Решения ОЛ.08.04.12

11. ( Мохрачева Л.П.) Трёхмерные векторы x являются решением уравнения

уравнения являются:

1)нулевой вектор;

2)ненулевые векторы, для которых выполнено условие sin cos при

ограничении cos 0. Получаем решения и x 0.

4

Таким образом, векторы принадлежат верхней части кругового конуса z2 x2 y2 .

12. (Ходак Г.Л.) Есть 2012 секций забора. Каждая секция в поперечном сечении представляет четверть окружности радиуса 1. Как огородить участок максимальной площади? Чему равна эта площадь?

Решение.

Возьмём одну секцию. Соединим концы дуги прямолинейным отрезком. При построении забора эти отрезки образуют многоугольник. Ясно, что сегменты круга должны выступать наружу. Суммарная площадь этих сегментов

бедренных треугольников с основанием 2 и углом при вершине , т.е. 1006

13. (Смирнова Е.В.) Четыре корня многочлена

P x x4 ax3 bx2 cx d

образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Найти расстояние между точками минимума функции P x .

Решение.

Сдвинем график функции P x вдоль оси абсцисс так, чтобы корни попали в

точки 3, 1, 1, 3. При этом расстояние между точками не изменится, а

2 2 2 2

многочлен примет вид

P1 x x 32 x 12 x 23 x 12 x2 94 x2 14 x2 54 2 1.

14. (Мохрачева Л.П.) Найдите общее решение дифференциального уравнения y x y x y x 2 y x 3 ... y x 2012 1.

Решение.

Ищем решение в параметрическом виде. В качестве параметра выбираем

15. (Веретенников Б.М.) Существует ли для любого натурального n 2

квадратная матрица n-го порядка А, такая, что rangA n 1 и An O, где O-

нулевая матрица.

Решение.

Существует, например

где над главной диагональю стоят единицы. Легко видеть, что при каждом умножении будет происходить сдвиг диагонали из единиц направо последовательно до полного исчезновения на n – ом умножении.