
Кислов. атомная физика
.pdf
Кислов А.Н. |
Атомная физика |
Считая, что Е > Uo, напишем стационарное уравнение Шредингера для области 1:
|
|
d 2 |
Ψ (x) + k 2 |
Ψ (x) = 0 , |
где k 2 = 2m E ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dx2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для области 2: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
d 2 |
Ψ (x) + q2 |
Ψ (x) = 0 , |
где q2 = 2m (E −U |
o |
) ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
dx2 |
2 |
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
для области 3: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
d 2 |
Ψ (x) + k 2Ψ (x) = 0 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем три однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений запишем в виде
Ψ1(x) = a1eikx +b1e−ikx , Ψ2 (x) = a2eiqx +b2e−iqx ,
Ψ3 (x) = a3eikx +b3e−ikx = a3eikx .
=0
Общее решение есть суперпозиция двух частных решений, каждое из которых представляет плоскую волну де Бройля. Причем, если экспонента со знаком «+», то волна распространяется в положительном направлении оси х, если с «–», то в отрицательном направлении. Например, в выражении для Ψ1 первое слагаемое определяет падающую волну с амплитудой а1, а второе слагаемое – отраженную волну с амплитудой b1. В области 3 нет отраженной волны, поэтому второе слагаемое в выражении для Ψ3 равно нулю.
Исходя из определения коэффициентов D и Rотр, запишем для них следующие равенства:
|
|
a |
|
|
|
2 |
|
|
|
b |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D = |
|
|
3 |
|
|
|
и Rотр = |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
Таким образом, для вычисления коэффициентов D и Rотр необходимо найти коэффициенты а1, b1 и а3. Для этого используем граничные условия (5.10), которые позволяют найти четыре уравнения.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 91 из 142 |

Кислов А.Н. |
Атомная физика |
Для х = 0:
a1 +b1 = a2 +b2 ,
ka1 − kb1 = qa2 − qb2 .
Для х = l:
a2eiql +b2e−iql = a3eikl ,
a2eiql −b2e−iql = a3 kq eikl .
Решая эти уравнения, найдем коэффициенты D и Rотр:
|
|
(k 2 |
− q 2 )2 sin 2 ql |
−1 |
||||||||||||||
D = 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4k |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4k 2 q 2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||
Rотр = 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
(k |
− q |
) |
sin |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ql |
|
(5.11а)
(5.11б)
Из этих выражений следует, что при выполнении неравенства Е > Uo имеем D ≠ 1 и Rотр ≠ 0. Этот результат для квантовой частицы отличается от того, что получается для классической частицы, для которой D = 1 и Rотр = 0. Если же справедливо неравенство Е < Uo, то получим D ≠ 0 и Rотр ≠ 1 (для классической частицы: D = 0 и Rотр = 1).
5.4. Квантово-механическая теория атома.
Электрон в водородоподобном атоме. Энергетический спектр электрона. Квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное орбитальное
Результаты, такие как дискретность энергетического спектра водородоподобного атома, полученные в теории Бора с использованием ряда постулатов, в квантовой механике выводятся без применения каких-либо постулатов. Покажем это.
Рассмотрим водородоподобный атом с зарядом ядра +ze и электроном с зарядом –е и массой m, двигающимся в кулоновском поле неподвижного ядра по круговой орбите радиуса r (рис. 5.6).
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 92 из 142 |

Кислов А.Н. |
Атомная физика |
Задача состоит в решении стационарного уравнения Шредингера вида
∆Ψ(r ) + 2m2 (E + zer2 )Ψ(r ) = 0 .
Отметим, что с таким видом потенциальной энергии U(r) = − zer2 стацио-
нарное уравнение Шредингера допускает точное решение.
Из-за сферической симметрии силового поля U(r) проще всего решить задачу в сферической системе координат (r, θ, φ), центр которой совмещен с ядром атома. Таким образом, волновая функция Ψ(r) для электрона является
функцией трех переменных Ψ(r) = Ψ(r, θ, ϕ) . Воспользуемся выражением
оператора Лапласа ∆, записанным в сферических координатах (r, θ, стационарное уравнение Шредингера примет вид
1 |
|
∂ |
∂Ψ |
|
|
|
1 |
|
∂ |
∂Ψ |
|
|
|
1 |
|
|
∂2Ψ |
|
2m |
ze2 |
|||||
|
|
|
|
r 2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
sin θ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
E + |
|
r |
2 |
|
r |
2 |
|
|
|
r |
2 |
sin |
2 |
θ ∂ϕ |
2 |
2 |
r |
||||||||||
|
∂r |
∂r |
|
sin θ ∂θ |
∂θ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ), тогда
Ψ = 0 .
Решим это уравнение методом разделения переменных. Ищем волновую функцию Ψ(r, θ, ϕ) в виде произведения функции R(r), зависящей только от
радиуса r, и функции Y(θ, φ), зависящей только от угловых координат θ и φ (сферическая функция): Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y(θ, φ). Подставляя это равенство в
стационарное уравнение Шредингера и умножая все члены на множитель r2/(RY), перепишем уравнение в виде
1 |
|
d |
dR |
|
2m |
ze |
2 |
|
1 |
|
∂ |
∂Y |
|
1 |
|
|
∂2Y |
|
||||||
|
|
|
r 2 |
|
|
+ |
|
E + |
|
|
r 2 |
= − |
|
|
|
sin θ |
|
− |
|
|
|
|
|
= λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
R dr |
∂r |
|
2 |
r |
|
|
|
Y sin θ ∂θ |
∂θ |
|
Y sin |
θ ∂ϕ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Левая часть выражения зависит от r, правая часть – от θ и φ, поэтому их равенство при всех значениях переменных r, θ и φ возможно, когда каждая из частей будет постоянной величиной. Обозначим ее через λ. Таким образом, стационарное уравнение Шредингера распалось на два уравнения – уравне-
ние для радиальной части R(r) и угловой части Y(θ, φ) волновой функции
Ψ(r, θ, ϕ) :
1 |
|
d |
dR |
|
2m |
ze |
2 |
|
λ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r 2 |
|
|
+ |
|
E + |
|
|
|
− |
|
R = 0 , |
(5.12) |
|
|
r 2 |
|
|
|
r |
|
r 2 |
||||||||||
|
|
dr |
∂r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стр. 93 из 142 |

Кислов А.Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Атомная физика |
||
1 |
|
∂ |
∂Y |
|
1 |
|
∂2Y |
+ λY = 0 . |
|
||
|
|
|
|
sin θ |
|
+ |
|
|
|
(5.13) |
|
|
|
|
|
sin 2 |
θ ∂ϕ2 |
||||||
|
sin θ ∂θ |
∂θ |
|
|
|
Уравнение для сферической функции Y(θ, φ) также методом разделения переменных разделим на два уравнения. Для этого функцию Y(θ, φ) представим в виде произведения функции Θ(θ) и функции Ф(φ): Y(θ, φ) = Θ(θ)Ф(φ). Подставляя это равенство в уравнение для Y(θ, φ) и умножая все члены на множитель sin2θ/(ΘФ), получим уравнение
sin |
θ d |
dΘ |
+ λsin 2 |
|
1 |
|
d 2Ф |
= ml |
2 . |
||||
|
|
|
|
sin θ |
|
|
θ = − |
|
|
|
|||
Θ |
|
|
|
Ф dϕ2 |
|||||||||
|
|
dθ |
dθ |
|
|
|
|
Левая часть этого выражения зависит от θ, правая часть – от φ, поэтому равенство частей при всех значениях переменных θ и φ возможно, когда каждая из них будет постоянной величиной. Обозначим ее через ml2. Итак, уравнение для сферической функции Y(θ, φ) распалось на два уравнения – уравнение для функции Θ(θ) и функции Ф(φ):
1 d |
dΘ |
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
sin θ |
|
|
|
+ |
λ − |
|
|
l |
|
Θ = 0 |
, |
(5.14) |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
sin θ dθ |
dθ |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
θ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
d |
2Ф |
|
+ ml |
2 |
Ф |
= 0 . |
|
|
|
(5.15) |
|||
|
|
|
|
dϕ2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, чтобы найти волновую функцию Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Ф(φ),
надо решить три представленных выше уравнения – (5.12), (5.14) и (5.15). Решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами (5.15) для функции Ф(φ) с учетом нормировки этой функции имеет вид
Фm (ϕ) = |
1 |
eimlϕ . |
(5.16) |
l |
2π |
|
|
|
|
|
Из этого следует, что для однозначности функции Ф(φ) она должна быть периодической с периодом 2π: Фml (ϕ) =Фml (ϕ + 2π) , а это возможно, когда
число ml принимает такие значения, как 0, ±1, ±2, … Число ml называют магнитным орбитальным квантовым числом.
Решениями уравнения (5.14) для функции Θ(θ) будут нормированные присоединенные функции Лежандро Plml (θ). При нахождении этого решения
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 94 из 142 |

Кислов А.Н. |
Атомная физика |
учитывали, что λ = l(l+1), причем │ml│≤ l, т. е. ml = 0, ±1, ±2,... …,±l. Число l называют орбитальным квантовым числом. Следовательно, сферическая функция Y(θ, φ) с учетом ее нормировки
2π |
π |
2 sin θdθdϕ =1 |
|
∫ |
∫ |
Yl,ml (θ, ϕ) |
|
0 |
0 |
|
|
запишется в виде |
|
|
|
Y |
(θ, ϕ) = |
1 Pml (θ)eimlϕ . |
(5.17) |
l,ml |
|
2π l |
|
Решая уравнение (5.12) для радиальной части R(r) волновой функции Ψ(r, θ, ϕ) с учетом того, что R(r) должна быть конечной при стремлении r к
бесконечности или нулю, получают для нее такой вид
n |
|
Rn,l (r) = e−Ar rl ∑r aαr α , |
(5.18) |
α=0
где A = − |
2mE |
, Е < 0 . |
|
2 |
|
Подставляя (5.18) в уравнение (5.12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях r, получают рекуррентную формулу для коэффициентов аα, из которой находят значения энергии Еn электрона водородоподобного атома в стационарных состояниях:
En = −z |
2 me4 |
1 |
|
= −z |
2 me4 |
1 |
. |
(5.19) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 (nr + l |
+1)2 |
2 |
2 |
|
n2 |
|||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, собственные значения Еn энергии, являющиеся дискретными величинами и зависящие от главного квантового числа n = nr + l + 1, где nr – это радиальное квантовое число, получены без новых гипотез, а только последовательным решением уравнения Шредингера.
Главное квантовое число n = nr + l + 1 принимает такие значения: n = 1, 2, 3,… Наименьшее значение для орбитального квантового числа l есть нуль, а наибольшее (при заданном n) равно n – 1 и соответствует случаю, когда nr = 0, поэтому l = 0, 1, 2,…,(n – 1). Отметим, что для заданного квантового числа n существует n различных значений квантового числа l. Для магнитного орбитального квантового числа ml возможны следующие значения: ml = 0, ±1, ±2,…,±l. Для заданного квантового числа l существует (2l + 1) различных значений квантового числа ml.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 95 из 142 |

Кислов А.Н. |
Атомная физика |
С учетом полученных решений для функций R(r), Θ(θ) и Ф(φ), волновая функция Ψ(r )= Ψ(r, θ, ϕ) для электрона водородободобного атома, соответ-
ствующая стационарным состояниям, записывается в виде
|
n |
1 Pml (θ)eimlϕ . (5.20) |
Ψ(r ) = Ψn,l,m (r, θ, ϕ) = e−Ar r l ∑r aαr α |
||
l |
α=0 |
2π l |
Следовательно, различные стационарные состояния электрона в атоме характеризуются тремя квантовыми числами: n, l и ml.
Главное квантовое число n характеризует номер стационарной орбиты, т.е. положение электрона вокруг ядра, зависящее от расстояния r, при котором вероятность обнаружения электрона максимальна. Орбитальное квантовое число l характеризует форму стационарной орбиты: l = 0 – круговая орбита, l = 1 – эллиптическая орбита, l = 2 – гантелеобразная орбита, … В атомной физике приняты такие буквенные обозначения: если l = 0, то это соответствует s-состоянию электрона , l = 1 – p-состоянию электрона , l = 2 – d- состоянию электрона, …. Магнитное орбитальное квантовое число ml характеризует ориентацию плоскости стационарной орбиты в пространстве относительно выбранного направления. В атомной физике для того, чтобы указать состояние электрона, используют следующее обозначение: n(s, p, d, f ,...) .
Из формулы (5.19) для энергии Еn электрона, находящегося в кулоновском поле водородоподобного атома, видно, что все энергетические уровни электрона c определенным значением числа n, за исключением n = 1, являются вырожденными. Каждый n-й уровень вырожден по квантовому числу l с кратностью n, а каждый l-й уровень вырожден по квантовому числу ml с кратностью (2l + 1). Общая кратность вырождения энергетического уровня с квантовым числом n равна
n−1 |
= n2 . |
∑(2l +1) |
l=0
Это означает, что электрон в состояниях с одинаковым значением n и различными значениями l и ml имеет одинаковое значение энергии Еn. Для лучшего понимания того, о чем было сказано, на рис. 5.7 схематически представлены несколько энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме.
Испускание и поглощение излучения атомом происходит с изменением его стационарного состояния, т.е. при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. На эти переходы различные законы сохранения накладывают некоторые ограничения. Следовательно, и на изменение кван-
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 96 из 142 |

Кислов А.Н. |
Атомная физика |
Рис. 5.7
товых чисел, описывающих стационарные состояния атома, накладываются ограничения, называемые правилами отбора.
Правило отбора для главного квантового числа n вытекает из закона сохранения энергии. Атом испускает и поглощает фотон, энергия которого hν соответствует разности любых двух энергетических уровней (энергий стационарных состояний) атома, поэтому ∆n – любое.
Правило отбора для орбитального квантового числа l является следствием закона сохранения момента количества движения. Фотон обладает собственным моментом количества движения, равным 1ħ, который добавляется или вычитается из момента атома при поглощении или испускании фотона, поэтому ∆l = ± 1.
Правило отбора для магнитного орбитального квантового числа ml:
∆ml = 0, ± 1.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 97 из 142 |

Кислов А.Н. Атомная физика
Глава 6. Орбитальный, спиновый и полный механический и магнитный моменты электрона в атоме
6.1. Орбитальный момент количества движения, магнитный орбитальный момент
В квантовой механике при изучении движения в сферически-
симметричном поле, например вращения электрона вокруг ядра, |
важную |
|
роль играет оператор орбитального момента количества движения l |
|
|
= r × p . |
||
|
|
|
Одним из свойств этого оператора является то, что оператор квадрата момента количества движения l 2 коммутирует с оператором каждой из проекций lx , ly и lz момента количества движения, например l 2 lz – lz l 2 = 0. Данное
равенство означает, что операторы l 2 и lz имеют общие собственные функции, а их собственные значения могут одновременно иметь определенные
значения. Вместе с тем операторы проекций lx , ly |
и lz не коммутируют друг |
|||||||||||||
с другом, а это значит, что проекции lx , l y и lz |
не могут одновременно иметь |
|||||||||||||
строго определенные значения. |
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим два оператора |
|
и lz , которые в сферической системе ко- |
||||||||||||
ординат (r, θ, φ) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∂ |
|
|
∂ |
1 |
|
|
∂2 |
|
||||
l 2 = − 2 |
|
|
|
|
sin θ |
|
|
+ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
θ ∂ϕ2 |
|||||||
sin θ ∂θ |
|
|
∂θ |
|
||||||||||
|
|
|
lz |
= −i |
|
∂ |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
Запишем для них уравнения на собственные значения и собственные функции:
l 2 Ψ = ll2 Ψ , |
(6.1) |
lz Ψ = lz Ψ . |
(6.2) |
Из сравнения уравнения (6.1) и уравнения (5.13), полученного ранее для сферической функции Y(θ, φ), следует, что эти уравнения совпадают, если собст-
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 98 из 142 |

Кислов А.Н. |
Атомная физика |
венными функциями Ψ оператора l 2 будут сферические функции Y(θ, φ) (5.17): Ψ = Y(θ, φ), а его собственные значения ll2 определяются как
ll2 = 2l(l +1) ,
где l – это орбитальное квантовое число: l = 0, 1, 2,…(n – 1). Из этого равен-
ства следует, что абсолютная величина |
l |
момента количества движения l , |
||||
равная значению ll, может вычисляться по формуле |
|
|||||
|
l |
|
=ll = |
l(l +1) . |
(6.3) |
|
|
|
Таким образом, орбитальное квантовое число l определяет абсолютную величину l момента количества движения, или, другими словами, длину вектора
l , которая является квантованной величиной.
Если в уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекции lz момента количества движения на ось z подставить собст-
венные функции Ψ в виде сферических функций Y(θ, φ) (5.17), то получим собственные значения lz , для которых справедливо равенство
lz = ħml , |
(6.4) |
где ml – это магнитное орбитальное квантовое число: ml = 0, ±1, ±2, …±l. Следовательно, проекция lz орбитального момента на ось z является кванто-
ванной величиной и кратна постоянной Планка ħ. Магнитное орбитальное
квантовое число ml |
определяет ориентацию вектора l относительно оси z и |
||||||
возможные значения его проекции lz на ось z. |
|
|
|
||||
|
|
|
Представленное |
выше |
квантование |
||
|
|
|
(6.3) и (6.4) длины |
l |
и проекции lz ор- |
||
|
|
|
битального момента количества движе- |
||||
|
|
|
ния l называется |
пространственным |
|||
|
|
|
квантованием. Из квантования проекции |
||||
|
|
|
lz следует, что вектор l может состав- |
||||
|
|
|
лять с осью z только определенные углы |
||||
|
|
|
α (рис. 6.1): |
|
|
|
|
|
|
|
cos α = lz = |
ml |
. |
|
|
|
Рис. 6.1 |
|
|
||||
|
|
l |
l(l + |
1) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
|
|
|
Стр. 99 из 142 |

Кислов А.Н. |
Атомная физика |
Отметим, что если известно значение проекции lz , то из-за некоммута- |
|
тивности операторов проекций lx , ly и lz |
значения проекций lx и l y не оп- |
ределены. В этом случае следует говорить только об ориентации вектора l относительно оси z. Наглядно это можно представить таким образом. Вектор
l как бы прецессирует вокруг оси z по поверхности конуса с углом раствора, равным α (рис. 6.1).
Электрон, вращаясь вокруг ядра, должен обладать помимо орбитального момента количества движения l еще и магнитным орбитальным моментом
µl . Причем эти векторы связаны соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
µl = −γl l = − |
e |
|
l = −gl |
e |
l |
, |
|
|
(6.5) |
|||
|
|
|
2mc |
2mc |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где γl = gl |
|
e |
– орбитальное гиромагнитное отношение. Здесь ввели обо- |
||||||||||||
2mc |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
значение gl |
= 1. Поскольку величина |
l |
|
и проекция lz |
момента количества |
||||||||||
движения l |
являются квантованными величинами, то и величина |
|
µl |
|
и про- |
||||||||||
|
|
екция µlz |
магнитного орбитального момента µl будут квантованными вели- |
|||||||
чинами, а правила квантования для них имеют вид |
|
|
||||||
|
|
µl |
= γl l = γl l(l +1) = gl |
|
e |
l(l +1) = gl µb |
l(l +1) , |
(6.6) |
|
|
2mc |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
µlz = −γl lz = −γl ml = −gl |
|
e |
ml = −gl µb ml |
, |
(6.7) |
|
|
|
|
2mc |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где µb = |
|
e |
– магнетон Бора. |
|
|
|
|
|
2mc |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
6.2. Опыт Штерна и Герлаха. Собственный момент количества движения электрона, магнитный спиновый момент.
Спиновое и магнитное спиновое квантовые числа
Вначале рассмотрим элементы теории, которую можно использовать при анализе опыта Штерна и Герлаха. Возьмем частицу, имеющую энергию Ео и обладающую магнитным моментом µ, и поместим ее в постоянное магнит-
ное поле с напряженностью H . Тогда, во-первых, магнитный момент µ будет
ориентироваться относительно направления вектора H , прецессируя при этом вокруг этого направления с частотой, связанной с величиной напряжен-
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005 |
Стр. 100 из 142 |