Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решения ОЛ.08.04.12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

468.74 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1.(Михалёва М.М.) Найти пару двузначных чисел, отличающихся друг от друга перестановкой цифр, если их НОД равен 9, а разность кратна 5.

Решение.

Обозначим исходные числа 10x y и 10y x , где x,y 1,2,...,9 . Так как числа делятся на 9, то сумма 10x y 10y x 11x 11y 11 x y

также делится на 9, т.е. x y делится на 9. Из того, что разность

10x y 10y x 9 x y кратна 5			следует, что x y делится на 5.
Таким образом, x y x y кратно 45, и имеем два случая:

x y 9	x 7, y 2. Получаем числа 72 и 27;
1. x y x y 45	x 7, y 2. Получаем числа 72 и 27;

x y 5

x y 18		.
2. x y x y 90		.

x y 5

О т в е т: 72 и 27.

2. (Ходак Г.Л.) Четыре прямые заданы уравнениями:

x y z; x y z 1; x 1 y 2 z; x 2 y 1 z . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1

Найти уравнение прямой, пересекающей эти прямые.

Решение.

Прямые образованы пересечением плоскостей 1. y 0, z 0; 2. x 0, z 1;

3. y 2, z 1; 4. y 1, x 2. Расположение прямых показано на рисунке.

(0,3,1)

3 y

(3,0,0)

Из рисунка видно, что искомая прямая проходит через точки (3,0,0) и (0.3.1).

Тогда её уравнение имеет вид x 3 y z .

3 3 1

О т в е т.	x 3	y	z

	3 3 1

3. Смирнова Е.В.) Вычислите интеграл x 51 x5 dx.

Решение.

Так как функция y x 51 x5 является обратной сама к себе, то её график симметричен относительно прямой y x. Данный интеграл численно равен площади фигуры, заштрихованной на рисунке.

1 В

ОС

Всилу симметрии площади фигур OAD и OCD равны. Поэтому искомый

интеграл равен 1 .

О т в е т: 1 .

4. (Веретенников Б.М.) Найти ранг матрицы

1		2	3	4


	0	9	17

				21
A
	0	18	27

				42

		4	17
0		4	17	21

при всех значениях параметров и .
Решение.
									9	17	21


Очевидно, что rangA 2										27
Очевидно, что rangA 2				и определяется рангом матрицы 18						27	42 .


										17
								4		17	21
Элементарными преобразованиями эта матрица сводится к виду
			9	17	21	9	17	21


			18	27			7
			18	27	42	0	7	0 .


				17			0
		4		17	21	5	0	0
Отсюда следует, что:
1.	если 5, 7, то rangA 2;
2.	если 5,	7	или 5, 7, то rangA 3:
3.	если 5,	7, то rangA 4.
О т в е т.
1.	если 5, 7, то rangA 2;
2.	если 5,	7	или 5, 7, то rangA 3:
3.	если 5,	7,	то rangA 4.

5. (Мохрачева Л.П.) При каких R уравнение	z2	z	0 имеет четыре
корня?
Решение.

Распишем уравнение

z2 z x iy 2 x iy 0. Это уравнение равносильно системе

x2 y2 x 0

.2xy y 0

Из второго уравнения следует:

1. y 0. Тогда первое уравнение преобразуется к виду x2 x 0 и имеет два решения при D 1 4 0, т.е. при 1 .

	1	4	1			1
2. x		. Тогда из первого уравнения получаем		y2			0 или
			4
2					2

y2 3 . Два решения имеем при 3 . Таким образом, четыре решения

получаем при 3 1 .

От в е т. 3 1 .

4 4

6. (Полищук Е.Г.) Доказать, что функция f x,y Ax3 Bx2 y Cxy2 Dy3

имеет в точке 0,0 по меньшей мере тот же порядок малости, что и функция

g x,y x2 y2

Решение. Нужно доказать, что найдётся такое M 0, что

lim

f x,y

M .

g x,y

x,y 0

Рассмотрим отношения:

1; Аналогично

g x,y

x2 y2

Для оценки отношения

x2 y

найдём максимальное

g x,y

x2 y2

значение функции u x,y x2 y на окружности

r2 . Функция

Лагранжа имеет вид x,y, x2 y x2 y2

r2 . Получаем систему

2xy 2 x 0

2 y 0 .

Умножая первое уравнение на у,

второе на х и вычитая из первого

второе, получим

2xy2 x3 0. Отсюда следует:

А) x 0; тогда

r и 0.

В этих точках x2y 0.

Б) x2 2y2 ;

из третьего уравнения получаем

3y2 r2 , т.е.

x y

max x

r. Тогда

и max

Аналогично получаем, что и max

xy2

g x,y

Таким образом

f x,y

lim

g x,y

x,y 0

3 3

Что и требовалось доказать.

7. (Ходак Г.Л.) На окружности x2 y2 1 найти точку, сумма расстояний от которой до точек с координатами 0,5 и 3,4 минимальна.

Решение.

Изобразим ситуацию на рисунке

4 А

φ α				B
O	1	2	3	4 5

Так как ОА равно ОВ, то почти очевидно, что эта точка будет на середине дуги,

стягивающей угол arctg 4. Тем не менее, докажем это аналитически. 3

Рассмотрим произвольную точку М на окружности. Пусть φ – угол МОА, отсчитываемый от оси ОА. Тогда

MA 2 52 12 2cos , MB 2 52 12 2cos .

Исследуем на экстремум функцию

f MA 2 MB 2 52 2cos 2cos .

Так как f 2sin 2sin , то из уравнения


f				2sin 2sin 2sin													0
f				2sin 2sin 2sin									cos				0

													2		2
получаем n и при имеем минимум.
2									2
	3							1	3	2			1	3		1
Так как cos	3	, то cos						1	5	2	, sin		1	5		1		и координаты
	5					2		2				2	2
										5							5
										5							5
			2	1
			2	1

				,
точки имеют вид				,			.
			5		5
			5		5

О т в е т. 25 , 15 .

8. ( Веретенников Б.М.) Решить матричное уравнение

1	2	1	2	1 1		1	1

	X		X				.

3	5	3	5	2	1	2	2

Решение.

Сделаем замену Y 1 2 X . Тогда уравнение преобразуется к виду

3 5


	1 1			1 1				1 0			1 1						2	1		1 1


Y Y							или Y							Y						.
Y Y							или Y							Y						.


		2 1		2 2				0 1				2 1				2 0				2 2
										1
								1							1		2	3
							X	1	1	2		2	3		1		2	3
Из этого уравнения следует							X												.

								2 3		5 4			6		2 2			3
				3
			1
			1
				2
О т в е т.				2
О т в е т.	X					.

					3
					3
		1
		1			2
					2

9. (Полищук Е.Г.) Исследовать сходимость ряда

n 2

Решение.

Так как

ln n! nlnn, т.е,

а ряд

n 2

расходится по

ln n!

nlnn

интегральному признаку Коши, то ряд

расходится.

ln n!

n 2

О т в е т.

Расходится.

10. (Смирнова Е.В.) Вокруг эллипса описаны два различных прямоугольника. Докажите, что их диагонали равны.

Решение.

Для прямоугольника на рис. 1 квадрат половины диагонали равен a2 b2. Повернём эллипс на угол . Тогда квадрат половины диагонали равен

x2	y2	(рис.2). Уравнение повёрнутого эллипса есть
0	0
		xcos ysin 2		xsin ycos 2
		a2			b2	1.
		a2			b2
Тогда		при x x0 это уравнение имеет единственное решение для y. Из
условия равенства нулю дискриминанта получаем x2						b2 sin2	a2 cos2	.
					0
Аналогично, при y y0 имеем единственное решение для х и получаем
условие y2 b2 cos2 a2 sin2			. Тогда x2		y2 a2 b2 .
		0		0	0

A a

Рис.1.

Рис. 2

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025696.32 Кб1Решение функциональных уравнений Илюхин Павел.doc
#
22.02.20153.92 Mб15решение.doc
#
22.02.2015226.3 Кб50Решение_MB_15770 (1).doc
#
23.02.2015160.53 Кб10Решения задач ТВ.pdf
#
12.09.201973.22 Кб18Решения задач.doc
#
23.02.2015468.74 Кб14Решения ОЛ.08.04.12.pdf
#
23.02.2015479.5 Кб6РешОлимпиады 15.05.11.pdf
#
23.02.20153.46 Mб21Реьбовые соединения.pdf
#
29.03.201534.91 Кб11РИ - 230501 ТВП весна 2015.docx
#
23.09.2019146.43 Кб3РИ18-программа.doc
#
01.05.20251.62 Mб0ризун лит редагування.doc