Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кислов. атомная физика

.pdf
Скачиваний:
273
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.14 Mб
Скачать

Кислов А.Н.

Атомная физика

Считая, что Е > Uo, напишем стационарное уравнение Шредингера для области 1:

 

 

d 2

Ψ (x) + k 2

Ψ (x) = 0 ,

где k 2 = 2m E ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

для области 2:

 

 

 

 

 

 

 

d 2

Ψ (x) + q2

Ψ (x) = 0 ,

где q2 = 2m (E U

o

) ;

 

 

 

 

 

dx2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

для области 3:

 

 

 

 

 

 

 

d 2

Ψ (x) + k 2Ψ (x) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем три однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений запишем в виде

Ψ1(x) = a1eikx +b1eikx , Ψ2 (x) = a2eiqx +b2eiqx ,

Ψ3 (x) = a3eikx +b3eikx = a3eikx .

=0

Общее решение есть суперпозиция двух частных решений, каждое из которых представляет плоскую волну де Бройля. Причем, если экспонента со знаком «+», то волна распространяется в положительном направлении оси х, если с «–», то в отрицательном направлении. Например, в выражении для Ψ1 первое слагаемое определяет падающую волну с амплитудой а1, а второе слагаемое – отраженную волну с амплитудой b1. В области 3 нет отраженной волны, поэтому второе слагаемое в выражении для Ψ3 равно нулю.

Исходя из определения коэффициентов D и Rотр, запишем для них следующие равенства:

 

 

a

 

 

 

2

 

 

 

b

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

 

 

3

 

 

 

и Rотр =

 

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

Таким образом, для вычисления коэффициентов D и Rотр необходимо найти коэффициенты а1, b1 и а3. Для этого используем граничные условия (5.10), которые позволяют найти четыре уравнения.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 91 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Для х = 0:

a1 +b1 = a2 +b2 ,

ka1 kb1 = qa2 qb2 .

Для х = l:

a2eiql +b2eiql = a3eikl ,

a2eiql b2eiql = a3 kq eikl .

Решая эти уравнения, найдем коэффициенты D и Rотр:

 

 

(k 2

q 2 )2 sin 2 ql

1

D = 1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4k

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4k 2 q 2

 

 

 

 

 

1

Rотр = 1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

2

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

(k

q

)

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ql

 

(5.11а)

(5.11б)

Из этих выражений следует, что при выполнении неравенства Е > Uo имеем D ≠ 1 и Rотр ≠ 0. Этот результат для квантовой частицы отличается от того, что получается для классической частицы, для которой D = 1 и Rотр = 0. Если же справедливо неравенство Е < Uo, то получим D ≠ 0 и Rотр ≠ 1 (для классической частицы: D = 0 и Rотр = 1).

5.4. Квантово-механическая теория атома.

Электрон в водородоподобном атоме. Энергетический спектр электрона. Квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное орбитальное

Результаты, такие как дискретность энергетического спектра водородоподобного атома, полученные в теории Бора с использованием ряда постулатов, в квантовой механике выводятся без применения каких-либо постулатов. Покажем это.

Рассмотрим водородоподобный атом с зарядом ядра +ze и электроном с зарядом –е и массой m, двигающимся в кулоновском поле неподвижного ядра по круговой орбите радиуса r (рис. 5.6).

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 92 из 142

Рис. 5.6

Кислов А.Н.

Атомная физика

Задача состоит в решении стационарного уравнения Шредингера вида

∆Ψ(r ) + 2m2 (E + zer2 )Ψ(r ) = 0 .

Отметим, что с таким видом потенциальной энергии U(r) = zer2 стацио-

нарное уравнение Шредингера допускает точное решение.

Из-за сферической симметрии силового поля U(r) проще всего решить задачу в сферической системе координат (r, θ, φ), центр которой совмещен с ядром атома. Таким образом, волновая функция Ψ(r) для электрона является

функцией трех переменных Ψ(r) = Ψ(r, θ, ϕ) . Воспользуемся выражением

оператора Лапласа ∆, записанным в сферических координатах (r, θ, стационарное уравнение Шредингера примет вид

1

 

∂Ψ

 

 

 

1

 

∂Ψ

 

 

 

1

 

 

2Ψ

 

2m

ze2

 

 

 

 

r 2

 

+

 

 

 

 

 

sin θ

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

 

E +

 

r

2

 

r

2

 

 

 

r

2

sin

2

θ ∂ϕ

2

2

r

 

r

r

 

sin θ ∂θ

∂θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ), тогда

Ψ = 0 .

Решим это уравнение методом разделения переменных. Ищем волновую функцию Ψ(r, θ, ϕ) в виде произведения функции R(r), зависящей только от

радиуса r, и функции Y(θ, φ), зависящей только от угловых координат θ и φ (сферическая функция): Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y(θ, φ). Подставляя это равенство в

стационарное уравнение Шредингера и умножая все члены на множитель r2/(RY), перепишем уравнение в виде

1

 

d

dR

 

2m

ze

2

 

1

 

Y

 

1

 

 

2Y

 

 

 

 

r 2

 

 

+

 

E +

 

 

r 2

= −

 

 

 

sin θ

 

 

 

 

 

 

= λ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

R dr

r

 

2

r

 

 

 

Y sin θ ∂θ

∂θ

 

Y sin

θ ∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Левая часть выражения зависит от r, правая часть – от θ и φ, поэтому их равенство при всех значениях переменных r, θ и φ возможно, когда каждая из частей будет постоянной величиной. Обозначим ее через λ. Таким образом, стационарное уравнение Шредингера распалось на два уравнения – уравне-

ние для радиальной части R(r) и угловой части Y(θ, φ) волновой функции

Ψ(r, θ, ϕ) :

1

 

d

dR

 

2m

ze

2

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

+

 

E +

 

 

 

 

R = 0 ,

(5.12)

 

r 2

 

 

 

r

 

r 2

 

 

dr

r

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стр. 93 из 142

Кислов А.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

Атомная физика

1

 

Y

 

1

 

2Y

+ λY = 0 .

 

 

 

 

 

sin θ

 

+

 

 

 

(5.13)

 

 

 

 

sin 2

θ ∂ϕ2

 

sin θ ∂θ

∂θ

 

 

 

Уравнение для сферической функции Y(θ, φ) также методом разделения переменных разделим на два уравнения. Для этого функцию Y(θ, φ) представим в виде произведения функции Θ(θ) и функции Ф(φ): Y(θ, φ) = Θ(θ)Ф(φ). Подставляя это равенство в уравнение для Y(θ, φ) и умножая все члены на множитель sin2θ/(ΘФ), получим уравнение

sin

θ d

dΘ

+ λsin 2

 

1

 

d 2Ф

= ml

2 .

 

 

 

 

sin θ

 

 

θ = −

 

 

 

Θ

 

 

 

Ф dϕ2

 

 

dθ

dθ

 

 

 

 

Левая часть этого выражения зависит от θ, правая часть – от φ, поэтому равенство частей при всех значениях переменных θ и φ возможно, когда каждая из них будет постоянной величиной. Обозначим ее через ml2. Итак, уравнение для сферической функции Y(θ, φ) распалось на два уравнения – уравнение для функции Θ(θ) и функции Ф(φ):

1 d

dΘ

 

 

 

 

m 2

 

 

 

 

 

 

 

sin θ

 

 

 

+

λ −

 

 

l

 

Θ = 0

,

(5.14)

 

 

 

 

 

 

2

 

sin θ dθ

dθ

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

 

 

 

 

 

 

d

2Ф

 

+ ml

2

Ф

= 0 .

 

 

 

(5.15)

 

 

 

 

dϕ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, чтобы найти волновую функцию Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Ф(φ),

надо решить три представленных выше уравнения – (5.12), (5.14) и (5.15). Решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами (5.15) для функции Ф(φ) с учетом нормировки этой функции имеет вид

Фm (ϕ) =

1

eimlϕ .

(5.16)

l

2π

 

 

 

 

 

Из этого следует, что для однозначности функции Ф(φ) она должна быть периодической с периодом 2π: Фml (ϕ) =Фml (ϕ + 2π) , а это возможно, когда

число ml принимает такие значения, как 0, ±1, ±2, … Число ml называют магнитным орбитальным квантовым числом.

Решениями уравнения (5.14) для функции Θ(θ) будут нормированные присоединенные функции Лежандро Plml (θ). При нахождении этого решения

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 94 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

учитывали, что λ = l(l+1), причем │ml│≤ l, т. е. ml = 0, ±1, ±2,... …,±l. Число l называют орбитальным квантовым числом. Следовательно, сферическая функция Y(θ, φ) с учетом ее нормировки

2π

π

2 sin θdθdϕ =1

Yl,ml (θ, ϕ)

0

0

 

 

запишется в виде

 

 

 

Y

(θ, ϕ) =

1 Pml (θ)eimlϕ .

(5.17)

l,ml

 

2π l

 

Решая уравнение (5.12) для радиальной части R(r) волновой функции Ψ(r, θ, ϕ) с учетом того, что R(r) должна быть конечной при стремлении r к

бесконечности или нулю, получают для нее такой вид

n

 

Rn,l (r) = eAr rl r aαr α ,

(5.18)

α=0

где A = −

2mE

, Е < 0 .

 

2

 

Подставляя (5.18) в уравнение (5.12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях r, получают рекуррентную формулу для коэффициентов аα, из которой находят значения энергии Еn электрона водородоподобного атома в стационарных состояниях:

En = −z

2 me4

1

 

= −z

2 me4

1

.

(5.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 (nr + l

+1)2

2

2

 

n2

 

 

 

 

 

Таким образом, собственные значения Еn энергии, являющиеся дискретными величинами и зависящие от главного квантового числа n = nr + l + 1, где nr – это радиальное квантовое число, получены без новых гипотез, а только последовательным решением уравнения Шредингера.

Главное квантовое число n = nr + l + 1 принимает такие значения: n = 1, 2, 3,… Наименьшее значение для орбитального квантового числа l есть нуль, а наибольшее (при заданном n) равно n – 1 и соответствует случаю, когда nr = 0, поэтому l = 0, 1, 2,…,(n – 1). Отметим, что для заданного квантового числа n существует n различных значений квантового числа l. Для магнитного орбитального квантового числа ml возможны следующие значения: ml = 0, ±1, ±2,…,±l. Для заданного квантового числа l существует (2l + 1) различных значений квантового числа ml.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 95 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

С учетом полученных решений для функций R(r), Θ(θ) и Ф(φ), волновая функция Ψ(r )= Ψ(r, θ, ϕ) для электрона водородободобного атома, соответ-

ствующая стационарным состояниям, записывается в виде

 

n

1 Pml (θ)eimlϕ . (5.20)

Ψ(r ) = Ψn,l,m (r, θ, ϕ) = eAr r l r aαr α

l

α=0

2π l

Следовательно, различные стационарные состояния электрона в атоме характеризуются тремя квантовыми числами: n, l и ml.

Главное квантовое число n характеризует номер стационарной орбиты, т.е. положение электрона вокруг ядра, зависящее от расстояния r, при котором вероятность обнаружения электрона максимальна. Орбитальное квантовое число l характеризует форму стационарной орбиты: l = 0 – круговая орбита, l = 1 – эллиптическая орбита, l = 2 – гантелеобразная орбита, … В атомной физике приняты такие буквенные обозначения: если l = 0, то это соответствует s-состоянию электрона , l = 1 – p-состоянию электрона , l = 2 – d- состоянию электрона, …. Магнитное орбитальное квантовое число ml характеризует ориентацию плоскости стационарной орбиты в пространстве относительно выбранного направления. В атомной физике для того, чтобы указать состояние электрона, используют следующее обозначение: n(s, p, d, f ,...) .

Из формулы (5.19) для энергии Еn электрона, находящегося в кулоновском поле водородоподобного атома, видно, что все энергетические уровни электрона c определенным значением числа n, за исключением n = 1, являются вырожденными. Каждый n-й уровень вырожден по квантовому числу l с кратностью n, а каждый l-й уровень вырожден по квантовому числу ml с кратностью (2l + 1). Общая кратность вырождения энергетического уровня с квантовым числом n равна

n1

= n2 .

(2l +1)

l=0

Это означает, что электрон в состояниях с одинаковым значением n и различными значениями l и ml имеет одинаковое значение энергии Еn. Для лучшего понимания того, о чем было сказано, на рис. 5.7 схематически представлены несколько энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме.

Испускание и поглощение излучения атомом происходит с изменением его стационарного состояния, т.е. при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. На эти переходы различные законы сохранения накладывают некоторые ограничения. Следовательно, и на изменение кван-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 96 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Рис. 5.7

товых чисел, описывающих стационарные состояния атома, накладываются ограничения, называемые правилами отбора.

Правило отбора для главного квантового числа n вытекает из закона сохранения энергии. Атом испускает и поглощает фотон, энергия которого hν соответствует разности любых двух энергетических уровней (энергий стационарных состояний) атома, поэтому ∆n – любое.

Правило отбора для орбитального квантового числа l является следствием закона сохранения момента количества движения. Фотон обладает собственным моментом количества движения, равным 1ħ, который добавляется или вычитается из момента атома при поглощении или испускании фотона, поэтому ∆l = ± 1.

Правило отбора для магнитного орбитального квантового числа ml:

ml = 0, ± 1.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 97 из 142

Кислов А.Н. Атомная физика

Глава 6. Орбитальный, спиновый и полный механический и магнитный моменты электрона в атоме

6.1. Орбитальный момент количества движения, магнитный орбитальный момент

В квантовой механике при изучении движения в сферически-

симметричном поле, например вращения электрона вокруг ядра,

важную

роль играет оператор орбитального момента количества движения l

 

 

= r × p .

 

 

 

Одним из свойств этого оператора является то, что оператор квадрата момента количества движения l 2 коммутирует с оператором каждой из проекций lx , ly и lz момента количества движения, например l 2 lz lz l 2 = 0. Данное

равенство означает, что операторы l 2 и lz имеют общие собственные функции, а их собственные значения могут одновременно иметь определенные

значения. Вместе с тем операторы проекций lx , ly

и lz не коммутируют друг

с другом, а это значит, что проекции lx , l y и lz

не могут одновременно иметь

строго определенные значения.

 

l 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим два оператора

 

и lz , которые в сферической системе ко-

ординат (r, θ, φ) имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

2

 

l 2 = − 2

 

 

 

 

sin θ

 

 

+

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

sin 2

θ ∂ϕ2

sin θ ∂θ

 

 

∂θ

 

 

 

 

lz

= −i

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

 

 

 

Запишем для них уравнения на собственные значения и собственные функции:

l 2 Ψ = ll2 Ψ ,

(6.1)

lz Ψ = lz Ψ .

(6.2)

Из сравнения уравнения (6.1) и уравнения (5.13), полученного ранее для сферической функции Y(θ, φ), следует, что эти уравнения совпадают, если собст-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 98 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

венными функциями Ψ оператора l 2 будут сферические функции Y(θ, φ) (5.17): Ψ = Y(θ, φ), а его собственные значения ll2 определяются как

ll2 = 2l(l +1) ,

где l – это орбитальное квантовое число: l = 0, 1, 2,…(n – 1). Из этого равен-

ства следует, что абсолютная величина

l

момента количества движения l ,

равная значению ll, может вычисляться по формуле

 

 

l

 

=ll =

l(l +1) .

(6.3)

 

 

Таким образом, орбитальное квантовое число l определяет абсолютную величину l момента количества движения, или, другими словами, длину вектора

l , которая является квантованной величиной.

Если в уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекции lz момента количества движения на ось z подставить собст-

венные функции Ψ в виде сферических функций Y(θ, φ) (5.17), то получим собственные значения lz , для которых справедливо равенство

lz = ħml ,

(6.4)

где ml – это магнитное орбитальное квантовое число: ml = 0, ±1, ±2, …±l. Следовательно, проекция lz орбитального момента на ось z является кванто-

ванной величиной и кратна постоянной Планка ħ. Магнитное орбитальное

квантовое число ml

определяет ориентацию вектора l относительно оси z и

возможные значения его проекции lz на ось z.

 

 

 

 

 

 

Представленное

выше

квантование

 

 

 

(6.3) и (6.4) длины

l

и проекции lz ор-

 

 

 

битального момента количества движе-

 

 

 

ния l называется

пространственным

 

 

 

квантованием. Из квантования проекции

 

 

 

lz следует, что вектор l может состав-

 

 

 

лять с осью z только определенные углы

 

 

 

α (рис. 6.1):

 

 

 

 

 

 

cos α = lz =

ml

.

 

 

Рис. 6.1

 

 

 

 

l

l(l +

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

 

 

 

Стр. 99 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Отметим, что если известно значение проекции lz , то из-за некоммута-

тивности операторов проекций lx , ly и lz

значения проекций lx и l y не оп-

ределены. В этом случае следует говорить только об ориентации вектора l относительно оси z. Наглядно это можно представить таким образом. Вектор

l как бы прецессирует вокруг оси z по поверхности конуса с углом раствора, равным α (рис. 6.1).

Электрон, вращаясь вокруг ядра, должен обладать помимо орбитального момента количества движения l еще и магнитным орбитальным моментом

µl . Причем эти векторы связаны соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µl = −γl l = −

e

 

l = −gl

e

l

,

 

 

(6.5)

 

 

 

2mc

2mc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где γl = gl

 

e

– орбитальное гиромагнитное отношение. Здесь ввели обо-

2mc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значение gl

= 1. Поскольку величина

l

 

и проекция lz

момента количества

движения l

являются квантованными величинами, то и величина

 

µl

 

и про-

 

 

екция µlz

магнитного орбитального момента µl будут квантованными вели-

чинами, а правила квантования для них имеют вид

 

 

 

 

µl

= γl l = γl l(l +1) = gl

 

e

l(l +1) = gl µb

l(l +1) ,

(6.6)

 

 

2mc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µlz = −γl lz = −γl ml = −gl

 

e

ml = −gl µb ml

,

(6.7)

 

 

 

2mc

 

 

 

 

 

 

 

 

где µb =

 

e

– магнетон Бора.

 

 

 

 

 

2mc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2. Опыт Штерна и Герлаха. Собственный момент количества движения электрона, магнитный спиновый момент.

Спиновое и магнитное спиновое квантовые числа

Вначале рассмотрим элементы теории, которую можно использовать при анализе опыта Штерна и Герлаха. Возьмем частицу, имеющую энергию Ео и обладающую магнитным моментом µ, и поместим ее в постоянное магнит-

ное поле с напряженностью H . Тогда, во-первых, магнитный момент µ будет

ориентироваться относительно направления вектора H , прецессируя при этом вокруг этого направления с частотой, связанной с величиной напряжен-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 100 из 142

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]