32. Инвариантные подпространства
.pdf
Инвариантность
и
многочлены
от
линейных
операторов
(1)
С учетом замечания о перестановочных операторах, из предложения о перестановочных операторах и инвариантных подпространствах вытекает
1-е следствие об инвариантности и многочленах от линейных операторов
Пусть A линейный оператор в векторном пространстве над полем F , а f F [x]. Тогда подпространства Im f (A) и Ker f (A) инвариантны относительно A. В частности, для любого натурального m и любого
λ F , подпространства Im(A − λE)m и Ker(A − λE)m инвариантны относительно A.
§ 32. Инвариантные подпространства
Инвариантность
и
многочлены
от
линейных
операторов
(2)
Предложение об инвариантности и многочленах от линейных операторов
Если подпространство U пространства V инвариантно относительно линейного оператора A, то оно инвариантно и относительно оператора f (A) для любого многочлена f F [x].
Доказательство. Пусть U U. Докажем индукцией по n, что An (U) U.
При n = 1 это утверждение выполнено ввиду инвариантности A
относительно U. Если же n > 1, то An (U) = A An−1 (U) . Поскольку An−1 (U) U по предположению индукции, получаем, что и An (U) U. Пусть теперь f = am xm + am−1xm−1 + · · · + a0. Поскольку, в силу сказанного выше, Ai (U) U для всех i = 1, 2, . . . , m, получаем, что
f (A) (U) = am Am (U) + am−1 Am−1 (U) + · · · + a0E(U) U.
2-е следствие об инвариантности и многочленах от линейных операторов |
Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V над полем F , |
а λ F . Подпространство U пространства V инвариантно относительно A |
тогда и только тогда, когда оно инвариантно и относительно оператора |
A − λE. |
§ 32. Инвариантные подпространства
Об
образе
инвариантного
подпространства
Из критерия изоморфности на языке линейных операторов (см. § 30) вытекает
Предложение об образе инвариантного подпространства
Пусть A линейный оператор в пространстве V , а U подпространство |
в V , инвариантное относительно оператора A. Если U ∩ Ker A = {0}, то |
A(U) = U. |
§ 32. Инвариантные подпространства