Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5136 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Teorija_Polja

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
694.14 Кб
Скачать
☆

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

101

Снимая таким образом интеграл в выражении для потенциала, находим:

ϕ(r, t) =

 

 

 

e

1

.

 

r

 

r0(τ )

 

 

1

(r−r0(τ ))·v0(τ )

|

−

 

 

 

 

 

| 1 − c |r−r0(τ )|

Упрощая знаменатель, запишем окончательное выражение для ϕ, а также аналогичное выражение для векторного потенциала A:

ϕ(r, t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

,

 

(7.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

−

r0(τ )

1

(r

−

r0(τ ))

·

v0(τ )

 

|

 

 

 

| − c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(r, t) =

1

 

 

 

 

 

e v0(τ )

 

 

 

 

 

,

(7.7)

c

 

|

r

−

r0(τ

)

1

(r

−

r0(τ ))

·

v0(τ )

 

 

 

 

 

| − c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные формулы известны как потенциалы Льенара - Вихерта. Здесь τ = τ (r, t) решение уравнения:

1

τ − t + c|r − r0(τ)| = 0,

в котором неизвестной считается τ.

7.4Связь между спектральными компонентами потенциалов и плотностей зарядов (токов)

Полученные выше выражения связывают потенциалы с функциями, описывающими заряды, в предположении, что все они явно зависят от времени. В физике и технике часто более полезно знать не временные зависимости, а частотные спектры (спектры Фурье). Это связано, в частности, с тем, что развита техника спектральных измерений.

Используя полученные выше выражения (7.4, 7.5), нетрудно найти связь между спектром плотности заряда и спектром скалярного потенциала (связь между спектром плотности тока и спектром векторного

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

102

потенциала находится аналогично). Итак,

 

 

 

∞

dt e−iωtϕ(r, t) =

 

ϕ(r, ω) = √2π Z

 

e

1

 

 

 

 

−∞

 

 

∞

Z

= √1 2π

−∞

Z

= √1 2π

dt e−iωt

dV 0

ρ(r0

, t − |r − r0|/c)

=

 

 

 

Z

|r − r0|

 

 

 

dV 0

∞

 

|)

=

Z

dτ |r(−0 r0| e−iω(τ+ c |r−r0

 

 

 

ρ r , τ)

1

 

 

 

−∞

= √1 2π

dV 0

exp

iω(τ +

1

|

r

−

r

0

|

 

∞

dτ ρ(r0

, τ)e−iωτ

=

−

r

r

 

c

 

 

 

Z

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

|

−

 

 

|

 

ω

 

 

 

−∞

 

 

 

 

=

Z dV 0

ρ(r0

, )

e−iω|r−r0|/c.

 

 

 

r

r0

 

 

 

 

 

 

e|

 

−

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итоговые выражения для частотных спектров потенциалов принимают вид:

ϕ(r, ω) =

Z dV 0

ρr(r−0, r0)| e−iω|r−r0|/c,

 

e

 

 

 

 

e|

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

j(r0, ω)

iω r r0

 

/c

 

A(r, ω) =

 

 

 

Z dV 0

 

 

 

 

 

e−

| −

|

 

.

 

c

 

r

−

r0

 

 

e

 

 

 

 

 

e|

 

|

 

 

 

 

(7.8)

(7.9)

Спектральные функции потенциалов одиночного движущегося заряда Пусть плотность отвечает одиночному заряду:

ρ(r, t) = e δ(r − r0(t)). Подставляя формулы предыдущего раздела, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

∞

ϕ(r, ω) = √2π Z

dτ

e

 

 

 

1

 

 

 

 

∞

 

 

 

−∞

= √2π Z

dτ Z

dV 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

∞

 

=

 

 

 

√2π Z

 

 

 

 

 

 

 

e

 

−∞

Z dV 0 ρ(r0, τ) e−iω(τ+|r−r0|/c) =

|r − r0|

e δ(r − r0(τ))

e−iω(τ+|r−r0|/c) =

 

|r − r0|

dτ

e−iω(τ−|r−r0(τ)|/c)

.

 

 

|r − r0(τ)|

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

103

Для векторного потенциала вычисления проводятся аналогично. Окон- чательные выражения имеют вид:

∞

Z

ϕe(r, ω) = √e

2π

−∞

∞

Z

Ae(r, ω) = √e c 2π

−∞

dτ

 

|r − r0(τ)| e−iω(τ−|r−r0

(τ)|/c),

v0(τ) dτ e−iω(τ−|r−r0(τ)|/c).

|r − r0(τ)|

(7.10)

(7.11)

Явные выражения для напряженностей полей движущегося заряда Поскольку нам известны потенциалы, расчет напряженностей полей можно выполнить путем прямого вычисления по формулам:

1

∂A

 

E = −

 

 

 

 

 

− grad ϕ, H = rot A.

c

 

∂t

Приведем итоговые выражения:

 

 

 

2

2

~

E =

e (1 − v

/c

 

) ξ

 

3

2

~

·

n)

 

R

(ξ

 

 

H = [n × E].

Здесь введены обозначения:

 

 

 

~

 

 

 

 

 

( · n)

 

+

e n × [ξ

× v˙ ]

,

 

R c

2

~

 

3

 

 

 

ξ

 

 

 

(7.12)

(7.13)

 

 

~

 

 

R = r − r0(τ), n = R/R, ξ = n − v/c,

~

· n = 1

− (n · v)/c, v˙ =

∂v

ξ

∂τ

.

Первое и второе слагаемое в выражении для E имеет каждое определенный физический смысл. Первое слагаемое зависит только от скорости; при равномерном движении (v˙ = 0) остается только оно. Это кулонов-

ское поле, модифицированное с учетом запаздывания ; при v/c → 0 ýòà часть выражения ведет себя как e/R2. Второе слагаемое появляется при

движении с ускорением. Оно описывает излучение в дальней зоне (см. ниже).

Поле системы зарядов на далеком расстоянии Как и выше, имеет смысл отдельно проанализировать следующую ситуацию: заряды распределены в области, размер которой мал в сравнении с расстоянием до точки наблюдения.

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

104

Пусть O начало координат, расположенное среди зарядов;

R0

радиус-вектор точки наблюдения; r радиус-вектор заряда; вектор R связывает заряд и точку наблюдения: R = R0 − r. В нашем случае

|R0| |r|.

Тогда

R =

 

 

= q

R02 − 2r · R0 + r2

=

 

(R0 − r) · (R0 − r)

 

 

p

 

1 −

r

n

= R0

 

= R0 p1 − 2(r · n)/R0 + o(r/R0) ' R0

 

·

 

− r · n.

R

0

Используя это выражение, запишем приближенные формулы для запаздывающих потенциалов (7.6, 7.7):

ϕ(R

, t) =

ρ(r0, t − |R0

 

r

/c)

dV 0

 

 

1

ρ r0

, t

 

R0

+

n

r0

dV 0

,

 

r−

|

 

'

R0

−

c

c·

 

0

Z

R0

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

|

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.14)

A(R

, t) =

1

Z

j(r0, t − |R0 − r|/c)

dV 0

1

Z

j r0

, t

 

R0

+

n

r0

dV 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' c R0

−

 

c·

 

0

 

c

|R0 − r|

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.15)

Сделанное приближение основано на том, что в знаменателе подынтегрального выражения было положено: R = |R0 − r| ' R0; ïðè ýòîì âî

втором (временном) аргументе оставлена первая поправка, учитывающая связь эффекта запаздываня с положением заряда .

. Заметим, что Найдем теперь магнитное поле: H = rot A = rR0 ×A

оператором набла производится дифференцирование по компонентам вектора R0, который входит в выражение для A в трех местах:

1

 

j r0

, t

1

R

+

1

r0

 

(R0/R0)

.

(7.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R0

 

 

− c

(II0)

 

c

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(III)

 

 

(I)

 

 

 

 

 

|{z}

 

 

 

 

| {z }

 

 

|{z}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что поскольку

r (|R0|) = n, r |R0|−1 = n/R02, rinj = δij/R02 + ninj/R0,

при дифференцировании членов ( I ) и ( III ) получаются вклады поряд- êà |R0|−2; только при дифференцировании по ( III ) получим вклад

Излучение в дипольном приближении

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

105

|R0|−1. Сохраняя только этот вклад, можно приближенно записать:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

H = rot A = [r × A] ' r ×

 

 

 

 

 

Z

j r0, t −

 

 

 

R0

c R0

c

1

 

1

 

 

 

 

 

d

 

1

 

 

 

 

 

= grad −

 

 

|R0|

×

 

 

Z

 

 

j

r0, t −

 

R0 +

c

c R0

dt

c

 

 

 

 

 

 

 

1

hn × A˙ i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

+ n c· r0 dV 0 =

n· r0 dV 0 =

c

(в первой строке подчеркнут член, по которому в нашем приближении производится дифференцирование).

Поскольку поле вдали от зарядов близко к плоской волне, для которой E n, E H, H n, то при расчете полей можно использовать формулы:

1

 

 

1

 

H = −

 

 

hn × A˙ i ,

E =

 

hhA˙ × ni × ni,

(7.17)

c

c

которые и определяют напряженности полей, порождаемых движущимся зарядом.

Возьмем приближение, более грубое в сравнении с рассмотренным, отбрасывая член ( III ) в формуле (7.16). В этом случае мы учитываем запаздывание, связанное с удаленностью точки наблюдения, но пренебрегаем тем, что

для различных зарядов эти запаздывания различны. Имеем:

A ' c R0

 

Z

j r0

, t − c

|R0| dV 0

= c R0

 

 

α

eαvα =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

X

 

|

|

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

|

 

= c R0

 

 

 

dt

 

X

eαrα!

= c R0

 

 

 

d˙ ,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

d

 

 

1

 

 

 

 

 

 

|

 

|

 

 

 

 

|

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(d дипольный момент (5.8)). В этом приближении напряженности магнитного и электрического поля даются выражениями:

1

 

hd¨ × ni ,

1

hhd¨ × ni × ni.

 

H =

 

 

E =

 

(7.18)

c2 |R0|

c |R0|

Это дипольное излучение, порождаемое неравномерно (ускоренно) движущимися зарядами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности