05 Определители

Свойства определителей (13)

Предложение 8

Сумма произведений элементов некоторой строки матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Иными словами, если 1 6 i; j 6 n и i 6= j, то

ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0:

Доказательство. Обозначим через A0 матрицу, полученную из матрицы A заменой ее j-й строки на i-тую. Для всякого k = 1; 2; : : : ; n обозначим через Ak матрицу, получаемую при вычеркивании из матрицы A ее j-й строки и k-го столбца, а через A0k матрицу, получаемую при вычеркивании из матрицы A0 ее i-й строки и k-го столбца. Легко понять, что либо для всех k матрицы Ak и A0k совпадают, либо для всех k эти матрицы получаются одна из другой одной и той же перестановкой строк. Учитывая предложение 3 получаем, что либо Aik = A0ik для всех k, либо Aik = A0ik для всех k. Поскольку в матрице A0 имеются две одинаковые строки, по предложению 4 ее определитель равен нулю. Следовательно,

0 = ai1A0i1 + ai2A0i2 + + ainA0in = (ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn);

откуда ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0.

Свойства определителей (14)

Отметим, что предложения 7 и 8 можно записать одним равенством следующим образом:

(

ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn =

jAj; если i = j;

0; если i 6= j:

Во всех сформулированных выше свойствах определителя речь шла о строках матрицы. Как мы увидим ниже, аналоги всех этих свойств, справедливы и для столбцов. В частности, мы докажем, что определитель всякой квадратной матрицы A = (aij ) порядка n можно разложить по первому столбцу, т. е. что справедливы равенства

jAj = a11A11+a21A21+ +an1A+n1 = a11M11 a12M12+ +( 1)n+1an1Mn1:

Это вытекает из следующего утверждения.

Предложение 9

Определитель матрицы, транспонированной к данной, равен определителю исходной матрицы.

Доказательство проведем индукцией по порядку матрицы. Пусть A = (aij )квадратная матрица порядка n. При n = 1 доказываемое утверждение очевидно, так как в этом случае A = A>. Предположим теперь, что n > 1 и для матриц порядка < n требуемое утверждение доказано.

Свойства определителей (15)

Разложим определитель матрицы A по первой строке:

n

X

jAj = ( 1)1+j a1j M1j :

j=1

Каждый из миноров M1j является определителем порядка n 1. В силу предположения индукции эти определители можно разложить по первому столбцу. Проделаем это с минорами вида M1j при j > 1. Используя обозначения типа Mijk` в том же смысле, что и в доказательстве предложения 3, имеем:

nn

Разложим теперь определитель матрицы A> по ее первой строке:

n

X

jA>j = ( 1)i+1ai1Mi1:

i=1

Свойства определителей (16)

Пользуясь предположением индукции, разложим каждый из определителей Mi1, кроме M11, по первому столбцу. Имеем:

Очевидно, что Mi11j = M1i1j (в обеих частях этого равенства стоит определитель матрицы, полученной вычеркиванием из матрицы A первой и i-й строк и первого и j-го столбцов). Кроме того, ясно, что

для любых величин xij , i; j = 2; : : : ; n. Сравнивая полученные нами выражения для jAj и jA>j и учитывая сделанные только что замечания, получаем, что эти определители равны.

Свойства определителей (17)

Из предложений 7 и 9 вытекает, что для всякого 1 6 j 6 n справедливо равенство

jAj = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj ;

которое называется разложением определителя по j-му столбцу.

Предложение 10

Если в формулировках предложений 1–8 заменить слово ¾строка¿ словом ¾столбец¿, то эти утверждения останутся справедливыми.

Доказательство. Этот факт вытекает из предложения 9 и определения транспонированной матрицы.

Определение

Матрица называется треугольной, если она либо верхнетреугольна, либо нижнетреугольна.

Предложение 11

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали.

Доказательство этого предложения см. на следующем слайде.

Свойства определителей (18)

Доказательство. Предположим, что матрица A = (aij ) верхнетреугольна. Обозначим порядок матрицы через n и будем доказывать предложение индукцией по n. База индукции очевидна: если n = 1, то jAj = a11 по определению определителя первого порядка. Предположим теперь, что утверждение верно для матриц порядка < n. Разложив определитель A по первому столбцу и воспользовавшись предположением индукции, имеем:

что и требовалось доказать.

В случае нижнетреугольной матрицы доказательство аналогично, надо только воспользоваться разложением определителя по первой строке. Предложение доказано.

Из предложения 11 непосредственно вытекает

Замечание 1

Определитель единичной матрицы равен единице.

Вычисление определителя с помощью приведения матрицы к верхнетреугольному виду

Укажем способ вычисления определителей, основанный на изложенных выше их свойствах. Этот способ опирается на предложение 11. В лекции 4 было доказано, что произвольную квадратную матрицу A можно с помощью элементарных преобразований типов 1)–3) (указанных в той же лекции) привести к ступенчатой матрице B. Ясно, что ступенчатая квадратная матрица верхнетреугольна. Предложения 1, 3, 6 и 10 показывают, как связаны jAj и jBj. Вычислив jBj по предложению 11, можно найти и jAj.

На следующем слайде приведен пример вычисления определителя указанным способом.

Пример вычисления определителя (1)

Комментарии к приведенным здесь вычислениям см. на следующем слайде.

Пример вычисления определителя (2)

На первом шаге мы, воспользовавшись предложением 6, прибавили ко второй строке первую, умноженную на 1, к третьей первую, умноженную на 2, а к четвертой первую, умноженную на 3. На втором шаге умножили третью и четвертую строки на 4 и 2 соответственно и воспользовались предложением 1. На третьем шаге мы, вновь воспользовавшись предложением 6, прибавили к третьей строке вторую, умноженную на 1, а к четвертой вторую, умноженную на 1. На четвертом шаге умножили третью и четвертую строки на 7 и 9 соответственно и воспользовались предложением 1. На пятом прибавили к четвертой строке третью, умноженную на 1, еще раз использовав предложение 6, а на шестом применили предложение 11.

Определитель Вандермонда (1)

В оставшейся части лекции мы вычислим один важный определитель, появляющийся во многих приложениях линейной алгебры.

Определение

Пусть n натуральное число, n > 2, а a1; a2; : : : ; an произвольные числа. Oпределителем Вандермонда называется следующий определитель порядка n:

<

Доказательство этого равенства дано на следующих двух слайдах.