Реш.1 27.11.2011

11. ( Е.Г.Полищук) Исследовать на сходимость ряд sin nx .

n 1

Р е ш е н и е. Пусть x k и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое условие сходимости

Р е ш е н и е. Заметим, что во внутренних точках области интегрирования

1

2

G

0 1

x3 y4 x4 y3 x3 y3 x4 y4 x y x2 xy y2 x y x y x2 y2 .

Так как x y 0, то можно сократить, и сравнить

x2 xy y2 x y x2 y2 .

Учитывая, что x y 1, получаем, что во всех внутренних точках области справедливо неравенство

14.(Е.Г.Полищук) Показать, что функция вида u x, y f x g x а) удовлетворяет уравнению uuxy uxuy 0

б) доказать обратное утверждение. Р е ш е н и е.

Заметим, что из условия следует, что функции f x и g y

дифференцируемые. а) Так как

uuxy u2uxuy x uuy 0.

Отсюда получаем

uy y , u

y - произвольная интегрируемая функция. Тогда

duu y dx x ,

где x - произвольная дифференцируемая функция.

или

ln y y dy x y e y dy x e x e y dy f x g y .

15.(Б.М.Веретенников) Доказать, что найдутся хотя бы восемь пар вещественных многочленов P x и Q x , таких, что

Р е ш е н и е.

Очевидно, что четыре пары искомых многочленов имеют вид

P x x3 1, Q x x3 1 - первая пара,

2 2

аостальные три получим, изменяя знаки.

Чтобы показать, что есть и другие многочлены, заметим, что

Сдругой стороны

x6 1 x x0 x x1 x x2 x x3 x x4 x x5 ,

знаки, получим ещё три пары.

16. (Л.П.Мохрачева) Найти уравнение кривой, в каждой точке которой угловой коэффициент касательной равен синусу угла, который радиус-вектор этой точки имеет

сосью ОХ, при условии, что эта кривая проходит через точку 0,1 .

Ре ш е н и е. Дифференциальное уравнение этой кривой имеет вид

Это однородное уравнение, из вида которого следует, что знаки производной и функции совпадают и решения симметричны относительно оси ОХ. Решение удобнее искать в полярных

sin cos sin . После преобразований получаем уравнение с разделяющимися

cos sin

переменными

sin sin cos cos sin2 .

Очевидное решение этого уравнения имеет вид 0, но это решение не удовлетворяет