Реш.1 27.11.2011

Р е ш е н и е. Пусть прогрессия записана так: a, a 4, a 8.

Числа a, a 4, a 8 имеют

c

b c

1)

x 1,

y 1.

Уравнение преобразуется в тождество 1 1. Таким образом, все точки из этого

квадранта удовлетворяют уравнению.

2)

x 1,

y 1.

Уравнение имеет вид 1

2x 1

, т.е. x 0.

и x y 1.

3)

x 1,

y 1.

Уравнение имеет вид

2y 1

2x 1

, т. е. x y

4)

x 1,

y 1.

Уравнение имеет вид

2y 1

1, т. е. y 0.

5. (Л.П.Мохрачева) Квадрат со стороной

2 поворачивают в его плоскости на угол α

относительно центра симметрии. Найти площадь общей части исходного квадрата и квадрата,

полученного поворотом.

Р е ш е н и е. Общая часть получается вычитанием из площади квадрата четырёх равных

прямоугольных треугольника, один из которых заштрихован на рисунке. Заметим, что угол

изменяется в пределах от нуля до .

2

B

K

C

B

L

C

O

A

A

D

D

Обозначим катет KC x. Так как

CKL , то получаем уравнение

BC

2 x xtg x

2

2

2

1

1

.

x tg x 1 tg

x

1 tg

cos

Отсюда

cos

x

2cos

1 sin cos

и площадь четырёх прямоугольных треугольников

2

cos

2

4sin cos

S 2x

tg 4

tg

.

1 sin cos

2

1 sin cos

7. ( Е.Г.Полищук) Показать, что множество точек разрыва функции

1

xsin

,

y 0

f x, y

y

не является замкнутым.

0,

y 0

Р е ш е н и е. Для любого x0 0 точка

x0,0 - точка разрыва, так как, если рассмотреть,

например, последовательность точек

M

x , y , где

x

nx0

,

y

2

,

n 1,2,... ,

1 4n

n

n

n

n

n 1

n

то xn,yn x0,0 . Тогда lim f xn, yn lim

nx0

sin

1 4n

x0 f x0,0 0.

2

n

n n 1

8. (Л.П.Мохрачева) Ракета стартует вертикально вверх.

M0 (кг) – масса ракеты без топлива, M1

(кг)-масса топлива. Расход топлива постоянен и составляет v кг/с , что обеспечивает

постоянную силу тяги

F кг м/с2 . На какой высоте будет находиться ракета в момент

полного выгорания топлива и какая у неё в этот момент будет скорость?

Р е ш е н и е. Из второго закона Ньютона для мгновенного ускорения

a t V t следует

уравнение

F M0 M1

vt g M0 M1 vt a t M0

M1

vt V t

при условии

V 0 0.

Время полного выгорания топлива

T

M1

. Решая уравнение, получаем

v

V t

F

F

ln M0 M1 vt gt C .

g dt

M0 M1 vt

v

Из начального условия следует C

F

ln M0

M1 . Таким образом

v

F

F

F

M

0

M

1

V T

ln M0 M1 vT

gT

ln

M0 M1

ln

gT

v

v

v

M0 M1 vT

F

M

0

M

1

M

1

F

M

1

M

1

ln

g

ln

1

g

.

M0

v

v

v

v

M0

Для нахождения высоты решаем уравнение

h 0 0.

h t

V t ,

Тогда

F

M

0

M

1

F

F

t

2

h t

ln

gt dt

C t

ln

M0 M1

ln M0 M1 vt dt g

C

M0 M1 vt

v

v

2

v

F

F

tdt

t2

t

ln M0 M1

tln M0 M1

vt v

g

C

v

M0 M1 vt

2

v

Ft

M

0

M

1

F

M

0

M

1

t2

ln

t

ln M0 M1

vt

g

C .

M0 M1 vt

v

v

2

v

Из начального условия получаем

F M

M

C

0

1

ln M0 M1

и

v

v

h t

Ft

M

0

M

1

F

M

0

M

1

M

0

M

1

vt

t2

ln

t

ln

g

.

v M0 M1 vt