05 Определители
.pdf
Определитель Вандермонда (2)
Доказательство. Воспользуемся индукцией по n. При n = 2 требуемое равенство очевидно, поскольку
|
|
a12 |
|
= a2 a1: |
d(a1; a2) = |
a11 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть доказываемое равенство уже доказано для определителей Вандермонда порядка n 1. Преобразуем определитель (2) следующим образом: для каждого k = n; n 1; : : : ; 2 из k-й его строки вычтем
(k 1)-вую, умноженную на a1. Получим
|
|
|
|
|
|
0 |
a2 |
1 |
a1 |
|
|
a3 |
1 |
a1 |
|
: : : |
an 1 a1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : |
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
; |
a2 |
; : : : ; |
an |
) = |
0 a2 |
|
a |
a |
2 |
|
a2 |
|
a |
a |
3 |
: : : |
a2 |
a |
a |
n |
: |
|||||||
d a1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. . . |
. . . . |
. |
. |
. |
. |
. . |
. . . |
. . . |
. . |
. |
. . |
. |
. |
. |
. . . . |
. . . . |
. . . . . |
. . |
. . . |
. |
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
n 2 |
: : : |
n 1 |
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 a2 |
|
a1a2 |
a3 |
|
|
a1a3 |
|
an |
|
a1an |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б.М.Верников |
Лекция 5: Определители |
Определитель Вандермонда (3)
Разлагая полученный определитель по первому столбцу, имеем |
|
|
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||
( ; |
; : : : ; |
|
) = |
|
|
a2 |
|
a1a2 |
|
|
a3 |
|
|
a1a3 |
: : : |
|
an |
|
|
a1an |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
: : : |
|
a |
|
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
|
2n |
|
1 |
|||||||||||
d a1 a2 |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
n 2 : : : |
n 1 |
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
a1a2 |
|
a3 |
|
|
|
a1a3 |
|
an |
|
|
a1an |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Мы пришли к определителю |
|
|
1)-го порядка. Для всякого |
|||||||||||||||||||||||||||||||
k = 1; : : : ; n 1 вынесем из k-го столбца этой матрицы множитель |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ak+1 a1. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
a13 :: :: :: |
|
a1n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d |
( |
a1 |
; |
a2 |
; : : : ; |
an |
) = |
|
|
|
( |
ai |
|
a1 |
) |
|
|
|
|
a2 |
|
a2 |
: : : |
|
a2 |
|
: |
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
n 2 |
: : : |
|
n 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
a3 |
|
an |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний множитель является определителем |
Вандермонда порядка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1, построенным на числах a2; : : : ; an. По предположению индукции из
(4) вытекает (3). Из формулы (3) вытекает, что
определитель Вандермонда, построенный на числах a1; a2; : : : ; an, отличен от нуля тогда и только тогда, когда числа a1; a2; : : : ; an попарно различны. 
Б.М.Верников |
Лекция 5: Определители |