
- •Пример решения простейшего интеграла.
- •На будущее:
- •Наиболее популярные методы решения неопределённых интегралов
- •1. Замена переменной интегрирования.
- •2. Приведение к «табличному виду».
- •3. Замена функции.
- •4. Интегрирование «по частям»
- •Рациональные дроби
- •Метод «неопределённых коэффициентов»
- •6. Тригонометрические функции.
- •6.1. Интегралы типа ,.
- •6.2. Интегралы типа
- •6.3. Интегралы типа
- •6.4. Интегралы типа
- •6.5. Интегралы типа .
- •7. Тригонометрические подстановки
- •8. Интегралы с иррациональностью типа.
- •Приложение 2 Построение таблицы исходных данных и соответствующего ей совмещённого графика
- •Построение графика
- •Часть I. Неопределённый интеграл
6. Тригонометрические функции.
Специфика взятия интегралов, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции, заключается в большом разнообразии возможных приёмов интегрирования. Это обусловлено таким же большим разнообразием тригонометрических формул, с помощью которых можно представить одну и ту же тригонометрическую функцию.
Ниже мы рассмотрим наиболее часто используемые приёмы для решения таких интегралов, а пользователь может по своему усмотрению применять тот или другой приём для решения интегралов из своего задания.
6.1. Интегралы типа ,.
а)
вариант
(нечётная степень):
.
Подход к этим интегралам одинаковый,
поэтому сначала рассмотрим , например,
интеграл
.
Перепишем его в другой форме:
.
Очевидна замена:
.
Тогда
.
После раскрытия скобок для соответствующего
значения
искомый
интеграл приводится к алгебраической
сумме интегралов от степенной функции.
Аналогично решается и интеграл
с той лишь разницей, что заменяется
.
Пример
12.
Рецепт.
Вводим замену
.
=
.
После обратной подстановки получаем
решение:
б)
вариант
(чётная степень):
.
Для
данных интегралов используется другая
схема: с помощью известных в тригонометрии
формул
и
вдвое понижается степень и во столько
же раз возрастает значение аргумента.
Интеграл преобразуется в алгебраическую
сумму интегралов от
в соответствующей степени (но отнюдь
не обязательно!). Для интегралов с этой
функцией в нечётной степени применяем
способ из Примера 11, а для случая с чётной
степенью – нужно ещё раз удвоить аргумент
и т.д.
Пример
13.
Рецепт.
С помощью приведённых выше формул
преобразуем интеграл:
.
6.2. Интегралы типа
Интегралы этого типа несколько сложнее интегралов из предыдущего раздела. Возможны, естественно, три варианта:
а) один из показателей степени нечётный, другой─ чётный, т.е.
либо
,
либо
,
где
и
─ целые числа.
Рассмотрим,
например, первый вариант и преобразуем
интеграл к виду:
.
Вид последних двух сомножителей наводит
на очевидную мысль, что необходимо
ввести замену
и воспользоваться основным тригонометрическим
тождеством
.
Тогда интеграл примет вид:
.
Раскрывая скобки для соответствующих степеней, получаем сумму интегралов от степенной функции.
Пример
14.
Рецепт.
Вводим замену
и получаем
.
Обратная подстановка приводит к
окончательному ответу
.
б)
оба показателя чётные:.
Тогда с помощью формул
и
интеграл преобразуется:
.
Раскрываем скобки и получаем алгебраическую
сумму табличных интегралов.
Пример
15.
Рецепт
1.
Используя преобразования, описанные
выше, получим интеграл
.
Здесь
.
Используем замену:
.
Тогда
.
Сделаем обратную подстановку и получим
желанное решение:
.
Рецепт
2. Можно
использовать и другой путь:
.
Тогда подынтегральная функция получит
следующий вид:
=
,
а сам интеграл:
=
=
-
=
-
=
.
Совпадение конечного результата по обоим рецептам свидельствует о правильности альтернатив решения одного и того же интеграла.
в)
и,
наконец, третий вариант
– оба
показателя нечётные:
.
Преобразуем интеграл к виду:
.
Снова воспользуемся формулами удвоенного
аргумента функции косинуса:
.
Очевидно, что напрашивается замена:
:
тогда интеграл принимает вид:
.
Снова интеграл доведён до состояния,
когда его можно представить в виде
алгебраической суммы табличных
интегралов.
Пример
16
Рецепт. Используем преобразования, описанные выше, и получаем интеграл
.
Замена:
преобразует
интеграл
.
После обратной подстановки имеем решение
.
Каждый из этих трёх вариантов решения требует своего подхода. Но есть ещё один приём:
г)
«универсальная
тригонометрическая подстановка»
,
для которой находим дифференциал
Отсюда
Применим
этот приём к уже знакомому интегралу
из Примера 11
.
Подставив введённые выше выражения для
и
,
получаем интеграл:
Очевидно, что теперь можно использовать
«метод неопределённых коэффициентов»:
Решаем простую систему линейных
уравнений:
.
Результат:
Продолжим решение интеграла:
=
Возвращая этот результат в исходный
интеграл и делая обратную подстановку,
получаем
Сравните этот результат с результатом
Примера 11 и проверьте, нет ли расхождения.
N.B.! Имеются данные [1], что использование «универсальной подстановки» может привести к громоздким преобразованиям, что несколько снижает его ценность.