9. |
Г, ~ Ф |
– правило рассуждения от против |
|||||
|
Г Ф |
|
|
|
|
|
ного. |
|
Г Ф;Г ~ Ф |
||||||
10. |
– правило обнаружения противо |
||||||
|
Г |
речий. |
|||||
|
Г,Ф,Ц,Т Х |
||||||
11. |
– правило перестановки посылок. |
||||||
|
Г,Ц,Ф,Т Х |
|
|||||
12. |
Г Ф |
– правило лишней посылки. |
|||||
|
Г,Ц Ф |
|
|
|
|
|
|
13. |
Г Ф |
– правило введения квантора все |
|||||
|
Г xФ |
|
|
|
общности. |
||
|
Г,Ф x/t Ц |
||||||
14. |
– правило введения квантора все |
||||||
|
Г , xФ Ц |
общности. |
|||||
|
Г Ф x/t |
||||||
15. |
– правило введения квантора су |
||||||
|
Г xФ |
|
|
ществования. |
|||
|
Г,Ф Ц |
||||||
16. |
– правило введения квантора су |
||||||
|
Г , xФ Ц |
|
ществования. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. В правилах 13, 16 переменная x не входит свобод но в Г и Ц .
Имеет место теорема Геделя о полноте: если Ф – тождественно истинная формула исчисления предикатов, то Ф доказуема в исчис лении предикатов.
Пример вывода формулы :
– аксиома,
– по правилу 12 из 1,
– аксиома,
– по правилу 12 из 3,
– по правилу 11 из 4,
– по правилу 1 из 2 и 5.
Формализация гильбертовского варианта исчисления предика тов включает 14 схем аксиом и три правила вывода: modus ponens
A , A B , введение квантора всеобщности и существования.
B
2.3. Исчисление резольвент
Формулами исчисления резольвент будут атомарные формулы или их отрицания. Если Ф – формула, то Ф* = ~Ф. Основным синтак сическим понятием будет список формул. Пустой список обознача
ется символом Æ . Различные исчисления резольвент имеют одни и те же правила вывода и отличаются аксиомами. Если Г0; ... ; Гn – списки формул, то через R(Г0; ... ; Гn) обозначим исчисление резоль вент, аксиомами которого являются списки Г0; ... ; Гn.
Правилами вывода исчисления резольвент будут :
1. |
ä,Ô |
,Ô* |
|
|
|
|
|
(правило резолюции). |
|
|
ä, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
ä,Ô, ,Ò |
|
|
|
|
|
|
(правило перестановки). |
|
ä, ,Ô,Ò |
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
Г |
|
|
|
|
|
(правило подстановки). |
|
Г x |
, ... ,x |
K |
/t |
1 |
,... ,t |
K |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Связь исчисления резольвент с доказуемостью в исчислении предикатов устанавливается следующим утверждением [5]. Пусть
|
n |
k |
|
– |
Ô=$ x1 |
...$ xm Ú ¿ |
ä j |
||
|
i=0 |
j=1 |
|
|
замкнутая формула исчисления предикатов, а Гi , i = 0, ... , n – непу стые списки атомарных формул или их отрицаний. Формула Ф дока зуема в исчислении предикатов тогда и только тогда, когда в исчис лении резольвент R(Г0; ... ; Гn) доказуем пустой список формул.
Использование исчисления резольвент для доказательства тео рем требует преобразования формул исчисления предикатов к экви валентному множеству дизъюнктов. Преобразованию подлежат как аксиомы, так и доказываемая теорема. Списки Г0; ... ; Гn по существу есть высказывания вида
Жi = $x1 ... $xk ( Гi1(x1, ..., xk ) Ú... Ú ( Гim(x1, ..., xk )), i = 1, ..., n,
а вся совокупность списков – невыполнимое высказывание
Ж = Ж1 & Ж2 & ... & Жn.
Для приведения исходных высказываний последовательно про делывают следующие этапы:
1.Исключение символов импликации заменой А É В на ~А Ú В .
2.Ограничение области действия символа отрицания примене
нием законов Моргана: ~( A Ú B ) = ~A & ~B; ~(A & B) = ~A Ú ~B.