algan22

3. Списки смежности.

Алгоритм чтения графа из файла, который задан списками смежных вершин.

(define (read-graph filename) (define (read-vertex)

(define n (read in)) (foldl (lambda (i lst) (if (= i n) lst

(cons (read in) lst)))

'()

(build-list n values)))

(define in (open-input-file filename)) (define n (read in))

(reverse

(foldl (lambda (i lst) (if (= i n) lst

(cons (read-vertex) lst)))

'()

(build-list n values))))

Объединение и соединение двух графов.

Существует несколько способов соединения двух графов для образования нового, большего графа. Рассмотрим два из них. Пусть даны два графа , , причем множества не пересекаются. Тогда объединением графов называется граф с множеством вершин и семейством ребер Можно также образовать соединение графов , обозначаемое , взяв их объединение и соединив ребрами каждую вершину графа с каждой вершиной графа .

Пример матрицы смежности. Пусть дан граф

Матрица смежности

Обхватом графа называется длина его кратчайшего цикла. Множество ребер графа называется независимым, если оно не содержит циклов, то есть никакая совокупность ребер из не образует цикла. Диаметром связного графа называется максимальное возможное расстояние между любыми двумя его вершинами. Центром графа называется такая вершина , что максимальное расстояние между и любой другой вершиной является наименьшим из всех возможных. Это расстояние называется радиусом . Таким образом,

где — расстояние между и .

Удаление ребер, мосты

вершинами, что и граф , и всеми ребрами, кроме ребра . При удалении ребра из связного графа новый граф может оказаться как связным, так и несвязным. Ребро называется мостом графа , если в графе, полученном после удаления из ребра , вершины и оказываются несвязными. Существует несколько признаков мостов. Известно, что признак какого-то объекта может заменить его определение, то есть по признаку можно распознать объект. Рассмотрим признаки мостов.

1.Ребро является мостом в том и только в том случае, если

— единственный путь, соединяющий вершины и .

2.Ребро является мостом в том и только в том случае, если найдутся две вершины и , такие, что каждый путь, соединяющий их, содержит и .

3.Ребро является мостом в том и только в том случае, если оно не принадлежит ни одному циклу.

Докажем справедливость третьего признака.

Прямая теорема. Если ребро не принадлежит ни одному циклу, то

— мост.

Так как ребро не принадлежит ни одному циклу, при его удалении не останется пути, связывающего и , то есть является мостом.

Обратная теорема. Если ребро — мост, то не принадлежит ни одному циклу.

Если бы ребро принадлежало циклу, то при удалении ребра остался бы второй путь, связывающий и , то есть ребро не было бы мостом. Следовательно, не принадлежит циклу