методичка черногор

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решить задачу

амплитудном самовоздействии волны при виде коэффициента

поглощения α =

где a = const , A – амплитуда волны. Исследовать поведение

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 1 Краткая характеристика нелинейности, основных явлений и методов нелинейной физики

1.3.Основные положения нелинейной парадигмы

1.Процесс формирования представлений о нелинейности мира и науки, его описывающей, был долог и труден. Он завершился подготовкой предпосылок для формулировки основных положений нелинейной парадигмы.

2.Осознание роли и места нелинейности в современной научной картине мира привело к новой – нелинейной – парадигме, к смене способа мышления, методологии науки и мировидения в целом.

3.Нелинейность – универсальное и фундаментальное свойство мира. Это свойство – всеобщее, оно более объёмное, более разнообразное, чем свойства нелинейных колебательных и волновых процессов, чем свойства детерминированного хаоса или самоорганизации, чем многие другие свойства, через которые нелинейность проявляется. Не следует, поэтому, отождествлять (как это делают многие философы) самоорганизацию или синергетику с нелинейностью.

4.Нелинейность заставила пересмотреть взгляды на детерминизм и случайность, порядок и хаос, самоорганизацию и деградацию, на возможность прогноза поведения сложных нелинейных систем.

5.Понятие нелинейности столь же фундаментально, сколь фундаментально понятие материи, понятие движения (эволюции) материи. В общем случае сама материя должна рассматриваться как сверхсложная нелинейная система. Вообще говоря, движение (эволюция) материи также описывается нелинейными законами. Нелинейность соотношений отражает факт нетривиальности процессов в движущейся материи.

6.Нелинейность удивляет исследователя необычностью и глубиной гипотез, идей, результатов и следствий.

7.Нелинейность – главное свойство мира, так как она управляет процессом эволюции мира.

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.1. Основные понятия и соотношения

2. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

2.1. Основные понятия и соотношения

Нелинейные явления в радиофизике (электродинамике) обычно связаны со значительной амплитудой колебаний или распространением сильных электромагнитных волн в средах. Лишь в очень небольшом числе задач нелинейной электродинамики удается найти точное аналитическое решение. К ним относится задача о распространении сильной плоской волны в

изотропной, недиспергирующей, недиссипативной среде. Направляя векторы

E и H вдоль

осей y и z соответственно, запишем роторные уравнения Максвелла в виде:

− ∂ H

∂ D

(2.1)

∂ x

∂ t

∂ E

−

∂ H

(2.2)

∂ x

∂ t

где ∂D = dD ∂E ≡ ε (E) ∂E , H = H(E)

, ε

= ε ε,

B = μ H , ε

–

относительная

∂t dE ∂t

∂t

диэлектрическая проницаемость,

ε0 и μ0

– электрическая и магнитная постоянные.

Нетривиальное решение системы существует при условии, что

εa

= 0 ,

откуда

0 dE

ε (E)

H = ±∫

dE .

(2.3)

Тогда для E имеем следующее уравнение

∂E ±

ε(E)

∂E = 0 ,

C = (ε μ )−1/ 2 .

∂x

∂t

Решая его методом характеристик, получим:

x = ±

+C(E) ,

где C(E) – произвольная функция. Введем функцию f , обратную функции C . Тогда

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.1. Основные понятия и соотношения

	c

E(x,t) = f x			t .	(2.4)
	ε(E)

Фазовая скорость волны зависит от E :	c
u(E) =		.		(2.5)
	ε(E)

С этим связан эффект укручения профиля волны.

Рассмотрим далее приближенные методы нелинейной электродинамики. Они обычно связаны с введением различных малых параметров.

Метод малых возмущений предполагает, что амплитуда волны. E намного меньше характерного поля Ex , тогда малым параметром является μ = E / Ex . Решение уравнений

нелинейной электродинамики ищут в виде ряда по степеням μ. Приравнивая члены при одинаковых степенях μ, получают бесконечную цепочку уравнений, в которой первое

уравнение решается независимо от остальных, затем второе и т. д.

В методе медленно меняющихся амплитуд (ММА) считается, что относительные изменения амплитуды волны на расстояниях порядка длины волны λ (а в нестационарных задачах и за время порядка периода поля) малы. Решение ищется в виде:

		E(x) = A(μx)e−ikx ,
где μ = λ	A	1, A – комплексная амплитуда.
где μ = λ	A	1, A – комплексная амплитуда.
	A

Вместо волнового уравнения получают приближенное соотношение для амплитуды A , которое называют укороченным уравнением. При наличии только затухания укороченное уравнение для амплитуды имеет вид:

dA	+ α(A)A = 0 ,	(2.6)
dx
где α – коэффициент затухания.
Метод нелинейной квазиоптики	(НК) является обобщением	ММА на многомерный

случай и описывает распространение пучков волн. Решение ищется в виде:
E = A(μx,	μy, μz)e−ikz .
Для комплексной амплитуды A(x,y,z) имеем следующее уравнение:
∂A	ω 2

2ik ∂x =	A +(c ) εнл (	A	)A ,	(2.7)

где εнл = ε − εл . Члены в правой части описывают дифракцию и нелинейную рефракцию. Если ввести эйконал ψ и действительную амплитуду в виде:

A = Ae−ikψ.

то из (2.7) получим уравнения эйконала и переноса:
∂ψ	2		ε (A)	2A
			нл		,	(2.8)
2 ∂x +( ψ)		=		+ k2A
			εл
∂A + A ψ +			1 A 2ψ = 0 .			(2.9)
∂x			2

В методе нелинейной геометрической оптики (НГО) λ → 0 , т. е. k → ∞, и в правой части уравнения (2.8) исчезает последний член. В одномерном случае и в отсутствие поглощения уравнения НГО имеют вид:

dψ =	1 εнл(A0 ); A		= A ,

dx	2 εл	x =0	0

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.1. Основные понятия и соотношения

отсюда A(x) = A0, ψ = 21 ∫0 εнлε(лA)dx .

Воднородной невозмущенной среде

ψ= 1 εнл(A0 ) x .

2 εл

Если ввести показатель преломления n = n

+ n

нл

= (ε

+ ε )1/ 2

, то при

нл

эйконал и нелинейная добавка к фазе даются выражениями:

ψ = ∫ nнлdx,

0 nл

ϕ = ωс ∫0 nнлdz.

При распространении сильных электромагнитных волн в средах возникает комплекс явлений, объединяемых понятием самовоздействие волн. Амплитудное самовоздействие плоских волн описывается уравнением (2.6), решение которого имеет вид:

A	dA
∫		= −x, A		= A .


	α(A)A		x =0	0
A0

По определению множитель самовоздействия равен

A(x ) P = A0e−k0 (x ) ,

где k0 (x ) = ∫ α0dx, α0, k0 – коэффициент поглощения и интегральный коэффициент

поглощения в невозмущенной среде. В линейной теории P = 1 , при P < 1 и P > 1 имеют место эффекты помутнения и просветления среды.

Нелинейная добавка к фазе за счет фазового самовоздействия дается выражением:

ϕ =	ω	x	(n (A)−n0 )dx,	(2.10)
	c	∫
		0

где n0 – показатель преломления в линейной теории.

При распространении сильной и слабой (индексы 1,2) волн принцип суперпозиции нарушается и возникает нелинейной взаимодействие волн. Амплитудное и фазовое взаимодействия описываются такими соотношениями:

dA1	+ α	(A )A = 0;				A		= A ,
dA1	+ α	(A )A = 0;				A		= A ,
dx	1	1	1			1	x =0	10
dA2 + α		(A )A = 0;				A		= A ,
dA2 + α		(A )A = 0;				A		= A ,
dx	2	1	2	x		2	x =0	20
dx
			ω
		ϕ = c2		∫ (n2 (A1 )−n20 )dx.
				0
Множитель амплитудного взаимодействия имеет вид:
			A2(x)			x
	P12 =		A2(x)			k20 = ∫ α20dx.
					,
			A e−k20		,
			20			0
В линейной теории P12 = 1,						0
В линейной теории P12 = 1,			если же P12			< 1 или P12 > 1 , то имеют место эффекты

помутнения и просветления среды.

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики

2.1.Основные понятия и соотношения

Вцилиндрической системе координат уравнение (2.8) имеет вид:

(

)

∂ψ

∂ψ 2

ε (A)

∂2A

1 ∂A

нл

∂x

∂r

(2.11)

εл

∂r

k A

r ∂r

Качественные результаты, справедливые по порядку величины, можно получить, не решая уравнения. Для этого можно воспользоваться методом оценки производных. Покажем это

∂ψ

на примере уравнения (2.11). Сначала введем угол θ = ∂r , который образует волновой вектор

(луч) c осью x , продифференцируем (2.11) по r и получим:

∂θ

∂ ε

∂ 1

∂2A 1 ∂A

+ 2θ

нл

∂x

∂r

r ∂r

∂r ε

∂r

k A

Скорость изменения угла наклона луча в направлении, перпендикулярном направлению

∂θ

распространения, описывается членом ∂r . Полагая, что толщина пучка волн r0 , максимальное

значение амплитуды волны на оси пучка A0 , отклонение луча за счет дифракции θд и нелинейной рефракции θнл , получим для этих случаев

∂θ

θд ,

∂θ

θнл

∂r

Аналогично

∂2A

∂A

∂r

∂r2

0 .

Тогда “дифракционная сила” описывается выражением:

∂ 1			∂2A				1 ∂A	A			1
∂ 1			∂2A				1 ∂A	A			1
					+			0				.
					+							.
	2			2				2		3	2 3
	2		∂r	2		r ∂r		2		3	2 3
∂r k		A	∂r			r ∂r		A k r			k r
								0	0		0
								0	0		0

Для “рефракционной силы” имеем:

∂	ε	1	ε

	нл		нл	.
	εл	r0	εл
∂r

Тогда искривление лучей за счет дифракции и рефракции по порядку величины равны:

		1	1/ 2			θ	1/ 2

θ				,	θ	нл	.

д		2 2			нл
						εл
	k r0

Важно, что θд > 0 , т. е. за счет дифракции пучок волн всегда уширяется. В то же время

θнл может быть	как положительным	при εнл < 0	(эффект дефокусировки), так и
отрицательным при	εнл > 0 (эффект	фокусировки).	При θд =	θнл	наступает эффект

самоканалирования. Ширина пучка при распространении волны не изменяется, так как дифракционное уширение в точности скомпенсировано самофокусировкой пучка. Этот эффект наступает при условии:

εнл	1	.	(2.12)
	k2r02
εл

При фокусировке фокусное расстояние Rф ≈ r0 .

θнл

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.2. Примеры

2.2. Примеры

Пример 1

Считая среду изотропной, недиспергирующей и недиссипативной, получить точное решение нелинейных уравнений электродинамики, вычислить фазовую скорость u , E , H для

ε(E) = εл (1 + αE )4 . Считать, что до падения волны на среду (т. е.

x < 0 ,t < 0 )

Решение

E(0) = E0 cos k0(x −ct) .

(2.13)

Используя соотношения (2.3) – (2.5), получим:

εa (E)

ε1/л 2

(

)

ε1/л 2

(

H = ±∫

μ dE = ±

1/ 2

∫

1 + αE

= ±

+ αE

−1

1/ 2

αμ

3αμ

1/ 2

u =

= cμ1/0

2 (1 + αE)−2 ,

ε(E)

εл

E(x,t) = f x

t .

ε(E)

Вид функции f определяется с помощью начального и граничного условий. Решение должно быть непрерывным в каждой точке среды и вне ее, поэтому

					1/ 2
				ctμ0
E(x,t) =	E0 cos k0	x −					.
E(x,t) =	E0 cos k0	x −	1/ 2	(			.
			1/ 2	(	1 + αE	)2
			εл		1 + αE
Видно, что решение E(x,t)	получено в		неявной форме, фазовая скорость волны

u зависит от искомого решения. Именно в этом и состоит принципиальное отличие нелинейной волны от линейной.

решения в зависимости от величины и знака a . Сделать оценки эффекта при a = A0−2 , где A0

– амплитуда волны на границе среды.

Решение

Укороченное уравнение для амплитуды (2.6) в данном случае имеет вид:

dA +	α0A	= 0, A(0) = A .

dx	1 +aA2	0

Такое уравнение решается методом разделения переменных:

1 +aA2 dA = −α0dx.A

Отсюда

A +aAdA = −α0dx,

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.2. Примеры

ln A + a2 A2 = −k0 + lnC; k0

aA02

С учетом граничного условия C = A0e 2 . Тогда В глубине среды k0 1, A → 0 . Поэтому

x	aA
= ∫ α0dx, Ae 2 = Ce−k0 .
0
aA2	aA02

Ae 2 = A0e 2 e−k0 .

				aA02
			A ≈ A e 2		e−k0 .
				0
Отсюда множитель амплитудного самовоздействия
				A	aA02
			P =	A	= e 2 .
			P =	A e−k0	= e 2 .
				0
При a > 0 имеем P > 1 ,			т. е. возникает эффект самопросветления среды,				который тем
больше, чем	больше	a . При a < 0 множитель P < 1 и				величина эффекта	помутнения
возрастает с	ростом	\| a \|. При	a = 0	множитель P = 1 ,		т. е. распространение волны

описывается линейной теорией.

Далее оценим P для заданных значений | a |.

Если a = A0−2 , то P = e1/ 2 ≈ 1.65 или P = e−1/ 2 ≈ 0.61 .

Пример 3

Вычислить множитель амплитудного взаимодействия сильной (1) и слабой (2) волн в

глубине cреды P =		A2	ek20 .
глубине cреды P =			ek20 .
12	A20
	A20
Ограничиться распространением обеих волн в одном направлении. Принять
коэффициенты поглощения среды									α10, 20
					α	=			α10, 20					,		a			= const.
					α	=								,		a			= const.
				1,2			1		+a1,2A12							1,2
							1		+a1,2A12
Решение
Запишем укороченные уравнения (2.6) для волн 1 и 2 в виде
						dA1		+				α10A1				= 0, A (0) = A ,									(2.14)
						dA1		+		1		+a A2				= 0, A (0) = A ,									(2.14)
						dx				1		+a A2								1			10
												1		1
						dA2		+				α20A2				= 0,				A (0) = A .					(2.15)
						dA2		+		1		+a A2				= 0,				A (0) = A .					(2.15)
						dx				1		+a A2									2		20
												2		1
Разделим (2.14) на (2.15), предварительно перенеся вторые слагаемые в правую часть
уравнений, и получим			α A 1 +a A2														dA 1 +a A2
dA			α A 1 +a A2														dA 1 +a A2							α dA
1	=		10	1		2	12				или же							A	1		1	12	=	10	2 .
1	=		10	1		2	12				или же								1		1	12	=		2 .
dA			α A 1 +a A																1	+a A				α A
2			20	2		1	1									1					2	1	20		2
Для интегрирования этого уравнения разложим дробь в левой части соотношения на
простые множители:					1 +a1A12
					1 +a1A12							=	C1		+			C2A1 +C3				,
										2		=	A		+			2				,
				A (1 +a A )									A					1 +a A
где C1 = 1, C2 = a1 −a2 , C3				1			2		1					1						2	1
где C1 = 1, C2 = a1 −a2 , C3				= 0 . Тогда
		∫ dA1		+(a1 −a2 )∫								A1dA1					=		α10	∫ dA2			+ lnC,
		∫ dA1		+(a1 −a2 )∫											2		=		α	∫ dA2			+ lnC,
			A								1 +a A								α		A
			1											2	1				20			2

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.2. Примеры

a1 −a2

α10

ln A1 +

ln(1 +a2A1 )

ln A2 + lnC,

2a2

α20

a1 −a2

α10

A (1 +a A2 )

2a2

= CAα20 .

С учетом граничных условий

α10

a1 −a2

C = A Aα20

(1 +a A2 )

2a2

a1 −a2

α20

α10

1 +a A

В глубине среды, где k10

1 , A1

→ 0 , имеем:

a1 −a2

α20

α10

P12

k20

−k20

A e

Отсюда

a1 −a2

α20

α10

P12

k20

−k20

A e

a1A102

e−k10

(см. пример 2). Тогда

где A (x) ≈ A e 2

a1 −a2

α20 a1A102

α20

P = (1 +a A ) 2

α10 e 2

α10 e−k10

ek20 .

α10

Так как k10 = α10x , то

k10 α20 = α20x = k20 α10

		a1 −a2	α20 a1A102	α20
P = (1 +a A ) 2a2			α10 e 2	α10	.
12	2	10
Исследуем предельные случаи.		е. A10 → 0 . Тогда P12 → 1 и, следовательно,
1) Первая волна очень слабая,	т.	е. A10 → 0 . Тогда P12 → 1 и, следовательно,

взаимодействия нет.

2) Вторая волна совпадает с первой, т. е. речь идет только о самовоздействии, a1 = a2 ,

α10 = α20 и

		a1A102	a1A102
P = (1 +a A )0e 2			≡ e 2 ,
12	2	10

что полностью совпадает с результатом, полученным в предыдущем примере.

3)a2 > a1 > 0 , P12 > 1 , т.е. возникает просветление среды.

4)a2 < a1 < 0 , P12 < 1 , т.е. возникает помутнение среды.

Пример 4

Получить формулу для нелинейной добавки к фазе за счет фазового самовоздействия. Принять, что

n(A) = 1 +a1A, α(A) = α0(1 +a2A2 ).

Оценить величину эффекта при	a	= A−1	,	a	2	= A−2	, где A – амплитуда волны на
Оценить величину эффекта при	a	= A−1	,	a		= A−2	, где A – амплитуда волны на
	1	o				o	0

границе, a2 > 0 .

Решение

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.2. Примеры

Нелинейная добавка к фазе за счет фазового самовоздействия (2.10) имеет вид:

ϕ = ωc ∫ (n(A) −n0 )dx.

(2.16)

Укороченное уравнение для амплитуд (2.6) выглядит так:

+ α(A)A = 0.

(2.17)

Считаем, что n0 –показатель преломления в линейной теории – равен 1. Тогда,

подставив (2.17) в (2.16), имеем:

A n(A) −1

ϕ = −c

∫

dA,

α(A)A

где n(A) = 1 +a A;

α(A) = α (1 +a A2 ). Вычислим интеграл

ω A

a dA

ϕ = −C

∫

(arctgA0

a2 − arctgA a2 ).

(1 +a A2 )

–

Фазовый эффект максимален в глубине среды, где A → 0 , здесь

ϕ равно

≈

a1ω

arctgA

∞

a2α0c

Добавим, что α−1

≡ L

зат

− глубина затухания. При

= A−1 ,

= A−2 имеем

≈ ±α−1 ω π.

Тогда: при a1 > 0 величина

∞

c 4

≈ α−1 ω π,

при a1 < 0 величина

∞

c 4

≈ −α−1 ω π.

∞

2π

c 4

В обоих случаях

α−1 ω ≈

. , где λ– длина волны. Рассмотрим предельные

∞

α λ

случаи:

если α0λ

то

ϕ∞

2π,

если α0λ 1, то

ϕ∞

2π,

если α0λ

1, то

ϕ∞

2π.

Итак, если λ

Lзат ,

то волна затухает уже у границы среды и нелинейная добавка к

фазе

мала;

если же λ Lзат ,

то

ϕ∞

2π. При λ

Lзат

волна слабо затухает и

нелинейная добавка

ϕ∞

2π? т. е. весьма существенна.

Пример 5

Получить формулу для нелинейной добавки к фазе слабой волны (2) за счет взаимодействия ее с сильной волной (1) и проанализировать результат в глубине среды. Обе волны распространяются в одном направлении. Принять, что

n	2	= 1 +bA , α = α (1 +aA2 ), a > 0 .
		1	1	10		1
Для оценок использовать a = A10−2,				b	= A10−1 .

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики 2.2. Примеры

Решение

Нелинейная добавка к фазе слабой волны (2.10) имеет вид:

ϕ2 =

∫ (n2(A1) −1)dx.

Из укороченного уравнения для амплитуды сильной волны (2.6) следует, что

dx = −

dA1

α (A )A

Тогда

A1 n (A ) −1

ϕ2 = −C2

∫

dA1.

(A )A

A10

С учетом заданных n2(A1) и α1(A1) получаем

ω b

ϕ2 = −

2 1

∫

C α

1 +aA2

A10

где α−1

≡ L

зат

– глубина затухания сильной волны. Проинтегрировав по A

, имеем:

ω2

ϕ2

(arctgA10

a −arctgA1 a ).

α10

В глубине среды, где A1

→ 0 , фазовый эффект максимален:

≈ ω2

arctgA

2∞

α10

Если принять для оценок a = A10−2,

= A10−1 , то

≈ ±ω2

π,

2∞

α10

Тогда для b > 0 фазовый сдвиг

ϕ2∞ ≈

ω2

α10

≈ −ω2

π.

для b <

0 величина

2∞

α10

В обоих случаях

ω2

2π

≈

, α−1

≡ L

зат .

2∞

α10

λα10

Отсюда можно сделать вывод, что при λ

Lзат

сильная волна затухает уже вблизи

границы среды и нелинейная добавка к фазе за

счет

взаимодействия

ϕ2∞

2π. При

λ Lзат имеем

ϕ2∞

2π , а в случае λ

Lзат сильная волна слабо затухает и фазовый

эффект выражен существенно:

ϕ2∞

2π.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2016409.6 Кб17методичка Судоустрій ч 1.doc
#
23.02.2015721.64 Кб121Методичка Топография.pdf
#
13.03.2016991.74 Кб225МЕТОДИЧКА ФФМ.doc
#
13.03.2016421.89 Кб14методичка Хоз процес 2015 (1).doc
#
01.07.20253.85 Mб0методичка часть 2.doc
#
23.02.20151.52 Mб54методичка черногор.pdf
#
11.11.2019185.34 Кб6Методичка юр.пс..doc
#
01.03.20251.56 Mб0Методичка- Фіноблік.doc
#
23.02.2015783.36 Кб455Методичка-модуль №1 СМ 121 стр.doc
#
23.02.20151.77 Mб52Методичка. Кластерный анализ_пошагово.docx
#
13.03.2016737.73 Кб57Методичка. Лаврик. Основи журналістики.pdf