Teorija_Polja

Наряду с общим преобразованием перехода к другой системе координат в 3-мерном пространстве можно рассмотреть частный случай двумерного преобразования, при котором

одна координата в старой и новой системах совпадают. Таким преобразованиям соответствуют двумерные вращения (повороты в плоскости). Нетрудно показать, что любое трехмерное вращение можно представить в виде совокупности трех двумерных вращений. Действительно, трехмерное вращение это поворот на некоторый угол вокруг некоторой оси. Выберем первоначальное направление оси вращения как луч, идущий из центра сферы и задающий направление к ее полюсу. Чтобы перевести этот луч в произвольное направление, нужно два вращения: в плоскости, проходящей через луч, и далее в экваториальной плоскости. Третье вращение это вращение вокруг самого луча.

Двумерное преПо аналогии с 2-мерным вращением будем искать дву-

образование Ломерное преобразование перехода ИСО ИСО. Для этого ренца будем считать, что две из трех пространственных коор-

динат в ходе преобразования не изменяются (пусть это будут декартовы координаты x è y). В этом случае соотношение инвариантности интервала принимает вид:

c2 t2 − x2 = c2 t02 − x02.

Запишем сначала хорошо известное равенство, означающее, что при двумерных вращениях расстояние между точками (длина вектора) сохраняется:

откуда

Таким образом, в этом случае неизменной остается сумма квадратов вектора.

Каким должно быть преобразование, обеспечивающее неизменность разности квадратов ? Заметим, что полученное выше равенство выполняется вследствие особого свойства синуса и косинуса: сумма их квадратов равна 1. В математике хорошо известны аналогичные функциигиперболические синус и косинус для которых разность квадратов равна 1. Приведем полезные сведения:

ch(iϕ) ≡ cos ϕ, sh(iϕ) ≡ i sin ϕ, th(iϕ) ≡ i tgϕ,

Теперь нетрудно угадать вид искомого преобразования:

Действительно, в этом случае

c2 t2 − x2 = (Δx0 shϕ + c t0 chϕ)2 − (Δx0 chϕ + c t0 shϕ)2 = = c2 t02 − x02 (ch2ϕ − sh2ϕ) = c2 t02 − x02.

Если договориться, рассматривая интервалы, помещать начальную точ- ку в начало координат, знак в этих формулах можно не писать.

Физический смысл Рассмотрим две ИСО S è S0, соответственные декар-

v. Запишем закон движения начала координат штрихованной системы. Подставляя в (1.11) x0 = 0, имеем:

проходят мимо часов, зафиксированных в точках x1 è x2 системы S. В эти же моменты измеряется время и на часах системы S. По формулам преобразований Лоренца получаем:

t1 = γ t01 + cv2 0 , t2 = γ t02 + cv2 0 , t ≡ t2 − t1 = γ t0.

Мы еще раз получили закон сокращения времени: временной промежуток в собственном времени движущейся системы короче промежутка в неподвижной системе.

Лоренцево Найдем теперь аналогичную закономерность для длин. сокращение Пуст в неподвижной системе S покоится стержень, лежа-

ùèé íà îñè Ox и имеющий концы в точках x1 è x2. Найдем его длину в подвижной ИСО S0 (для определенности считаем, что измерение произведено в момент времени t0, хотя результат от времени не зависит. По формулам (1.13) находим:

x1 = (x01 + v t0) , x2 = (x02 + v t0) , x ≡ x2 − x1 = γ x0.

Отсюда следует формула, связывающая длину стержня в его системе покоя (`0) с длиной в движущейся системе:

r

v2 ` = `0 1 − c2 .

Полученный результат описывает эффект Лоренцева сокращения: движущийся стержень представляется неподвижному наблюдателю более коротким, чем неподвижный стержень.

Преобразование скорости. Найдем формулы, позволяющие расчи- тать значение скорости частицы в одной ИСО по известной скорости в другой ИСО. Для этого запишем преобразования Лоренца для дифференциалов:

dx = γ (dx0 + v dt0) , dy = dy0, dz = dz0, dt = γ dt0 + cv2 dx0 .

Вспомним общее определение детерминанта (определителя) квадратной матрицы размера n:

i,j,k,...l

Здесь S(i, j, k, . . . l) = ±1; знак плюс (минус) выбирается, если подстановка {i, j, k, . . . l} получается из исходной подстановки {1, 2, 3, . . . n} ïó-

тем выполнения четного (нечетного) числа транспозиций (т.е. попарных перестановок).

Остановимся подробнее на случае n = 3. Согласно приведенному определению, детерминант можно тогда представить в виде:

Справа в последнем равенстве введена 3-индексная величина ei,j,k, ïðè- нимающая значения 0, ±1. Эта величина имеет специальное название:

i,j,k совершенно антисимметричный единичный псевдотен-

зор 3-го ранга (тензор Леви-Чивиты).

Записать компоненты тензора Леви-Чивиты в виде матрицы трудно, т.к. у него 3 индекса (набор компонент образует не квадратную, акубическую таблицу). Можно, однако, заметить, что имеется простое правило вычисления ненулевых его компонент:

Нетрудно понять, что обращаются в нуль те компоненты тензора , среди

индексов которых есть одинаковые в этом случае невозможно определить четность подстановки.

Запишем основные операции векторной алгебры в виде соотношений для компонент векторов. Будем при этом использовать тензор Леви-

Хорошо известно соотношение для двойного векторного произведения, которое можно доказать из геометрических соображений. Покажем, как можно получить из него соотношение для компонент тензора Леви- Чивита:

Запишем еще несколько полезных соотношений:

Равенство (1.23) можно доказать, опираясь непосредственно на определение (1.17). Действительно, тензор Леви-Чивиты отличен от нуля толь-

ко когда i j k есть результат перестановки чисел 1, 2 и 3. Это означает, что произведение двух таких тензоров отлично от нуля, если каждый из индексов i, j, k совпадает с одним из индексов l, m, n т.е. в ответе

должны появляться члены типа δilδjmδkn и все аналогичные.

Преобразование комРассмотрим теперь вопрос о том, как преобразуют-

понент вектора ся различные величины при переходе к новой системе координат. Запишем преобразования для

координат вектора:

33

XX

Потребуем, чтобы скалярное произведение было инвариантом такого преобразования:

= GT G ij = δij GT G = E.

Итак, мы приходим к выводу: для выполнения поставленного условия

матрица преобразования должна быть ортогональной .