Кислов. атомная физика

Считая, что Е > Uo, напишем стационарное уравнение Шредингера для области 1:

Имеем три однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений запишем в виде

Ψ1(x) = a1eikx +b1e−ikx , Ψ2 (x) = a2eiqx +b2e−iqx ,

Ψ3 (x) = a3eikx +b3e−ikx = a3eikx .

=0

Общее решение есть суперпозиция двух частных решений, каждое из которых представляет плоскую волну де Бройля. Причем, если экспонента со знаком «+», то волна распространяется в положительном направлении оси х, если с «–», то в отрицательном направлении. Например, в выражении для Ψ1 первое слагаемое определяет падающую волну с амплитудой а1, а второе слагаемое – отраженную волну с амплитудой b1. В области 3 нет отраженной волны, поэтому второе слагаемое в выражении для Ψ3 равно нулю.

Исходя из определения коэффициентов D и Rотр, запишем для них следующие равенства:

Таким образом, для вычисления коэффициентов D и Rотр необходимо найти коэффициенты а1, b1 и а3. Для этого используем граничные условия (5.10), которые позволяют найти четыре уравнения.

Из этих выражений следует, что при выполнении неравенства Е > Uo имеем D ≠ 1 и Rотр ≠ 0. Этот результат для квантовой частицы отличается от того, что получается для классической частицы, для которой D = 1 и Rотр = 0. Если же справедливо неравенство Е < Uo, то получим D ≠ 0 и Rотр ≠ 1 (для классической частицы: D = 0 и Rотр = 1).

5.4. Квантово-механическая теория атома.

Электрон в водородоподобном атоме. Энергетический спектр электрона. Квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное орбитальное

Результаты, такие как дискретность энергетического спектра водородоподобного атома, полученные в теории Бора с использованием ряда постулатов, в квантовой механике выводятся без применения каких-либо постулатов. Покажем это.

Рассмотрим водородоподобный атом с зарядом ядра +ze и электроном с зарядом –е и массой m, двигающимся в кулоновском поле неподвижного ядра по круговой орбите радиуса r (рис. 5.6).

Задача состоит в решении стационарного уравнения Шредингера вида

∆Ψ(r ) + 2m2 (E + zer2 )Ψ(r ) = 0 .

Отметим, что с таким видом потенциальной энергии U(r) = − zer2 стацио-

нарное уравнение Шредингера допускает точное решение.

Из-за сферической симметрии силового поля U(r) проще всего решить задачу в сферической системе координат (r, θ, φ), центр которой совмещен с ядром атома. Таким образом, волновая функция Ψ(r) для электрона является

функцией трех переменных Ψ(r) = Ψ(r, θ, ϕ) . Воспользуемся выражением

Решим это уравнение методом разделения переменных. Ищем волновую функцию Ψ(r, θ, ϕ) в виде произведения функции R(r), зависящей только от

радиуса r, и функции Y(θ, φ), зависящей только от угловых координат θ и φ (сферическая функция): Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y(θ, φ). Подставляя это равенство в

стационарное уравнение Шредингера и умножая все члены на множитель r2/(RY), перепишем уравнение в виде

Левая часть выражения зависит от r, правая часть – от θ и φ, поэтому их равенство при всех значениях переменных r, θ и φ возможно, когда каждая из частей будет постоянной величиной. Обозначим ее через λ. Таким образом, стационарное уравнение Шредингера распалось на два уравнения – уравне-

ние для радиальной части R(r) и угловой части Y(θ, φ) волновой функции

Ψ(r, θ, ϕ) :

С учетом полученных решений для функций R(r), Θ(θ) и Ф(φ), волновая функция Ψ(r )= Ψ(r, θ, ϕ) для электрона водородободобного атома, соответ-

ствующая стационарным состояниям, записывается в виде

Следовательно, различные стационарные состояния электрона в атоме характеризуются тремя квантовыми числами: n, l и ml.

Главное квантовое число n характеризует номер стационарной орбиты, т.е. положение электрона вокруг ядра, зависящее от расстояния r, при котором вероятность обнаружения электрона максимальна. Орбитальное квантовое число l характеризует форму стационарной орбиты: l = 0 – круговая орбита, l = 1 – эллиптическая орбита, l = 2 – гантелеобразная орбита, … В атомной физике приняты такие буквенные обозначения: если l = 0, то это соответствует s-состоянию электрона , l = 1 – p-состоянию электрона , l = 2 – d- состоянию электрона, …. Магнитное орбитальное квантовое число ml характеризует ориентацию плоскости стационарной орбиты в пространстве относительно выбранного направления. В атомной физике для того, чтобы указать состояние электрона, используют следующее обозначение: n(s, p, d, f ,...) .

Из формулы (5.19) для энергии Еn электрона, находящегося в кулоновском поле водородоподобного атома, видно, что все энергетические уровни электрона c определенным значением числа n, за исключением n = 1, являются вырожденными. Каждый n-й уровень вырожден по квантовому числу l с кратностью n, а каждый l-й уровень вырожден по квантовому числу ml с кратностью (2l + 1). Общая кратность вырождения энергетического уровня с квантовым числом n равна

l=0

Это означает, что электрон в состояниях с одинаковым значением n и различными значениями l и ml имеет одинаковое значение энергии Еn. Для лучшего понимания того, о чем было сказано, на рис. 5.7 схематически представлены несколько энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме.

Испускание и поглощение излучения атомом происходит с изменением его стационарного состояния, т.е. при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. На эти переходы различные законы сохранения накладывают некоторые ограничения. Следовательно, и на изменение кван-

Рис. 5.7

товых чисел, описывающих стационарные состояния атома, накладываются ограничения, называемые правилами отбора.

Правило отбора для главного квантового числа n вытекает из закона сохранения энергии. Атом испускает и поглощает фотон, энергия которого hν соответствует разности любых двух энергетических уровней (энергий стационарных состояний) атома, поэтому ∆n – любое.

Правило отбора для орбитального квантового числа l является следствием закона сохранения момента количества движения. Фотон обладает собственным моментом количества движения, равным 1ħ, который добавляется или вычитается из момента атома при поглощении или испускании фотона, поэтому ∆l = ± 1.

Правило отбора для магнитного орбитального квантового числа ml:

∆ml = 0, ± 1.

Кислов А.Н. Атомная физика

Глава 6. Орбитальный, спиновый и полный механический и магнитный моменты электрона в атоме

6.1. Орбитальный момент количества движения, магнитный орбитальный момент

В квантовой механике при изучении движения в сферически-

Одним из свойств этого оператора является то, что оператор квадрата момента количества движения l 2 коммутирует с оператором каждой из проекций lx , ly и lz момента количества движения, например l 2 lz – lz l 2 = 0. Данное

равенство означает, что операторы l 2 и lz имеют общие собственные функции, а их собственные значения могут одновременно иметь определенные

Запишем для них уравнения на собственные значения и собственные функции:

Из сравнения уравнения (6.1) и уравнения (5.13), полученного ранее для сферической функции Y(θ, φ), следует, что эти уравнения совпадают, если собст-