6.1. Простейшие задачи на плоскости

6.1.1. Расстояние между двумя точками

Пусть даны две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Рас-

6.1.2. Деление отрезка в данном отношении

Координаты середины отрезка С получаются при М1М=ММ2, то есть λ =1: xc = x1 +2 x2 , yc = y1 +2 y2 .

Отметим, что число λ не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М1М2, так как при изменении направления на противоположное λ не меняется.

6.2. Прямая линия на плоскости

6.2.1. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой на плоскости XOY получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z = 0.

Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением

Ax+By+C=0.

Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси OX (оси OY). Если С=0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку (x0,y0) перпендикулярно вектору n ={A, B}, ее уравнение принимает вид:

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .

6.2.2. Каноническое уравнение прямой

Если прямая проходит через точку (x0,y0) параллельно направляющему вектору a = {l,m} , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде

где t – параметр, t (−∞,∞) .

6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

6.2.4.Уравнение прямой, проходящей через данную точку

взаданном направлении

Пусть прямая составляет угол α с осью OX. Угловым коэффициентом прямой k называется число k = tgα .

Прямая может быть задана точкой М1(x1,y1) и угловым коэффициентом k или двумя точками

М1(x1,y1) и М2(x2,y2).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой

Ax+By+C=0, если B ≠ 0 , тогда y = k x +b , где k = − BА и b = − CB . Пусть прямая пересекает ось OY

в точке P(0,b).

Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

y − y1 = y2 − y1 (x − x1). x2 − x1

полученной прямой принимает вид уравнения прямой с угловым коэффициентом k, если b = y1 - k x1.

6.2.5. Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду уравнения прямой «в отрезках»: ax + by =1. Прямая в отрезках пересекает ось

OX в точке А(а,0) и ось OY в точке В(0,b).

6.2.6. Нормальное уравнение прямой

Пусть известно расстояние от прямой до начала

JJG

координат OP = p и угол α между перпендикуляром

к прямой и осью OX. Из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z = 0 и учитывая, что

cos(π2 −α) = sinα ,

получаем нормальное уравнение прямой на плоскости в виде:

xcosα + ysinα − p = 0 .

Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой

числа µ должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются

направляющими косинусами прямой.

Если угол между прямой и осью OX равен α и угол между прямой и осью OY равен β, то cos2 α + cos2 β =1.

6.2.7. Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой δ, d = |δ|,

По этой формуле δ положительно, если точка М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае δ отрицательно.

6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то координаты точки их пересечения (x0, y0) получаются как решение системы уравнений:

A1x + B1 y +C1 = 0,

A2 x + B2 y +C2 = 0

по формулам Крамера в виде:

6.2.9. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями:

y1 = k1x +b1, y2 = k2 x + b2.

Острый угол ϕ пересечения этих прямых (отсчитываемый против часовой стрелки) находится из следующих соотношений:

Если прямые заданы общими уравнениями А1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то