Filimonov_KP_TMM

На плане положений при необходимости может быть определена траектория движения любой точки механизма, для чего последовательные положения выбранной точки соединяются плавной кривой.

Для примера построен план положений (см. Приложение). Масштабный коэффициент плана положений К = 0.005 м/мин. Размеры звеньев механизма равны

LOA = 71.3 10−3 м, LBC = 353.44 10−3 м, LBD =106.03 10−3 м.

Точки О и С расположены на одной вертикали на расстоянии 0.18 м, и расстояние от точки О до оси ползуна равно 0.16 м.

Размещая нагрузочную диаграмму Fnc = f (SD) таким образом, чтобы перемещения ползуна ( SD) на диаграмме и плане положений соответствовали друг другу, мы сможем легко определить значение силы полезного сопротивления (Fnc) для любого положения механизма.

Выбираем одно из положений механизма на рабочем ходу. В нашем примере это положение 6.

Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев

Наиболее просто и наглядно поставленная задача может быть решена методом плана скоростей.

План скоростей строится последовательно для отдельных структурных составляющих механизма в порядке, соответствующем синтезу механизма.

Последовательность построения плана скоростей для одного положения механизма описана ниже.

• Определяется скорость точки кривошипа, к которой присоединена первая группа Ассура, и строится вектор скорости этой точки в масштабе КV из точки PV , называемой полюсом плана скоростей. Конец вектора обозначается той же буквой (только строчной), что и соответствующая точка на плане положений.

•Составляются векторные уравнения абсолютных скоростей точек в виде суммы переносной и относительной скоростей. В качестве переносного принимается движение точки, скорость которой известна, а относительное движение определяется в связи с этой точкой. Полученные уравнения решаются графически с использованием уже построенного вектора и известных направлений относительных скоростей.

•Определяются истинные значения абсолютной и относительной скоростей рассматриваемой точки с помощью масштабного коэффициента.

•Определяются величины и направления угловых скоростей звеньев, совершающих вращательное или плоскопараллельное движение, с помощью найденных относительных скоростей.

51

• С помощью принципа подобия в плане скоростей, определяется скорость той точки данной группы Ассура, к которой свободным элементом кинематической пары присоединена следующая структурная группа, и строится вектор скорости этой точки на плане.

В таком же порядке строится план скоростей и определяются все кинематические параметры для последующих групп Ассура.

Построенный таким образом план скоростей механизма обладает следующими свойствами:

-абсолютные скорости точек изображаются векторами, начинающимися в полюсе

изаканчивающимися в точке с соответствующим обозначением (т. е. на плане - это лучи, выходящие из полюса. Скорости точек, совпадающих с полюсом, равны нулю);

-относительные скорости точек изображаются векторами, соединяющими соответствующие точки на плане, причем вектор направлен в сторону той точки, относительное движение которой рассматривается (к первой букве индекса относительной скорости);

-относительные скорости точек жесткого звена на плане скоростей образуют фигуру, подобную самому звену на плане положений, что позволяет определить скорость любой точки звена, если скорости какихлибо двух точек этого звена уже известны;

-план скоростей позволяет определять величины и направления угловых скоростей звеньев механизма путем переноса векторов в соответствующую точку плана положений

При построении плана скоростей следует помнить, что не только точность определения скоростей, но и наглядность полученного плана зависит от длин векторов (следовательно, от масштабного коэффициента), поэтому при построении плана скоростей в курсовом проекте (на формате А1) масштабный коэффициент следует выбирать исходя из вышесказанного. В большинстве случаев достаточно, если вектор скорости, с которого начинается построение плана, будет изображен отрезком не менее 60 мм.

Для примера рассмотрим построение плана скоростей механизма, план положений которого уже построен (см. Приложение).

По заданию кривошип вращается против часовой стрелки с n =106об/мин. Скорость точки А, принадлежащей оси шарнира, т.е. одновременно концу кривошипа и камню кулисы, равна

52

υA = ω1 lOA

ω1 = π30n

ω1 = 3.14 106 =11.10 ( рад/ с) 30

υA =11.10 71.3 10−3 = 0.79 (м/с)

инаправлена перпендикулярно положению звена ОА в сторону, соответствующую угловой скорости. Выбрав полюс РV и величину отрезка РVа , изображающего скорости точки А ( в данном примере РVа = 71.3 мм), построим этот вектор и определим масштабный коэффициент

Рассмотрим группу Ассура, присоединенную к кривошипу и состоящую из звеньев 2 и 3 (см. Приложение), т.е. из кулисы ВС и камня А. Скорости точек А и С известны: скорость точки А только что найдена, а скорость точки С равна нулю, так как она одновременно принадлежит и стойке. Следовательно, мы можем определить скорость точки, принадлежащей средней кинематической паре этой группы. Обозначим эту точку буквой А3, поскольку на плане положений она совпадает с точкой А, но принадлежит другому звену - кулисе ВС. Составим два векторных уравнения, связывающих скорость точки А3, с известными скоростями точек А и С :

поступательная пара между звеньями 2 и 3 никакого другого относительного движения не допускает);

υA3C - вектор скорости в относительном вращательном движении точки А3

относительно точки С (направление её также известно - перпендикулярно кулисе ВС, так как скорость во вращательном движении всегда перпендикулярна радиус-вектору точки).

Решить систему векторных уравнений можно, если число неизвестных составляющих (величин и направлений) векторов, входящих в систему, не превышает удвоенного количества уравнений. В данном случае система содержит четыре

53

неизвестные составляющие: величину и направление вектора υA3 , величину вектора υA3 A и

величину вектора υA3C . Следовательно, система решается.

Для решения системы необходимо в масштабе, используя правило сложения векторов, построить эти уравнения из одной точки, в данном случае из полюса РV. Вектор

РVа, изображающий скорость VA , на плане уже есть; вектор скорости υA3 A необходимо с ним сложить, поэтому через конец вектора VA (через точку а на плане скоростей) проводим известное направление (линию, параллельную ВС ). Это все, что пока можно получить из первого уравнения системы.

Из второго уравнения: скорость VC = 0, следовательно, этот вектор представляет из себя точку, совпадающую с полюсом РV. Вектор υA3C , направление которого известно,

необходимо сложить с вектором VC, для чего через конец вектора VC (т.е. полюс)

проводим нужное направление (линию, перпендикулярную ВС) до пересечения с уже проведенной через точку а линией. Точка их пересечения и дает искомое решение системы уравнений, т.е. определяет конец вектора скорости υA3 , поэтому на плане скоростей эта точка получает обозначение а3 .

Действительное значение скорости точки А3 равно

υA3 = 0.01 70.71 = 0.71 м/c

Отрезок аа3 на плане изображает скорость υA3 A , ее действительное значение также может быть определено произведением длины отрезка аа3 на масштабный коэффициент

KV

υA3 A = KV a3a

υA3 A = 0.01 35.24 = 0.35 м/c

Далее определим угловую скорость звеньев 2 и 3 (ω2 = ω3 ), так как вращательное движение для них общее (относительное движение – поступательное)

определено с помощью плана положений.

54

Направление угловой скорости ω3 определяется следующим образом: мысленно перенесем вектор скорости υA3C в соответствующую точку плана положений (точку А3) и

рассмотрим ее движение относительно точки С; ясно, что вращение звена 3 осуществляется по против часовой стрелки, что и показано круговой стрелкой на плане положений механизма в положении 6.

Затем в соответствии с предложенной выше последовательностью следует определить скорость точки B, к которой присоединена следующая группа Ассура. Воспользуемся принципом подобия: так как точки В, А3, С, принадлежащие одному жесткому звену, расположены на плане положений на одной прямой, то и точки c (она же полюс РV) а3, b тоже должны располагаться на одной прямой на плане скоростей. Из подобия фигур имеем

следовательно

PV b = BC PV a3 = 353.44 70.71 =103.71мм AC 240.98

Построим этот вектор на плане скоростей и определим

υB = KV PV b

υB = 0.01 103.71 =1.04 м/с

Теперь можно переходить к рассмотрению второй и последней в данном механизме группы Ассура, состоящей из звеньев 4 и 5 (см. рис. 3.2), т.е. из шатуна BD и ползуна D.

Необходимо определить скорость точки D, принадлежащей вращательной кинематической паре, т.е. одновременно звену BD и звену D. Так как звено 5 совершает поступательное движение, а значит скорости всех точек этого звена равны и направлены в одну сторону - вдоль направляющей, то известно направление скорости точки D . Скорость точки С определена выше по правилу подобия. Составим векторное уравнений, связывающее скорости точек B и D:

υD =υB +υDB (VDB DB , VD ||направляющей)

где VDB - вектор скорости в относительном вращательном движении точки D

относительно точки B, следовательно, направление этого вектора перпендикулярно положению звена BD на плане положений.

Так как полученное уравнение содержит всего две неизвестные составляющие - величины векторов VD и VDB, то оно может быть решено. Для этого

55

через точку b на плане скоростей проведем линию, перпендикулярную положению звена BD на плане положений, а через полюс - линию, параллельную направляющей (горизонтальную линию). Точка их пересечения есть точка d - конец вектора PVd , изображающего на плане скорость точки D. Тогда

υD = KV PV d

υD = 0.01 100.54 =1.01 м/с

Отрезок db на плане скоростей изображает скорость VDB , которая направлена на плане в сторону точки d.

υDB = KV bd

υDB = 0.01 18.39 = 0.18 м/с

Угловая скорость звена BD (ω4 ) может быть определена

поместить вектор относительной скорости VDB в соответствующую точку плана положений, т.е. в точку D. Очевидно, что под действием этого вектора звено вращается против часовой стрелки (см. Приложение, план положений).

Также необходимо определить скорости центров масс звеньев. Их определяют по правилу подобия:

PV s3 : PV b = CS3 :CB

PV s3 = 0.5 107.71 = 53.855(мм)

υS3 = KV PV s3

υS3 = 0.01 53.855 = 0.54 (м/с)

bs4 :bd = BS4 : BD

bs4 = 0.5 18.39 = 9.195 (мм)

υS4 = KV PV s4

υS4 = 0.01 101.72 =1.02 (м/с)

Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев

Решение этой задачи также проводится графоаналитическим методом, т.е. построением плана ускорений. В соответствии с заданием план ускорений строится только для одного положения, того, для которого построен план скоростей.

56

Построение плана ускорений проводится в той же последовательности, что и плана скоростей. Свойства плана ускорений аналогичны свойствам плана скоростей, поэтому отдельно не описываются.

Ускорение точки А, совершающей вращательное движение вокруг точки О , складывается из двух составляющих:

aA = aAn + aAτ

где aAn - вектор нормальной составляющей ускорения точки А , направленный к центру вращения и равный по модулю

aAn = ω12 lOA

aA =11.102 71.30 10−3 =8.78 м/с

aAτ - вектор тангенциальной составляющей ускорения точки А, направленный перпендикулярно вектору нормальной составляющей. Поскольку в данном случае угловая скорость кривошипа задана постоянной, а значит угловое ускорение кривошипа aAτ = 0.

Следовательно, ускорение точки А конца кривошипа будет равно нормальной составляющей aAn , и мы можем построить этот вектор. Для этого выберем полюс плана ускорений, обозначим его буквой А, построим вектор, параллельный соответствующему положению кривошипа (см. Приложение, план ускорений) длиной, например, 175,6 мм. Определим масштабный коэффициент

Соблюдая последовательность, принятую при построении плана скоростей, определяем ускорение точки А3, для чего составляем и решаем систему векторных уравнений.

На основании теоремы сложения ускорений (вектор абсолютного ускорения точки равен сумме векторов ускорений в переносном движении, относительном и ускорения Кориолиса) можем записать:

57

скорости поворачивается (т.е. переносное движение - вращательное), поэтому его еще

относительно точки С, для которого известно только направление, перпендикулярное нормальной составляющей (или кулисе ВС).

Поскольку полученная система двух уравнений содержит четыре неизвестные составляющие векторов, то она может быть решена.

Решаем графически систему уравнений:

- из точки а плана ускорений проводим в соответствующем направлении вектор ak , изображающий ускорение Кориолиса, в принятом масштабе

- через точку k проводим направление вектора a r ;

A3 A

- из полюса Pa проводим в соответствующем направлении вектор Paп1,

изображающий нормальную составляющую a n в принятом масштабе.

A3C

Этот вектор проводим из полюса потому, что ускорение точки C равно нулю, и следовательно, точка c совпадает с полюсом;

58

будет точкой а3, соединив которую с полюсом, получим величину и направление ускорения точки А3.

Модуль ускорения точки А3 будет равен:

aA3 = Ka Pa a3

aA3 = 0.05 55.75 = 2.79 (м/ с2 )

а направление соответствует направлению вектора Paа3 на плане ускорений.

Угловое ускорение третьего звена ε3 и равное ему ε2 можно определить с помощью найденной в результате решения уравнений тангенциальной составляющей ускорения вращательного движения:

Направление углового ускорения определим, перенеся мысленно вектор n1a3 с плана ускорений в точку А3 плана положений. Она не обозначена на плане, но мы помним, что она совпадает в данном случае с точкой А. Управление углового ускорения на плане положений показано круговой стрелкой.

Ускорение точки B найдем по принципу подобия в плане ускорений

Pa b : Pa a3 = BC : AC

Pa b = 353.44 55.75 = 81.78 (мм) 240.98

aB = Ka Pa b

aB = 0.05 81.78 = 4.09 (м/с)

Построим этот вектор на плане ускорений как продолжение вектора Paа3 и найдем величину ускорения точки B:

aB = Ka Pab

aB = 0.05 81.78 = 4.09 (м/с)

Определим далее ускорение точки D, для чего составим уравнение

aD = aB + aDBn + aDBτ

59

где aB - в данном случае переносное ускорение, у которого известны величина и направление;

aDBn - вектор нормальной составляющей относительного (вращательного)

ускорения точки D относительно точки B, по модулю равный

известно только направление - перпендикулярно звену DB.

Кроме того, нам известно направление ускорения точки D (звено 5 движется поступательно), следовательно, уравнение содержит две неизвестные составляющие входящих в него векторов, и его можно решить графически на плане ускорений следующим образом:

- из точки b в соответствующем направлении проведем вектор bп2 , изображающий

перпендикулярную DB) до пересечения с направлением ускорения aD, т.е. с горизонтальной линией, проведенной через полюс. Точка пересечения и есть точка d плана ускорений, следовательно,

aD = Ka Pa d

aD = 0.05 62.40 = 3.12 (м/ с2 )

Угловое ускорение звена DB определяется

Направление углового ускорения звена DC определим с помощью вектора n2d,

изображающего тангенциальное ускорение aDBτ . Мысленно перенося этот вектор в точку

D плана положений, покажем направление углового ускорения круговой стрелкой (см. Приложение).

Ускорения центров масс звеньев определим по правилу подобия. Расчет ускорения точки S3,

60