004000 |
.008 |
|
.999980 |
.004500 |
.009 |
|
.999975 |
.005000 |
.0 10 |
|
.999970 |
.005500 |
.011 |
|
.999964 |
.006000 |
.0 1 2 |
|
.999958 |
.006499 |
.013 |
|
.999951 |
.006999 |
.014 |
|
.999944 |
.007499 |
.015 |
|
.999936 |
.007999 |
.016 |
|
.999928 |
.008499 |
.017 |
|
.999919 |
.008999 |
.018 |
|
.999910 |
.009498 |
.019 |
|
0.999900 |
—0.009998 |
0 .0 2 0 |
|
.999890 |
.010498 |
.0 21 |
|
.999879 |
.010997 |
.0 2 2 |
|
|
|
-----------1 - |
|
.999868 |
.011497 |
.023 |
|
.999856 |
.011997 |
.024 |
|
.999844 |
.012496 |
.025 |
|
.999831 |
.012996 |
.026 |
|
.999818 |
.013495 |
.027 |
|
.999804 |
.013995 |
.028 |
|
.999790 |
.014494 |
.029 |
|
.999775 |
.014993 |
.030 |
|
.999760 |
.015493 |
.031 |
|
.999744 |
.015992 |
.032 |
|
.999728 |
.016491 |
.033 |
|
.999711 |
.016990 |
.034 |
' |
.999694 |
.017489 |
.035 |
.999676 |
.017988 |
.036 |
|
|
.999658 |
.018487 |
.037 |
|
.999639 |
.018986 |
.038 |
|
.999620 |
.019485 |
.039 |
|
0,999600 |
—0.019984 |
0.040 |
|
.999580 |
.020483 |
.041 |
|
.999559 |
.020982 |
.042 |
|
.999538 |
.021480 |
.043 |
|
.999516 |
.021979 |
.044 |
|
.999494 |
.022477 |
.045 |
|
.999471 |
.022976 |
.046 |
|
.999448 |
.023474 |
.047 |
|
.999424 |
.023972 |
.048 |
|
.999400 |
.024471 |
.049 |
|
.999375 |
.024969 |
.050 |
|
.999350 |
.025467 |
.051 |
|
.999324 |
.025965 |
.052 |
|
.999298 |
.026463 |
.053 |
|
.999272 |
.026961 |
.054 |
|
.999244 |
.027458 |
.055 |
|
.999217 |
.027956 |
.056 |
|
.999188 |
.028454 |
.057 |