Матан, Лекции - Теляковский 1

I

oTS@DA SOGLASNO SLEDSTWI@ 6.7.2 POLU^AEM WYPUKLOSTX I, SOOT- WETSTWENNO, STROGU@ WYPUKLOSTX FUNKCII f(x) NA (a b).

tEOREMA DOKAZANA.

eSLI FUNKCIQ f IMEET WTORU@ PROIZWODNU@ f00, TO, ISPOLXZUQ E]E SLEDSTWIE 6.2.8, PRIHODIM K SLEDU@]EMU UTWERVDENI@ O SWQZI WYPUKLOSTI FUNKCII SO ZNAKOM EE WTOROJ PROIZWODNOJ.

tEOREMA 6.7.6. pUSTX FUNKCIQ f(x) IMEET WTORU@ PROIZWODNU@ NA INTERWALE (a b). tOGDA

1 . uSLOWIE f00(x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ

WYPUKLOSTI FUNKCII f(x)

2 . eSLI f00(x) > 0 NA (a b), TO FUNKCIQ f(x) STROGO WYPUKLA NA (a b).

zAMETIM, ^TO W TEOREME 6.7.6 USLOWIE f00(x) > 0 NE QWLQETSQ NE- OBHODIMYM DLQ STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII f(x). |TO WIDNO NA PRIMERE FUNKCII x4, U KOTOROJ WTORAQ PROIZWODNAQ 12x2 OBRA]AET- SQ W NULX W TO^KE x = 0, HOTQ \TA FUNKCIQ STROGO WYPUKLA NA WSEJ

OSI, ^TO SLEDUET IZ STROGOGO WOZRASTANIQ EE PERWOJ PROIZWODNOJ

4x3.

rEZULXTATY \TOJ GLAWY, POZWOLQ@T WYSKAZATX SLEDU@]IE REKO- MENDACII PO POSTROENI@ GRAFIKOW FUNKCIJ f, IME@]IH WTORU@ PROIZWODNU@.

sNA^ALA NAHODIM PROMEVUTKI, GDE f0(x) > 0 I f0(x) < 0, I NU- LI PERWOJ PROIZWODNOJ. |TO POKAZYWAET PROMEVUTKI MONOTONNOSTI I TO^KI, W KOTORYH FUNKCIQ MOVET IMETX LOKALXNYE \KSTREMUMY. pO WTOROJ PROIZWODNOJ NAHODIM TO^KI, KOTORYE MOGUT BYTX TO^KA- MI PEREGIBA, I PROMEVUTKI WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI. gLOBALXNYE \KSTREMUMY NAHODQT, SRAWNIWAQ ZNA^ENIQ LOKALXNYH \KSTREMUMOW MEVDU SOBOJ I SO ZNA^ENIQMI FUNKCII W KONCAH PROMEVUTKA.

141

x 6.8. nEKOTORYE KLASSI^ESKIE NERAWENSTWA

tEOREMA 6.8.1 (nERAWENSTWO iENSENA). pUSTX FUNKCIQ f(x)

WYPUKLA NA OTREZKE [a b]. tOGDA DLQ L@BYH TO^EK x1 x2 : : : xn,

NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM iENSENA.

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM INDUKCI@ PO n. dOKAVEM SNA^ALA NE- RAWENSTWO (6.8.1) PRI n = 2.

pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI x1 < x2. rASSMOTRIM TO^KU x =

1x1 + 2x2, ONA LEVIT MEVDU x1 I x2.

hORDA, SOEDINQ@]AQ TO^KI GRAFIKA FUNKCII (x1 f(x1)) I (x2 f(x2)), IMEET URAWNENIE

y = x2 ; x f(x1) + x ; x1 f(x2): x2 ; x1 x2 ; x1

zNA^IT, W SILU WYPUKLOSTI FUNKCII f SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

tAKIM OBRAZOM, IZ (6.8.2) POLU^AEM

f( 1x1 + 2x2) 6 1f(x1) + 2f(x2)

T.E. DLQ n = 2 TEOREMA DOKAZANA.

pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO PRI n = m NERAWENSTWO (6.8.1) UVE USTANOWLENO I DOKAVEM EGO DLQ n = m + 1.

142

wWEDEM OBOZNA^ENIQ

I MY PRI[LI K NERAWENSTWU (6.8.1) PRI n = m + 1. tEOREMA DOKAZANA.

eSLI FUNKCIQ f(x) WOGNUTA NA OTREZKE [a b], TO PRI TEH VE USLO- WIQH NA TO^KI xk I ^ISLA k NERAWENSTWO iENSENA IMEET WID

s POMO]X@ NERAWENSTWA iENSENA LEGKO DOKAZYWAETSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE.

lEMMA 6.8.2. pUSTX p > 1 I q | SOPRQVENNOE S p ^ISLO, T.E.

tOGDA DLQ L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL c I d SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

143

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK FUNKCIQ ln x WOGNUTA NA (0 +1), A ^ISLA

p I q SWQZANY RAWENSTWOM (6.8.5), TO SOGLASNO NERAWENSTWU iENSENA

(6.8.4)

> p1 ln cp + 1q ln dq = ln c d:

oTS@DA W SILU STROGOJ MONOTONNOSTI LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII WYTEKAET OCENKA (6.8.6).

tEOREMA 6.8.3 (nERAWENSTWO gELXDERA). pUSTX p > 1 I q |

SOPRQVENNOE S p ^ISLO. tOGDA DLQ L@BYH 2n NEOTRICATELXNYH ^I- SEL a1 : : : an, b1 : : : bn SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM gELXDERA.

dOKAZATELXSTWO. eSLI WSE ^ISLA ak ILI WSE ^ISLA bk RAWNY NU- L@, TO NERAWENSTWO (6.8.7) O^EWIDNO. pO\TOMU BUDEM S^ITATX, ^TO I SREDI ak I SREDI bk ESTX OTLI^NYE OT NULQ ^ISLA.

dLQ KAVDOGO k WWEDEM ^ISLA

I ZAPI[EM DLQ NIH OCENKU (6.8.6):

sLOVIM POLU^ENNYE NERAWENSTWA:

pODSTAWIW S@DA WYRAVENIQ ^ISEL ck I dk, PRIHODIM K NERAWENSTWU

(6.8.7).

tEOREMA DOKAZANA.

oTMETIM WAVNYJ ^ASTNYJ SLU^AJ TEOREMY 6.8.3, SOOTWETSTWU- @]IJ p = 2. w \TOM SLU^AE q = 2.

144

tEOREMA 6.8.4 (nERAWENSTWO kO[I{bUNQKOWSKOGO). dLQ L@-

BYH 2n ^ISEL a1 : : : an, b1 : : : bn SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

KAK OCENKU MODULQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW (a1 a2 a3) I (b1 b2 b3) ^EREZ DLINY \TIH WEKTOROW (S^ITAEM, ^TO ak I bk | KOM- PONENTY WEKTOROW W ORTONORMIROWANNOM BAZISE).

rAZDELIW OBE ^ASTI POLU^ENNOGO NERAWENSTWA NA

145

PRIHODIM K (6.8.9). tEOREMA DOKAZANA.

oTMETIM ^ASTNYJ SLU^AJ NERAWENSTWA (6.8.9), SOOTWETSTWU@]IJ p = 2:

pRI n = 3 NERAWENSTWO (6.8.10) MOVNO ISTOLKOWATX KAK OCENKU

DLINY SUMMY WEKTOROW (a1 a2 a3) I (b1 b2 b3) ^EREZ DLINY SAMIH \TIH WEKTOROW. w SWQZI S \TIM NERAWENSTWO (6.8.10) I NERAWENSTWO

mINKOWSKOGO (6.8.9) NAZYWA@T NERAWENSTWOM TREUGOLXNIKA.

w DALXNEJ[EM MY UWIDIM, ^TO NERAWENSTWA (6.8.1), (6.8.7), (6.8.9) QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI BOLEE OB]IH NERAWENSTW, KOTORYE NO- SQT TE VE NAZWANIQ.

gLAWA 7

kriwye w trehmernom prostranstwe

x 7.1. wEKTORNOZNA^NYE FUNKCII

dO SIH POR RASSMATRIWALISX FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH BY- LI DEJSTWITELXNYE ^ISLA, HOTQ WO MNOGIH SLU^AQH ZNA^ENIQMI MOG- LI BYTX I KOMPLEKSNYE ^ISLA. nO PONQTIE FUNKCII IMEET O^ENX OB]IJ HARAKTER I IH ZNA^ENIQMI (KAK I ARGUMENTAMI) MOGUT BYTX OB_EKTY PROIZWOLXNOJ PRIRODY.

w SWQZI S IZU^ENIEM KRIWYH BUDUT NUVNY WEKTORNOZNA^NYE FUNKCII ^ISLOWOGO ARGUMENTA, T.E. FUNKCII, ARGUMENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ ^ISLA, A ZNA^ENIQMI | WEKTORY TREHMERNOGO PROSTRAN- STWA. tAKIE FUNKCII NAZYWA@T E]E WEKTOR-FUNKCIQMI.

w TEH SLU^AQH, KOGDA RASSMATRIWA@TSQ I FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH QWLQ@TSQ WEKTORY, I FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH QWLQ- @TSQ ^ISLA, PERWYE NAZYWA@T WEKTORNYMI, A WTORYE | SKALQRNY- MI.

bUDEM S^ITATX, ^TO TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE ZA- FIKSIROWANA NEKOTORAQ DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDI- NAT. tOGDA MEVDU WEKTORAMI r I UPORQDO^ENNYMI TROJKAMI ^ISEL

146

(x y z) | KOMPONENTAMI WEKTOROW | USTANAWLIWAETSQ WZAIMNO OD- NOZNA^NOE SOOTWETSTWIE.

zADANIE NA OTREZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ [a b] WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII r(t) RAWNOSILXNO ZADANI@ NA [a b] TREH SKALQRNYH FUNK-

CIJ x(t) y(t) z(t).

dLQ WEKTOR-FUNKCIJ WWODQTSQ PONQTIQ PREDELA, NEPRERYWNOSTI, PROIZWODNOJ. pRI \TOM BLIZOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII r(t1) I r(t2) PO- NIMAETSQ KAK MALOSTX DLINY WEKTORA RAZNOSTI r(t1) ; r(t2).

pRIWEDEM OPREDELENIE PREDELA WEKTOR-FUNKCII PO kO[I.

oPREDELENIE. wEKTOR r0 NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII r(t) W TO^- KE t0, ESLI \TA FUNKCIQ OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKREST- NOSTI TO^KI t0 I DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO " SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH ZNA^ENIJ t IZ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI t0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

jr(t) ; r0j < ":

oBOZNA^A@T PREDEL WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII KAK I PREDELY SKALQRNYH FUNKCIJ:

r0 = lim r(t):

t!t0

eSLI r(t) = (x(t) y(t) z(t)) I r0 = (x0 y0 z0), TO

jr(t) ; r0j = p(x(t) ; x0)2 + (y(t) ; y0)2 + (z(t) ; z0)2:

|TA FORMULA POKAZYWAET, ^TO SU]ESTWOANIE PREDELA lim r(t) = r0 RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ TREH PREDELOW lim x(t) = x0, lim y(t) =

y0, lim z(t) = z0.

pREDELY WEKTORNYH FUNKCIJ OBLADA@T MNOGIMI SWOJSTWAMI PREDELOW SKALQRNYH FUNKCIJ. nAPRIMER, ESLI FUNKCIQ r(t) IME- ET PREDEL W TO^KE t0, TO W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 FUNKCIQ r(t) OGRANI^ENA, T.E. OGRANI^ENY DLINY WEKTOROW r(t). pERE^ISLIM SWOJSTWA PREDELOW, SWQZANNYE S DEJSTIQMI NAD WEKTOR-FUNKCIQMI. pUSTX WEKTORNYE FUNKCII r1(t), r2(t) I SKALQR- NAQ FUNKCIQ (t) IME@T PREDELY PRI t ! t0. tOGDA PRI t ! t0 SU]ESTWU@T SLEDU@]IE PREDELY I DLQ NIH WYPOLNQ@TSQ RAWENST-

WA:

lim (r1(t) r2(t)) = lim r1(t) lim r2(t) lim (t) r(t) = lim (t) lim r(t)

lim ; r1(t) r2(t) = ; lim r1(t) lim r2(t) lim r1(t) r2(t) = lim r1(t) lim r2(t) :

147

|TI SWOJSTWA MOVNO WYWESTI IZ SWOJSTW PREDELOW SKALQRNYH FUNKCIJ, PEREHODQ K SOOTWETSTWU@]IM RAWENSTWAM DLQ KOMPONENT WEKTOROW.

nO MOVNO PROWESTI RASSUVDENIQ DLQ WEKTORNOZNA^NYH FUNKCIJ. pRIWEDEM DLQ PRIMERA DOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ O PEREHODE K

PREDELU W SKALQRNOM PROIZWEDENII.

pUSTX r1 := lim r1(t) I r2 := lim r2(t). tOGDA

(r1(t) r2(t)) ; (r1 r2) = (r1(t) r2(t) ; r2) + (r1(t) ; r1 r2): pO\TOMU

;r1(t) r2(t) ; ;r1 r2 6 r1(t) r2(t) ; r2 + r1(t) ; r1 r2 : oTS@DA W SILU OGRANI^ENNOSTI FUNKCII 1 W DOSTATO^NO MA

LOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI, W KOTOROJr (BERETSQt) PREDEL, WY-- TEKAET TREBUEMAQ OCENKA.

nEPRERYWNOSTX WEKTOR-FUNKCIJ WWODITSQ PO ANALOGII S NEPRE- RYWNOSTX@ SKALQRNYH FUNKCIJ. fUNKCIQ r(t) NAZYWAETSQ NEPRE- RYWNOJ W TO^KE t0, ESLI

lim r(t) = r(t0):

t!t0

iZ SWOJSTW PREDELOW SLEDUET, ^TO NEPRERYWNOSTX WEKTORNOZNA^- NYH FUNKCIJ RAWNOSILXNA NEPRERYWNOSTI TREH SKALQRNYH FUNK- CIJ | KOMPONENT WEKTOROW. a OPERACII SLOVENIQ I WY^ITANIQ WEKTOROW, UMNOVENIQ WEKTORA NA SKALQR, SKALQRNOGO I WEKTORNO- GO UMNOVENIQ WEKTOROW, PROIZWEDENNYE NAD NEPRERYWNMI WEKTOR- FUNKCIQMI, DA@T NEPRERYWNYE WEKTOR-FUNKCII.

pROIZWODNAQ WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII r(t) OPREDELQETSQ KAK PREDEL

eSLI FUNKCIQ r(t) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE ILI NA PROMEVUT- KE, TO \TU FUNKCI@ NAZYWA@T DIFFERENCIRUEMOJ SOOTWETSTWENNO W TO^KE ILI NA PROMEVUTKE.

oTMETIM FORMULU DLQ PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII.

pUSTX NA OTREZKE [ ] ZADANA DIFFERENCIRUEMAQ SKALQRNAQ FUNKCIQ t = ( ), ZNA^ENIQ KOTOROJ PRINADLEVAT OTREZKU [a b],

148

I NA [a b] ZADANA DIFFERENCIRUEMAQ WEKTORNAQ FUNKCIQ r(t). tOG-

DA SLOVNAQ FUNKCIQ R( ) := r( ( )) DIFFERENCIRUEMA NA [ ] I

SPRAWEDLIWA FORMULA

R0 = r0t 0 :

dOKAZATX \TO PRO]E WSEGO, RASSMATRIWAQ KOMPONENTY WEKTORNYH FUNKCIJ.

zAMETIM, NAKONEC, ^TO ANALOGI^NO DA@TSQ OPREDELENIQ ODNOSTO- RONNIH PREDELOW, ODNOSTORONNEJ NEPRERYWNOSTI I ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH.

mNOGIE SWOJSTWA PROIZWODNYH SKALQRNYH FUNKCIJ LEGKO PERE- NOSQTSQ NA PROIZWODNYE WEKTORYH FUNKCIJ. nAPRIMER, IZ SU]EST- WOWANIQ PROIZWODNOJ W TO^KE SLEDUET NEPRERYWNOSTX FUNKCII W \TOJ TO^KE.

kROME TOGO, DLQ PROIZWODNYH IME@T MESTO SLEDU@]IE RAWENST-

WA:

(r1(t) r2(t))0 = r01(t) r02(t) ( (t) r(t))0 = 0(t) r(t) + (t) r0(t)

;r1(t) r2(t) 0 = ;r01(t) r2(t) + ;r1(t) r02(t)r1(t) r2(t) 0 = r01(t) r2(t) + r1(t) r02(t) :

zDESX, KAK I W SKALQRNOM SLU^AE, PREDPOLAGAETSQ, ^TO SU]ESTWU@T PROIZWODNYE, ZAPISANNYE SPRAWA, I UTWERVDAETSQ SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH, ZAPISANNYH SLEWA, I SPRAWEDLIWOSTX RAWENSTW.

nO TAKOE WAVNOE SWOJSTWO KAK FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA PRQMOGO ANALOGA W WEKTORNOM SLU^AE NE IMEET.

w SAMOM DELE, RASSMOTRIM FUNKCI@ r(t) := (cos t sin t), ZNA^ENI-

QMI KOTOROJ QWLQ@TSQ DWUMERNYE WEKTORY.

tOGDA r(2 );r(0) = 0. nO jr0(t)j = 1, TAK KAK r0(t)=(;sin t cos t). zNA^IT, NI DLQ KAKOGO NE MOVET WYPOLNQTXSQ RAWENSTWO

r(2 ) ; r(0) = r0( )(2 ; 0):

tEM NE MENEE ODNO IZ OSNOWNYH SLEDSTWIJ FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA IMEET MESTO I DLQ WEKTORNOZNA^NYH FUNK- CIJ.

tEOREMA 7.1.1. pUSTX FUNKCIQ r(t) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA OTREZKE [a b] I M := maxt2[a b] jr0(t)j. tOGDA SPRAWEDLIWA OCENKA

149

dOKAZATELXSTWO. eSLI r(b) = r(a), TO OCENKA (7.1.1) O^EWIDNA. pO- \TOMU BUDEM S^ITATX r(b) ; r(a) =6 0.

pOLOVIM

e := r(b) ; r(a) : jr(b) ; r(a)j

tOGDA jej = 1 I

r(b) ; r(a) = ;r(b) ; r(a) e = ;r(b) e ; ;r(a) e : wWEDEM FUNKCI@

f(t) := ;r(t) e :

|TA SKALQRNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA [a b]. pO\TOMU SOGLASNO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA SU- ]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO

f(b) ; f(a) = f0( )(b ; a):

nO

jf0( )j = (r0( ) e) 6 jr0( )j 6 M: tAKIM OBRAZOM,

jr(b) ; r(a)j 6 M(b ; a): tEOREMA DOKAZANA.

x 7.2. dLINA KRIWOJ

pUSTX NA OTREZKE [a b] ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ r(t), ZNA- ^ENIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ WEKTORY TREHMERNOGO EWKLIDOWA PRO- STRANSTWA E3 . bUDEM S^ITATX, ^TO W E3 ZAFIKSIROWANA DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT I r(t) = (x(t) y(t) z(t)).

rASSMOTRIM TO^KI M(t) := (x(t) y(t) z(t)), RADIUSAMI-WEKTORA-

kAVDOMU ZNA^ENI@ PARAMETRA t SOOTWETSTWUET TO^KA M(t) NA KRIWOJ ;. kOGDA t PROBEGAET OTREZOK [a b], WOZRASTAQ OT a K b, KRIWAQ ; SLUVIT TRAEKTORIEJ DWIVENIQ TO^KI M(t) I WOZRASTANIE t ZADAET NAPRAWLENIE DWIVENIQ PO KRIWOJ. gOWORQT, ^TO \TIM NA KRIWOJ ; ZADAETSQ ORIENTACIQ.

150