Teorija_Polja

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

eα [rα × vα].

Итак, в дипольном приближении

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

694.14 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Òåìà 6

Постоянное магнитное поле

Будем считать, что заряды совершают финитное движение в ограниченной области пространства; будем также считать, что мы интересуемся только усредненными по времени характеристиками системы. В рамках такой модели можно считать, что постоянные токи порождают не зависящее от времени магнитное поле . Опуская значки усреднения, запишем соответствующие уравнения (с. 74):

div H = 0, rot H =			4π	j
div H = 0, rot H =				j
			c
Вводя векторный потенциал A: H = rot A, получим
rot [rotA] ≡ grad divA − A =	4π	j					4π	j. (6.1)
	c				A =		4π
	c				A =
divA = 0 (кулоновская калибровка)						− c

Для каждой компоненты вектора A получается уравнение Пуассона ви-

да (5.1), решение которого уже было найдено (с. 86). По аналогии с (5.3) мы сразу можем записать:

	1		Z	j(r )
A(r) =				0	dV 0.	(6.2)
		c		\|r − r0\|

В случае токов, порожденных движением дискретных зарядов, имеем:

j(r) =

eαvα δ(r − rα) = A(r) =

eαvα

(6.3)

−

rα

С помощью тождества: rot(a · b) ≡ a · rot(b) + [grad a × b], ãäå a ñêà-

лярная, ~

b векторная функция, находим выражение для напряженности

Магнитный

момент

Тема 6. Постоянное магнитное поле

магнитного поля, порожденного токами:

H(r) = rotr

rj(r0r0

dV 0

= c

[j(r0)r× (rr0− r0)] dV 0

)

закон Био-Савара.

(6.4)

Также, как и в случае электростатики, можно строить мультипольное разложение, полагая, что точка наблюдения удалена на расстояние, гораздо большее размеров системы. При

этом следует считать, что все макроскопические величины являются результатом усреднения по времени, гораздо большему, чем характерный период финитного движения зарядов (если движение строго периодич- но, можно усреднять по периоду).

Запишем мультипольное разложение для векторного потенциала A, ограничиваясь первым и вторым (дипольным) членом:

e v

(1)

e v

rα

A(r) =

α α

−

eαvα

· r

rα

−

d 1

eαrα

(2)

eαvα (rα · r)

r 3

X |

(2)

e r

e v (r

α α

α ·

# +

| |

eαvα {vα (rα · r) − rα (vα · r)}

(3)

[m × r]

r 3

| |

Здесь сделаны следующие преобразования:

1.выполнено мультипольное разложение с сохранением дипольных членов;

2.в этом равенстве сделано преобразование вида uv˙ = (uv˙ ) − uv˙ ;

3.здесь были отброшены полные производные по времени, поскольку при финитном движении полные производные обращаются в нуль при усреднении по времени.

Сила, действующие на магнитный диполь

Тема 6. Постоянное магнитное поле

Наконец, окончательный результат выражен через магнитный момент

Если у всех частиц отношение заряда к массе одинаково, то, полагая

в нерелятивистском пределе (v/c 1) p = mv, можно получить простую формулу, связывающую магнитный момент m и механический момент M (момент импульса):


1		X		eα [rα × vα] =			e	X	m [rα × vα] =
m =		X						X
m =	2 c	α					2 mc	α
		=		e	X	[rα × pα] =		e		M.
					X
			2 mc		α			2 mc

Как и в случае электростатического поля, можно рассмотреть силовое взаимодействие системы зарядов с магнитным полем и выполнить мультипольное разложение.

Существенным фактором, определяющим движение, является

ìî-

ìåíò ñèë K, действующий на магнитный диполь:

FЛоренц =

eα [vα × H] ≡

fα

K =

[rα × fα] =

eα [rα × [vα × H]] .

(6.7)

Можно произвести преобразования, при которых из полученного для K выражения будут выделены члены, представляющие собой полные

производные по времени; при усреднении по времени они обращаются в нуль, в результате чего остается простая формула:

K = [m × H].

(6.8)

Запишем уравнение движения магнитного момента, помещенного в магнитное поле. Для этого следует выразить магнитный момент через

ãäå γ =

Тема 6. Постоянное магнитное поле

механический и применить уравнения механики для механического момента M:

˙	˙
M = K m˙ = γ M = γ K = γ [m × H]
m˙	= γ [m × H],	(6.9)

2 mc гиромагнитное отношение.

Решая получившееся уравнение (6.9), можно показать, что оно описывает ларморовскую прецессию вектора m движение, при кото-

ром конец вектора m описывает окружность, а сам вектор заметает поверхность конуса, ось которого направлена вдоль магнитного поля H.

Òåìà 7

Волновые решения. Поле движущихся зарядов

7.1Электромагнитные волны в свободном пространстве

Важный тип решений уравнений Максвелла ненулевые решения, в отсутствие зарядов и токов, которые описывают волны электромагнитного поля. Можно считать, что волновые решения соответствуют самоподдерживающемуся процессу изменение со временем поля одного типа служит причиной появления другого поля и наоборот.

Запишем уравнения Максвелла в отсутствие зарядов и токов:

rot

		1		∂H
E = −							,	div H = 0,
			c		∂t
H =	1	∂E				,		div E = 0.
	c
			∂t

Применяя формулу преобразования двойного векторного произведения, имеем:

rot rot A ≡ r × [r × A]

= r (r · A) − (r · r)A = grad (div A) − A,

1 ∂

1 ∂2

rot rot E = grad (

div E) −

E = −

rot H = −

∂t

∂t2

{z }

− H = c ∂t

E = −c2 ∂t2 H

1 ∂2

rot rot H = grad div H)

1 ∂

rot

}

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов								96
откуда следуют волновые уравнения:
E −	1 ∂2			H −	1 ∂2
			E = 0,				H = 0.	(7.1)
	c2	∂t2			c2	∂t2

Воспользуемся известным математическим результатом: с помощью метода Д'Аламбера можно представить решение однородного волнового уравнения в виде суперпозиции встречных бегущих волн:

∂2f	= c	2 ∂2f		= f(x, t) = Φ(x ± ct).	(7.2)
∂t2			∂x2

Роль функции Φ может играть произвольная дважды дифференцируе-

мая функция. Если подставить Φ в виде разложения в ряд (интеграл)

Фурье, можно получить решение волнового уравнения в виде суперпозиции гармонических (синусоидальных) бегущих волн. В физике важны именно такие решения, т.к. часто синусоидально-осциллирующий ток порождает именно синусоидальную волну. Кроме того, изучив свойства одиночной синусоидальной волны, мы можем потом собрать из таких волн произвольное решение. Синусоидальную волну можно записать как

f(x, t) = f0 sin(ωt ± kx + ϕ0) ω = k · c.

Можно ввести обобщение на трехмерный случай:

Re		i (ωt k r)					2		n i (ωt k r)o
				E = −k2 · E n Re ei (ωt−k·r) ,
E = E n cos(ωt − k · r) =
= E n e		− ·	o	E¨ =	−	ω		·	E n Re e	− · .
	n								n	o

Подставляя E è E в волновое уравнение, мы убеждаемся, что равен-

ство имеет место при

c2k2 = ω2.

Мы видим, что если выбрать волновой вектор k произвольным об-

разом и положить ω = ±|k| c, то записанное выражение для E всегда

будет решением волнового уравнения.

Множество пространственных точек, которым отвечает постоянное значение фазы волны, называется волновым фронтом. В данном приме-

ре уравнение волнового фронта имеет вид: k·r = const. Нетрудно видеть,

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

что здесь записано уравнение плоскости, перпендикулярной волновому вектору k. Поэтому такое решение называют плоской волной.

Аналогичным образом можно записать решение волнового уравнения для магнитного поля: H = H q Re ei (ωt−k·r) .

Согласуем параметры полей:

rot E =	1	∂H	rot E ≡ [r × E] = −i [k × n] E Re nei (ωt k·r)o ,
	−c	∂t	1 ∂H =	1 i ω H q Re ei (ωt k·r) .
					n	o
			−c ∂t	−c	n	o

Приравнивая эти выражения, имеем: −[k ×n] E = −1c ω H q = |k|H q,

Таким образом, в свободной электромагнитной волне:

1) направления E è H взаимно-перпендикулярны, а также перпенди-

кулярны волновому вектору k, указывающему направление распростра-

нения волны (поперечная волна); 2) амплитуды электрической и магнитной составляющей равны:

|E| = |H|.

7.2Поле движущегося заряда

Комбинируя уравнения Максвелла, мы получили выше волновые уравнения непосредственно для напряженностей полей E и H. Однако

уравнения такого же типа можно записать и для потенциалов, выбрав лоренцеву калибровку (3.18). Имеем

∂Ak

∂Ai

∂F ik

4π

∂Ak

F ik ≡

−

= −

ji,

= 0 =

∂xi

∂xk

∂F ik

∂

∂Ak

∂Ai

∂

∂Ak

∂2Ai

−

= −

ji.

∂xk

∂xi

∂xk

∂xi

∂xk

∂xk∂xk

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

Таким образом,

Ai = 4π ji

A − c12 ∂t2

= − c

∂2Ai

∂xk∂xk

≡

∂2A

4π

1 ∂2ϕ

(7.3)

− c2 ∂t2

−

4π ρ.

Если поле порождается точечными зарядами (как частный случай одним зарядом), то ρ(r, t) = e(t) δ(r), т.е. распределение зарядовой плот-

ности сингулярно. В этом случае решения волнового уравнения будут иметь вид решения для пустого пространства, дополненного так, чтобы учесть наличие зарядов.

При наличии единственного заряда в точке r = 0 имеется сферическая

симметрия. Симметричное решение удобно искать, вводя сферические координаты:

y = r sin θ sin ϕ

f = 1 ∂

r2 ∂f +

∂

sin θ∂f

∂2f

x = r sin θ cos ϕ

r2 ∂r

∂r

r2 sin θ ∂θ

∂θ

r2 sin2

θ ∂ϕ2

z = r cos θ

=0,

(не зависит от углов)

}

если функция f сферически симметрична

В итоге волновое уравнение для сферически-симметричного потенциала ϕ примет вид:

∂2ϕ

∂

∂ϕ

∂2ϕ

ϕ −

−

= 0

∂t2

∂r

∂t2

χ(r, t)

∂2χ

1 ∂2χ

ϕ =

−

= 0

∂r2

∂t2

Простая замена переменных позволила нам свести уравнение к однородному волновому. Однако, поскольку роль пространственной переменной

теперь играет радиальная координата r, уравнение описывает сфери-

ческие волны; максимумы и минимумы таких волн лежат на концентрических сферах. Формальное решение Д'Аламбера имеет вид:

χ(r, t) = χ1(t − r/c) + χ2(t + r/c)

и описывает суперпозицию двух волн: волны, убегающей на бесконеч- ность (запаздывающее решение) и волны, приходящей из бесконечности

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

и сходящейся к началу координат (опережающее решение). Поскольку принципу причинности удовлетворяет только запаздывающее решение, имеем:

χ = χ(t − r/c).

Заметим, что при r → 0 поведение членов, входящих в волновое уравнение для ϕ, таково: ϕ r−3 ∂2ϕ/∂t2 r−1. Смысл этого

неравенства прост: в малой окрестности точки r = 0, где находится то-

чечный заряд, эффектами запаздывания, связанными с конечностью скорости света, можно пренебречь . Формально это сводится к отбра- сыванию члена ∂2ϕ/∂t2; волновое уравнение в этом случае превраща-

ется в уравнение Пуассона (5.1), решение которого нам известно это кулоновский потенциал: ϕ 1/r. Таким образом, χ(t) = e(t), è

ϕ(r, t) = e(t − r/c). r

Можно сказать, что найден обобщенный закон Кулона, учитывающий

конечность скорости распространения электромагнитного взаимодействия.

Далее, исходя из выражений (4.6) для плотности системы зарядов, а также для потенциала системы зарядов (5.3, 6.2), нетрудно угадать

интегральное соотношение, связывающее ρ è ϕ. Сразу можно записать и

аналогичное соотношение для j è A (в нем нужно добавить множитель

1/c):


ϕ(r, t) =	Z		ρ(r0, t − \|r − r0\|/c)			dV 0		+ ϕ		,
			Z		\|r − r0\|				0
A(r, t) =		1		j(r0	, t − \|r − r0\|/c)		dV 0		+ A .
		c
					\|r − r0\|					0

(7.4)

(7.5)

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов

100

7.3Поле точечного заряда, движущегося по заданной траектории

Пусть заряд движется по траектории, которая задана в параметри- ческой форме уравнением:

r0(t) = i · x0(t) + j · y0(t) + k · z0(t)

(параметром служит время t). В этом случае, если величина заряда фик-

сирована, плотность распределения заряда может быть задана формулой:

ρ(r, t) = e δ(r − r0(t)).

Подставим это в выражение (7.4), предварительно введя интегрирование по времени и δ-функцию:

ρ(r0

, t − 1c |r − r0|)

ρ(r0, τ)

ϕ(r, t) = Z

dV 0 = ZZ

δ τ − t +

|r − r0| dV 0dτ

|r − r0|

e δ

(r0

r (τ))

− 0

δ τ − t +

|r − r0| dV 0dτ =

−

= e Z

δ τ − t +

|r − r0(τ)| dτ.

|r − r0(τ)|

Далее учтем, что

Z	f(τ) δ g(τ) dτ =		f(τ )	, ãäå g(τ0) = 0.
			\|g0(τ )\|
В нашем случае:	g0(τ) = ∂τ τ − t + c\|r − r0(τ)\|				=

		∂	1

1 ∂ q

=1 + c ∂τ (x − x0(τ))2 + (y − y0(τ))2 + (z − z0(τ))2 = 1 −2(x − x0) x˙ 0 − 2(y − y0) y˙0 − 2(z − z0) z˙0

=1 + c 2q(x − x0(τ))2 + (y − y0(τ))2 + (z − z0(τ))2 =

= 1 −	1	r − r0(τ) · v0(τ)	.

	c	\|r − r0(τ)\|

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.08.201972.19 Кб40Tenses test.doc
#
14.09.201914.42 Mб63Teoreticheskie_materialy_po_Upravleniyu_proekta...doc
#
22.02.2015136.68 Кб65Teoria_Igr_Kontrolnaya-1_3_kurs_NORM.docx
#
01.04.2025211.97 Кб0Teoria_MO.doc
#
13.03.20163.12 Mб8Teorii_lichnosti_L._H_ell,_D._Zigler.pdf
#
23.02.2015694.14 Кб15Teorija_Polja.pdf
#
01.03.2025349.7 Кб0Teor_fonetika_4.doc
#
14.11.20191.23 Mб37teploprovodnost.doc
#
22.02.2015646.14 Кб133TEPLOROST_AVOK.doc
#
01.05.20251.78 Mб0TEP_biletyispr.docx
#
01.05.2025128 Кб0Terminy.doc