4. Интегрирование «по частям»

Идея этого метода основана на формуле производной произведения двух функций: [1] и применяется чаще всего тогда, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения пары хотя бы одной из следующих функций:и их вариаций.

Итак, если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения, то сочетаниеилиможно принять за дифференциалили. Тогда решение интеграла получается по формуле:

Выбор функций-сомножителей определяется опытом самого решающего. Попытаемся показать это на конкретном примере.

Пример 7. .

Рецепт. Альтернатива выбора функций-сомножителей здесь небогатая: либо и, либо. Попробуем пойти первым путём

Вариант 1. . Повторно применяем этот же метод:и т.д. Очевидно, что этот путь -тупиковый: с каждым новым шагом показатель степени при аргументе растёт и не видно конца этим манипуляциям. Очевидна и причина такого тупика - неудачный первоначальный выбор функции .

Не следует думать, что есть люди, которые ни разу не совершали подобную ошибку, просто из этого надо сделать позитивный вывод: «на ошибках учатся».

А теперь пойдём альтернативным путём:

Вариант 2: . Тогда.

Интересной особенностью данного метода является решение «рекурсивных интегралов». Рассмотрим один из вариантов таких интегралов.

Пример 8. .

Рецепт. Применим метод «по частям»:

Сопоставив начало и конец этой цепочки, получаем решение .

5. Рациональные дроби

Известно [1], что дробь может называться «рациональной», если её числитель и знаменатель ─ целые числа. С этой точки зрения излагаемый дальше метод относится к интегралам вида: , где, а─ полиномы порядкаи, соответственно.

С точки зрения соотношения порядков полиномов возможны два варианта:

1. . В этом случае полином числителя «столбиком» делят на полином знаменателя, выделяя тем самым «целую» часть подынтегральной дроби и её «остаток». Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: , где

и ─ полиномы соответствующего порядка того же типа, что и исходные полиномы. Первый интеграл – сумма табличных интегралов. Ко второму интегралу применяют обычно метод «неопределённых коэффициентов», суть которого излагается дальше;

2. . Здесь сразу берётся интеграл указанным выше методом.

Метод «неопределённых коэффициентов»

Известно [1], что любой полином ^го порядка (n≥2) можно представить в виде произведения:

1. (коэффициента при старшей степени полинома);

2. двучленов типа ;

3. и трёхчленов типа

где - действительные числа, (причём),действительный корень полиномаи- кратности соответствующих сомножителей, при условии, что. По отношению к полиному знаменателяэто означает, что подынтегральную функцию можно представить в виде суммы дробей типаи(и- некие числовые коэффициенты) с соответствующими кратностями (повторами корней). Тогда нахождение интеграла от рациональной дроби сведётся к взятию табличного интеграла типаи интеграла типа, способ решения которого для=1 рассмотрен в Примере 2. Остаётся только освоить методику разложения рациональной дроби на соответствующие слагаемые.

Рассмотрим несколько примеров на эту тему.

Пример 9..

Рецепт. Здесь порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, поэтому делим «столбиком» числитель на знаменатель:

Таким образом, , где= =. Здесьдействительные числа, которые подбираются следующим образом:

1. сложим дроби: ;

2. затем приравняем коэффициенты при соответствующих степенях аргумента и получим систему двух линейных уравнений для и:;

тогда решение этой системы:

Отсюда интеграл .

Таким образом, общее решение можно представить в следующем виде.

Пример 10. .

Рецепт.

1. Здесь порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя, поэтому не нужно выделять целую часть.

2. В предположении, что данный интеграл можно решить методом неопределённых коэффициентов, попробуем разложить полином знаменателя на множители.

Согласно теореме Виета, свободный член любого полинома равен произведению всех его корней на множитель , где– порядок полинома. Здесь, тогда этот множитель равен единице. Попробуем подобрать хотя бы один целый корень, возьмём, например,. Призначение полинома: 1-2+4-6+3=0, т.е.– один из корней. Теперь поделим исходный полином «столбиком» (см. выше) на двучлени получим полином третьего порядка. Сгруппируем соответствующие слагаемые:. Таким образом, подынтегральная функция должна иметь вид. В знаменателе имеется двучленкратности 2 и «усечённый» трёхчленс отрицательным дискриминантом. В этом случае подынтегральную функцию можно представить в виде суммы дробей:

(здесь, как и раньше коэффициенты - действительные числа).

Обратите, пожалуйста, внимание на тот факт, что порядок полиномов в числителях этих дробей ровно на единицу меньше порядка полиномов в их знаменателях!

В результате сложения этих дробей получаем дробь: , числитель которой должен в точности совпадать с числителем дроби исходной подынтегральной функции. Это позволяет сформировать систему теперь ужечетырёх линейных уравнений для этих коэффициентов: .

Нетрудно показать, что решение этой системы: и исходный интеграл равен сумме трёх интегралов:. Первые два – табличные и их результат:. Решение последнего интеграла:. Итак, ответ:

Обратите внимание на то, что громоздкий интеграл был сведён к комбинации табличных интегралов (решение последнего интеграла – см. Пример 3).

Пример 11. .

Рецепт. Покажем, что этот интеграл можно достаточно просто решить тем же методом «неопределённых коэффициентов». Для этого домножим числитель и знаменатель на . Подынтегральная функция примет вид. Опытный взгляд сразу увидит в числителе дифференциал функции. Отсюда возникает желание ввести замену:. Далее подставляем эти выражения в подынтегральную функцию, и интеграл приобретает следующий вид:и готов к приложению к нему метода «неопределённых коэффициентов»:. Знакомым уже способом получаем систему уравнений:. Из решения системы следует:и. После обратной подстановкиполучаем окончательный результат:.

Это очень полезный результат, поэтому есть смысл записать его в дополнительную таблицу неопределённых интегралов (см. табл.2).

Легко показать, что аналогичный интеграл =. С учётом формулиполучаем ещё один вариант решения этого интеграла:=+С. И этот результат рекомендуем внести в ту же дополнительную таблицу.

N.B. Несколько позже мы рассмотрим решение этого же интеграла другим способом.