Теория управления / Reshenie prosteishei zadachi variatsionnogo ischisleniia
.pdfРешение простейшей задачи вариационного исчисления
Дана простейшая задача вариационного исчисления:
Краевые условия: |
|
|
|
, |
и |
фиксированные числа. |
|
|
|||||||
Функция |
|
, кот-я удовлетворяет краевым условиям, называется допустимой. |
|
||||||||||||
Сильная -окрестность функции |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т.е. мн-во функций, отклоняющихся от |
|
|
меньше чем на |
по норме в |
. |
|
|||||||||
Слабая |
-окрестность функции |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т.е. мн-во функций, отклоняющихся от |
|
|
меньше чем на |
по норме в |
. |
|
|||||||||
Слабая -окрестность входит в сильную. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Допустимая ф-ция |
наз-ся слабым локальным (относит.) минимумом функционала |
, |
|||||||||||||
если |
|
: допустимой |
|
, |
|
|
: |
. |
|
|
|
||||
Допустимая ф-ция |
наз-ся сильным локальным (относит.) минимумом функционала |
||||||||||||||
|
, если |
: допустимой |
, |
|
|
: |
. |
|
|
||||||
Необходимое условие слабого локального минимума. Пусть |
доставляет слабый лок. |
||||||||||||||
мин. |
и является допустимой. Тогда |
|
|
удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Любое решение такого дифф. ур-я наз-ся экстремалью, такой задачи Коши – допустимой экстремалью.
В интегральной форме уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид
В случаях, к-да |
не зависит от |
или от , легче воспользоваться первыми |
интегралами уравнения Эйлера (см. лекцию 12.03). |
||
Необходимое условие слабого локального минимума в терминах второй производной (необх.
усл-е Лежандра). Пусть |
доставляет слабый лок. мин. и является допустимой. Тогда |
|
|
|
. |
Вторичная, или присоединённая задача:
Уравнение Эйлера для неё наз-ся уравнением Якоби для исходной задачи:
Пусть |
- реш-е ур-я Якоби такое, что |
. Если |
точка |
: |
, |
|||
то называется сопряжённой к точке |
точкой. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
Необходимое условие Якоби слабого локального минимума. Если |
доставляет слабый |
|||||||
лок. мин. |
и является допустимой, то на интервале |
нет точек, |
сопряжённых точке . |
|
||||
Достаточные условия слабого локального минимума. |
|
|
|
|
||||
Пусть |
, |
, |
. |
|
|
|
|
|
1.удовл-т ур-ю Эйлера.
2.удовл-т усиленному условию Лежандра:
3.удовл-т усиленному условию Якоби:
Тогда |
доставляет слабый локальный минимум функционалу . |
|
|
||
Необходимое условие сильного локального минимума. |
|
|
|||
Пусть |
доставляет сильный лок. мин. |
и является допустимой. Тогда |
|
|
|
(из соображений непрерывности интервал |
можно расширить до |
) |
|
||
Функцией |
Вейерштрасса |
|
простейшей задачи вариационного |
исчисления |
|
называется функция |
|
|
|
|
|
Т-да необходимое условие сильного локального минимума принимает вид: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Это на самом деле условие того, что ф-ция выпукла по третьему аргументу.
Говорят, что погружена в собственное поле экстремалей, если в точке имеется единственная экстремаль из сильной окрестности экстремали , проходящая через неё.
Говорят, что погружена в центральное поле экстремалей, если она погружена в такое собственное поле экстремалей, что все экстремали семейства имеют общую точку на границе
отрезка |
|
. |
|
|
Функцией наклона поля |
называется функция |
|||
Если |
|
уд-т сл. условиям: |
|
|
1. |
|
|
|
|
2. |
На |
нет сопряжённых точек |
||
то |
|
можно погрузить в поле экстремалей. |
||
Достаточные условия сильного минимума. |
||||
Пусть |
|
- допустимая экстремаль. |
||
1.включена в поле экстремалей.
2.- наклон поля.
3. |
|
|
|
|
Тогда |
- сильный локальный минимум. |
|
|
|
Змч. Если поле экстремалей определено в |
, то |
- глобальный |
||
минимум. |
|
|
|
|