Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2013_1 / ОТС / promet.pdf
Скачиваний:
95
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
683.47 Кб
Скачать
1). Ô a Ô
2). Ô, a Ô
3). a
4). ,Ô a
5). Ô, a
6). Ô, a Ô &
Ô, a Ô &

9.

Г, ~ Ф

– правило рассуждения от против­

 

Г Ф

 

 

 

 

 

ного.

 

Г Ф;Г ~ Ф

10.

– правило обнаружения противо­

 

Г

речий.

 

Г,Ф,Ц,Т Х

11.

– правило перестановки посылок.

 

Г,Ц,Ф,Т Х

 

12.

Г Ф

– правило лишней посылки.

 

Г,Ц Ф

 

 

 

 

 

13.

Г Ф

– правило введения квантора все­

 

Г xФ

 

 

 

общности.

 

Г,Ф x/t Ц

14.

– правило введения квантора все­

 

Г , xФ Ц

общности.

 

Г Ф x/t

15.

– правило введения квантора су­

 

Г xФ

 

 

ществования.

 

Г,Ф Ц

16.

– правило введения квантора су­

 

Г , xФ Ц

 

ществования.

 

 

 

 

 

 

 

Примечание. В правилах 13, 16 переменная x не входит свобод­ но в Г и Ц .

Имеет место теорема Геделя о полноте: если Ф – тождественно истинная формула исчисления предикатов, то Ф доказуема в исчис­ лении предикатов.

Пример вывода формулы :

– аксиома,

– по правилу 12 из 1,

– аксиома,

– по правилу 12 из 3,

– по правилу 11 из 4,

– по правилу 1 из 2 и 5.

Формализация гильбертовского варианта исчисления предика­ тов включает 14 схем аксиом и три правила вывода: modus ponens

A , A B , введение квантора всеобщности и существования.

B

2.3. Исчисление резольвент

Формулами исчисления резольвент будут атомарные формулы или их отрицания. Если Ф – формула, то Ф* = ~Ф. Основным синтак­ сическим понятием будет список формул. Пустой список обознача­

ется символом Æ . Различные исчисления резольвент имеют одни и те же правила вывода и отличаются аксиомами. Если Г0; ... ; Гn – списки формул, то через R(Г0; ... ; Гn) обозначим исчисление резоль­ вент, аксиомами которого являются списки Г0; ... ; Гn.

Правилами вывода исчисления резольвент будут :

1.

ä,Ô

,Ô*

 

 

 

 

 

(правило резолюции).

 

ä,

 

 

 

 

 

 

 

2.

ä,Ô, ,Ò

 

 

 

 

 

 

(правило перестановки).

ä, ,Ô,Ò

 

 

 

 

 

 

3.

 

Г

 

 

 

 

 

(правило подстановки).

Г x

, ... ,x

K

/t

1

,... ,t

K

 

 

1

 

 

 

 

 

Связь исчисления резольвент с доказуемостью в исчислении предикатов устанавливается следующим утверждением [5]. Пусть

 

n

k

 

Ô=$ x1

...$ xm Ú ¿

ä j

 

i=0

j=1

 

 

замкнутая формула исчисления предикатов, а Гi , i = 0, ... , n – непу­ стые списки атомарных формул или их отрицаний. Формула Ф дока­ зуема в исчислении предикатов тогда и только тогда, когда в исчис­ лении резольвент R(Г0; ... ; Гn) доказуем пустой список формул.

Использование исчисления резольвент для доказательства тео­ рем требует преобразования формул исчисления предикатов к экви­ валентному множеству дизъюнктов. Преобразованию подлежат как аксиомы, так и доказываемая теорема. Списки Г0; ... ; Гn по существу есть высказывания вида

Жi = $x1 ... $xk ( Гi1(x1, ..., xk ) Ú... Ú ( Гim(x1, ..., xk )), i = 1, ..., n,

а вся совокупность списков – невыполнимое высказывание

Ж = Ж1 & Ж2 & ... & Жn.

Для приведения исходных высказываний последовательно про­ делывают следующие этапы:

1.Исключение символов импликации заменой А É В на ~А Ú В .

2.Ограничение области действия символа отрицания примене­

нием законов Моргана: ~( A Ú B ) = ~A & ~B; ~(A & B) = ~A Ú ~B.

Соседние файлы в папке ОТС